一维圣维南方程组简易推导圣维南（Saint Venant）方程组：∂A∂t+∂Q∂x=qx,t 1g∂v∂t+vg∂v∂x+∂z∂x=-τγR圣维南方程组由水量平衡连续方程和动力方程构成，现推导如下：1、水量平衡连续方程：∂A∂t+∂Q∂x=qx,t思路：质量守恒推导过程：图1 流量平衡控制单元由图所示，根据连续性原理（质量守恒定律）易知：图1-a与图1-b的质量m必定相等则在时间间隔∆t中有：∆m=ρw∙∆V =ρw∙A∆xρw∙A∆x=ρw∙Qx-Qx+∆x∙∆t+P-E∙b∆x∙∆t+qx,t∆x∙∆t以上各式中：A、b—流量单元断面面积、宽（m2、m）∆x—∆t内流过的路程（m）qx,t—∆t内的旁侧入流量（m3/s∙m）ρw—水密度（1000kg/m3）P、E—降水、蒸发量（m3/s∙m2）左右两边同时除以ρw、∆x∆t，则有：A∆t=Qx-Qx+∆x∆x+P-E∙b+q(x,t)又令∆t→0，∆x→0，则有：∂A∂t=-∂Q∂x+P-E∙b+q(x,t)通常地，忽略P、E，则得到证明方程：∂A∂t+∂Q∂x=qx,t（证毕）2、动力方程：1g∂v∂t+vg∂v∂x+∂z∂x=-τγR方程为：一阶非线性双曲型偏微分方程，称之为动力方程、动量方程或能量方程，可见推导方法多样。
利用动量方法时，由于洪水波运动时，河流流速v同时是时间t的函数和河长x的函数，相应的动量需要考虑时间和空间的动量变化（局地动量和迁移动量），很容易出错且较难理解，这里采用一个简易的方法进行推导思路：F合=ma推导过程：图2 河流单元示意图如图所示：F合=F压+Gx-f阻式中： Gx—水元素总重量沿河分量（N）其中：f阻=τχ∆x式中： τ—单位面积上的阻力（N/m2），可按Chazy公式计算 χ—湿周（m）综上：F合=P∙dA-P+dP∙dA+ρwg∙dA∙∆x∙sinα-τχ∆x又：P=γhR=Aχ式中： γ—容重（Nm3）， γ=ρg h—水深（m） R—水力半径（m）原式整理得：=-γ∙dA∙dh+γ∙dA∙∆x∙sinα-γ∙dA∙∆x∙τγR=γ∙dA∙∆x∙(sinα-dh∆x-τγR)对于F合=ma右边，有：ma=ρw∙dA∙∆x∙dvdt因为v=v(x,t)，故令：dv=∂v∂x∙dx+∂v∂t∙dt则原式：=ρw∙dA∙∆x∙（∂v∂x∙v+∂v∂t）综上，左边等于右边：ρw∙dA∙∆x∙∂v∂x∙v+∂v∂t=γ∙dA∙∆x∙(sinα-dh∆x-τγR)1g（∂v∂x∙v+∂v∂t）=(sinα-dh∆x-τγR)由数学知识易得∆x=dx，则简单移项有：1g∂v∂t+vg∂v∂x+（dhdx-sinα）=-τγR注意到：h为河深，高程z=z0+h，z0为渠底高程，则：dz=dz0+dhdzdx=dz0dx+dhdx式中：dz0dx=z下-z上dx=-tanα一般地，α极小，有tanα≈sinα，故原式为：1g∂v∂t+vg∂v∂x+∂z∂x=-τγR（证毕）P.S. 利用能量方程推第二个方程，我还不太会；另外还有一些不懂的地方，希望多多指教！。