第一讲 数列定义及其性质一、基本概念：1、通项公式：； 2、前项和：3、关系：二、性质： 1、单调性：增数列：；减数列：；常数列：2、最值：3、前项积有最大值：三、几种常见数列： 1、2、3、4、5、★随堂训练：1、已知数列通项公式是，那么这个数列是（ ）A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2、已知数列满足，，那么这个数列是（ ）A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3、已知数列通项公式是，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）4、已知数列通项公式是是数列的前项积，即，当取到最大值是，n的值为（ ）5、设数列的前项和，则的值是（ ）等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p.3．等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．5．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．最值问题在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn＝.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．基础训练：（公式的运用，定义的把握）1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（ ） A．B．1C．D．﹣12．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（ ） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（ ） A．23B．24C．25D．264．两个数1与5的等差中项是（ ） A．1B．3C．2D．5．（2005•黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（ ） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点1:等差数列的通项与前n项和题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例1】已知为等差数列，，则 对应练习：1、已知为等差数列，（互不相等），求.2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.题型2：已知前项和及其某项，求项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数； ⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.【例2】已知为等差数列的前项和，，求对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.4、已知为等差数列的前项和，，则 .题型3：求等差数列的前n项和【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知为等差数列的前项和，. （1） ； ⑵求；⑶求.练习：对应练习：5、已知为等差数列的前项和，，求.考点2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、 定义法：（，是常数）是等差数列；2、中项法：()是等差数列；3、通项公式法：（是常数）是等差数列；4、项和公式法：（是常数，）是等差数列.【例4】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.对应练习：6、设为数列的前项和，， （1） 常数的值； （2） 证：数列是等差数列.考点3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知为等差数列的前项和，，则 ；2、知为等差数列的前项和，，则 .对应练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） 8.设、分别是等差数列、的前项和，，则 . 考点4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出后，判断的单调性.【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，，其前项和为⑴ 数列、的通项公式； ⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.课后练习：1.(2010广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则A． B． C． D．2.在等差数列中，，则 .3. 数列中，，当数列的前项和取得最小值时， . 4. 已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 . 5.设数列中，，则通项 . 对应练习：9.已知为数列的前项和，，.⑴ 数列的通项公式；⑵ 数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由。