1.定义:对于“若p则q”形式的命题：① 若phq,则p是q的充分条件，q是p的需要条件；② 若p=^q,但q笊p,则p是q的充分不需要条件，q是p的 需要不充分条件；③ 若q = p且p q，则p是q成立的需要不充分条件；④ 若既有p = q，又有q=p，记作poq，则p是q的充分需 要条件(充要条件).⑤ 若p q且q p，则p是q成立的既不充分也不需要条件.从集合的观点上关于充分不需要条件、需要不充分条件、充分需要条件、既不 充分也不需要条件的判定在于判断p、q相应的集合关系.建立与p、q相应的集合，即p : A = {x\p (x)成立}，q : B = {x\q (x) 成立}・若A匸B，则p是q的充分条件，若AWB，则p是q成立的充分 不需要条件；若B匸A，则p是q的需要条件，若BSA，则p是q成立的需要 不充分条件；若A = B，则p是q成立的充要条件；若A工B且BrA，则p是q成立的既不充分也不需要条件.例1已知p： xl, x2是方程x2 + 5x — 6 = 0的两根，q： xl + x2=—5,则p是q的[ ]A・充分但不需要条件B・需要但不充分条件C・充要条件D・既不充分也不需要条件解Vxl, x2是方程x2 + 5x — 6 = 0的两根/.xl, x2的值 分别为1，—6，/xl+x2=l—6=—5．因此选A.变式1设命题甲为：0VxV5，命题乙为|x — 2|V3，那么甲 是乙的[]A. 充分不需要条件B.需要不充分条件C・充要条件D.既不充分也不需要条件例2 p是q的充要条件的是[ ]A. p： 3x + 2>5, q： —2x — 3>—5B. p： a>2, bV2, q： a>bC. p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是 正方形D. p：a#0, q：关于x的方程ax=1有惟一解 解对A. p： x>1, q： xVl,所以，p是q的既不充分也不需要条件;对B・p=q但q埠p, p是q的充分非需要条件；对C・p埠q且q=p, p是q的需要非充分条件；说明：当a = 0时，ax = 0有无数个解例 3( 2009 年北京)“ a = - + 2k兀(k G Z) ”是“ cos2a」”的 6 2( )A・充分不需要条件 B・需要不充分条件C・充要条件 D.既不充分也不需要条件分解：当a冷+ 2k兀(k g Z)时,cos 2a = cos1，即2反之，当込2— 2时,—2k兀 + —a — k兀 +— (k g Z )，3 6或2a — 2k兀-——a — k兀一叟(k g Z)，即 q p ・3 6 q综上所述，“ a-—+ 2k— (k g Z)”是“ cos2a-1 ”的充分不需要6 2条件，故选A.变式3 ax2 + 2x + l = 0至少有一个负实根的充要条件是A. 0VaW1B. aV1C・ aWl D・ 0VaW 1 或 aV0例4 (2008福建)设集合a —卜|古 0，若p是q的一个充分不 需要条件，求m的取值范围解：由 p： 4 x + m < 0 得 x <-m ；由 q： x 2 - x - 2 > 0 得 x <-1 或 x > 24•・・p是q的一个充分不需要条件，.••只有p= q成立，・•・-m <-i，4・・m > 4变式 5 已知命题 p : 1 - —_ < 2，命题q : x2 - 2x +1 - m2 < 0(m > 0)，若 3「p是」q的充分不需要条件，求实数m的取值范围.例6已知命题 p : x 2 + mx +1 = 0 有两个不等的负根，命题q :4 x2 + 4 (m - 2)x+ 10无实数根•若命题p与命题q有且只有一个为真， 求实数m的取值范围.分析：对命题p和命题q的条件进行化简可得m的范围，再对 p、q的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出m的 取值范围.解：•・•方程 x 2 + mx +1 = 0 有两个不等的负根，・・・<沁-4 > 0，解得m > 2 .-m < 0••方程4 x 2 + 4 (m - 2) x + 1 = 0无实数根，•: 16 (m - 2)2 -16 < 0，解得 1 < m < 3 •若命题p为真，命题q为假，则；"> 2、，得m > 3 •[m < 1或m > 3若命题p为假，命题q为真，则严< 2 ，得1 3・变式6命题p：关于X的不等式x2 + 2ax + 4 > 0对一切x e R恒成立; 命题q：函数f(x)二lag x在(0, +8)上递增a若p v q为真，而p A q为假，求实数a的取值范围。
解释】变式1解解不等式|x — 2|V3得一1 VxV5.•.•0VxV5 = — lVxV5，但一1 VxV5 冷 0VxV5・•・甲是乙的充分不需要条件，选A.变式3解：用排除法解之•当a = 1时，方程有负根x=-1，当 a = 0 时，x =当a#0时综上所述aW1・即ax2 + 2x+1 = 0至少有一个负实根的充要条件是aW1・变式 5 解：记A = ；x|l — £ <2j = {x|-2 0…< 1 一 m > -2， 解得0 < m < 3 •1 + m < 10所以实数m的取值范围是0 0对一切x e R恒 成立；pT n △ =（2a）2 — 42 < 0 '即—2 < a < 2命题q：函数f （x）二lag x在（0, +如上递增；qTn a > 1a*•* p v q为真，而p A q为假，・：Pq —真一假p真q假时，pT n —2 < a < 2 ； qF n a < 1 ；•• —2 < a < 1p 假 q 真时，pFn a <—2或a > 2 ； qFn a > 1 ； •: a > 2。