Http://第23课 矩形、菱形、正方形375778001 四川省营山县木桥完全小学校初中部 刘万成第一部分 讲解部分（一）课标要求1.理解矩形、菱形、正方形的定义、特征和识别方法 2.了解矩形、菱形、正方形的面积公式，中点四边形和重心的物理意义3.会求特殊平行四边形与函数、三角函数有关问题，能解决特殊平行四边形中涉及全等、相似和其它几何变换的问题，进一步提高分析问题，解决问题的能力二）知识要点知识点1：矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.性质：（1）矩形的四个角都是直角 （2）矩形的对角线相等 （3）具备平行四边形的性质 3.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） （2）对角线相等的平行四边形是矩形 知识点2：菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.性质：（1）菱形的四条边都相等 （2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （3）具备平行四边形的性质 3.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）四边相等的四边形是菱形 知识点3：正方形 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2.性质：既具备矩形的性质，又具备菱形的性质 3.判定： （1）对角线相等的菱形是正方形。
（2）有一个角为直角的菱形是正方形3）对角线互相垂直的矩形是正方形 （4）一组邻边相等的矩形是正方形5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 （6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 （7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形 （8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形 （9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形 （三）考点精讲考点一 ： 矩形的性质及判定的应用例1 （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论分析】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分∠BAC，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO，又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴四边形AECF是矩形．【评注】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定．解题的关键是利用对角线互相平分的四边形是平行四边形开证明四边形AECF是平行四边形，并证明∠ECF是90°．考点二 ： 菱形的性质及判定的应用。
例2 （2010眉山21）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．【分析】（1）首先可根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四边形OCED是菱形．（2）连接OE，通过证四边形BOEC是平行四边形，得OE=BC；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形ODEC的面积．【解答】解：（1）四边形OCED是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形．（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，∴OE∥BC又CE∥BD∴四边形BCEO是平行四边形；∴OE=BC=8（7分）∴S四边形OCED=OE•CD=×8×6=24．【评注】本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法；菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．考点三 ：正方形的性质及判定的应用。
例3 （2011广东肇庆，20，7分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140°，求∠AFE的度数． ABCDEF【分析】（1）根据正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可证出结论；（2）根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，根据三角形的内角和定理求出即可．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD＝CB， ∵AC是正方形的对角线 ∴∠DCA＝∠BCA 又 CE ＝ CE ∴△BEC≌△DEC (2）∵∠DEB ＝ 140°由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140°¸2＝70°， ∴∠AEF ＝∠BEC＝70°，又∵AC是正方形的对角线， ∠DAB＝90° ∴∠DAC ＝∠BAC＝90°¸2＝45°， 在△AEF中，∠AFE＝180°— 70°— 45°＝65° 【评注】本题主要考查对正方形的性质全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．考点四 ：中点四边形顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
例4 （2011邵阳，19，3分）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）【分析】（1）连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，推出EF=HG，EF∥HG即可；（2）根据三角形的中位线定理得到EF=AC，GF=BD，AC=BD，推出EF=GF，由（1）即可推出答案．【解答】（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．证明：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，GF=BD，∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）添加的条件是AC=BD．评注：本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是证此题的关键．常用的结论：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形2）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形3）对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形。
4）对角线相等且户型垂直的四边形的中点四边形是正方形四）易错点剖析易错点：没有分情况讨论或所分情况不完整 一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）A、50 B、 50或40 C、50或40或30 D、50或30或20错解：解：如图四边形ABCD是矩形，AD=18cm，AB=16cm；如图（1）：△AEF中，AE=AF=10cm；S△AEF=AE•AF=50cm；故选择A错解分析：本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积正解：如图四边形ABCD是矩形，AD=18cm，AB=16cm；本题可分三种情况：①如图（1）：△AEF中，AE=AF=10cm；S△AEF=AE•AF=50cm；②如图（2）：△AGH中，AG=GH=10cm；在Rt△BGH中，BG=AB-AG=16-10=6cm；根据勾股定理有：BH=8cm；∴S△AGH=AG•BH=×8×10=40cm；③如图（3）：△AMN中，AM=MN=10cm；在Rt△DMN中，MD=AD-AM=18-10=8cm；根据勾股定理有DN=6cm；∴S△AMN=AM•DN=×10×6=30cm．故选C．评注：本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．（五）真题演练1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm（第10题）①②③④⑤2. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为A.2 B. C. D.6 3. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点、点处，且,侧面四边形为矩形，若测得，则( )（第3题）A. 35° B. 40° C. 55° D. 70°4.（ 2011重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．45. （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________.6. （2011广东广州市，18，9分） 如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF． 求证：△ACE≌△ACF．图6ABCDEF第二部分 练习部分1. （2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。
若∠CED′=56°,则∠AED的大小是______。