曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用 曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性从图3-12 (a), (b)可以观察到.定义 1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如 果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率f'(x)随着x的增大而增大，即f(x)单调增加; 对于凸的曲线弧，其切线的斜率f'(x)随着x的增大而减少，即f'(x)单调减少•而函数f'(x)的单调性又可用它的导 数，即f (x)的二阶导数f〃(x)的符号来判定，故曲线y = f (x)的凹凸性与f(x)的符号有关.定理1设函数f (x)在区间(a,b)上具有二阶导数.(1) 如果在区间(a,b)上，有f〃(x) >0,那么曲线在(a,b)上是凹的；(2) 如果在区间(a, b)上，有f〃( x) <0,那么曲线在(a, b)上是凸的.例1判定曲线y = In x的凹凸性.解 函数的定义域为(0, +8)，而 y' =1, y〃 =-丄 因此曲线y = in x在(0, +^)内是凸的.x x 2例2讨论曲线y二x3的凹凸区间.解 函数的定义域为(-8, +8)， y'二3x2, y" = 6x显然，当x > 0时，y〃 < 0 ；当x < 0时，y〃> 0 •因此(-8,0)为曲线的凸区间，(0, +8)为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例 2 中，点(0,0) 为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义.定义 2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点.下面来讨论曲线y = f (x)拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果f〃 (x)存在且连续，则在拐点的左右近旁f〃 (x)必然异号，因此曲线拐点的横坐标x0，是可能使f〃(x) =0的点，从而可知求拐点的步骤为:(1) 求 f"( x)；(2) 令f〃(x) =0,解出方程f〃(x) =0在某区间内的实根x0 ；(3) 对每一个实根x，考察f (x)在x的左右近旁的符号，若f (x)在x的左右0 0 0近旁的符号相反，则点(％，f(%))是拐点，若八x)在xo的左右近旁的符号相同，则点(％，f(%))不是拐点.例3求曲线y = 5 x5 - 3 x4的凹凸区间与拐点.y" = 4 x 3 一 4 x 2 = 4 x 2 （x 一 1）4解 函数的定义域为(—8, +8) y' = x4 - 3x3y =0,得 x = 0,x =1.由于x = 0的左右近旁y"不改变符号，(0, 0)不是拐点•当x < 1时，y" < 0 ；当2x > 1 时，y〃> 0.所以曲线在(-8,1)内是凸的，在(1,+8)内是凹的；(1,一 15)为拐点. 注意：使f〃(x)不存在而f (x)连续的点，也可能成为曲线的拐点.5例4求曲线y = x3的拐点.5 2 10 1解 定义域为(—8, +8)， y' = 3 x3，y" = -9 x-3,( x 丰 0)10 1因为令y" = 0时，方程—x-3 = 0无解.而当x < 0时，y" < 0 ；当x > 0时，y " > 0，即曲线在区间(-8,0) 内是凸的，在区间 (0,+8)内是凹的，又曲线在点 x =0处是连续的，所以点(0， 0)是曲线的 拐点.三、 函数绘图1 、渐近线定义 3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.x y x y x2 y2例如直线一-~j~ = 0, — + = 0为双曲线—- 一=1的渐近线.a b a b a2 b2但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.( 1 )水平渐近线如果当自变量x T8时，函数f (x)以常量C为极限，即limf (x) = C，则称直线y = Cx T8为曲线y = f (x)的水平渐近线.( 2)铅直渐近线(或垂直渐近线)如果当自变量x T x0时，函数f (x)为无穷大量，即lim f (x) = 8，则称直线x = x0为曲线y = f (x)的铅直渐近线.说明：对x*时，有时也可能仅当或 S ；对心xo，有时也可能仅当2 x+或2 x—.例 5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.x32)x2x3解 (1)因为lim ，x T—3 x 2 + 2 x 一 3x3lim = gxT1 x2 + 2x 一 3所以直线X = -3,x = 1是两条铅直渐近线.1 x2⑵ 因为lim 亍e- 2 = 0，所以直线y = 0为其水平渐近线.x Tg 7 2兀2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为(1(2(3(4( 5)确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点 考察渐近线； 作一些辅助点； 由上面的讨论，画出函数的图形.例6作函数f (x)二x3 - 3x2 +1的图形.解(1)函数定义域为(—0 +8);⑵ f'(x)二 3x2 — 6x，令 f'(x) = 0得 x 二 0, x 二 2 ；12f" (x) = 6 x — 6 令 f" (x) = 0得x3x(—g,0)0(0,1)1(1,2)2(2, +g)f"(x)+0——0+f"(x)——0++f (x)厂极大值1拐点 (1,—1)极小值—3列表:解 定义域为（-8,22 （2,+8）(x-2)2 -2(x-1)(x-2)(x-2)4x(x - 2)3令 y，= 0,得 x 二 0 ；ff(x — 2)3 — 3x( x — 2)2 2( x +1)(x — 2)6 (x — 2)4令 y " = 0，得 x =—1；列表：x(—8,—1 )—1(—1,0)0(0,2)(2, +8)f'( x)——0+—f〃( x)—0+++f (x)拐点（h 9 ）5极小值-—4x — 1渐近线：因为lim[ —1] = 8，所以x二2是铅直渐近线；又因为乂-2+ （x — 2）2x —1lim[ — 1] = —1,所以y = —1是水平渐近线.xT8 (x 一 2)2作辅助点：（1,—1）、（ ,°）、（0,—）-24作图：（如图 3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性：(2) y = xarctanx.（1） y = ax 2 + bx + c （a 丰 0）；2、 求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1） y = x 3 一 5 x 2 + 3 x 一 5 ；3、 求下列曲线的水平或垂直渐近线1）x — 3x2 + x —121(2) y = ex ；⑶ y = ln(1 + -)-xex⑷ y = +1.x — 1(2) y = e-x2；4、作函数的图形：（1） y = 8 x 3 —12 x 2 + 6 x +1 ；。