文档高等数学上册第一章 函数与极限（一） 函数1、 函数定义与性质〔有界性、单调性、奇偶性、周期性〕；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与连续点；函数在连续 第一类：左右极限均存在连续点 可去连续点、跳跃连续点 第二类：左右极限、至少有一个不存在 无穷连续点、振荡连续点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理与其推论二） 极限1、 定义1） 数列极限 2） 函数极限左极限： 右极限：2、 极限存在准如此1） 夹逼准如此：1〕2〕2） 单调有界准如此：单调有界数列必有极限3、 无穷小〔大〕量1） 定义：假如如此称为无穷小量；假如如此称为无穷大量2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小Th1;Th2〔无穷小代换〕4、 求极限的方法1） 单调有界准如此；2） 夹逼准如此；3） 极限运算准如此与函数连续性；4） 两个重要极限：a) b)5） 无穷小代换：〔〕a)b)c) 〔〕d) 〔〕e)第二章 导数与微分（一） 导数1、 定义：左导数：右导数：函数在点可导2、 几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。
3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义；2） 根本公式；3） 四如此运算；4） 复合函数求导〔链式法如此〕；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；7） 对数求导法5、 高阶导数1） 定义：2） Leibniz公式：（二） 微分1） 定义：，其中与无关2） 可微与可导的关系：可微可导，且第三章 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle定理：假如函数满足：1〕； 2〕； 3〕；如此.2、 Lagrange中值定理：假如函数满足：1〕； 2〕；如此.3、 Cauchy中值定理：假如函数满足：1〕； 2〕；3〕如此（二） 洛必达法如此（三） Taylor公式阶Taylor公式：在与之间.当时，成为阶麦克劳林公式：在与之间. 常见函数的麦克劳林公式：1〕在与之间，；2〕在与之间，；3〕在与之间，；4〕在与之间，5〕，在与之间，.（四） 单调性与极值1、 单调性判别法：，，如此假如，如此单调增加；如此假如，如此单调减少2、 极值与其判定定理：a) 必要条件：在可导，假如为的极值点，如此.b) 第一充分条件：在的邻域可导，且，如此①假如当时，，当时，，如此为极大值点；②假如当时，，当时，，如此为极小值点；③假如在的两侧不变号，如此不是极值点。
c) 第二充分条件：在处二阶可导，且，，如此①假如，如此为极大值点；②假如，如此为极小值点3、 凹凸性与其判断，拐点1〕在区间I上连续，假如，如此称在区间I 上的图形是凹的；假如，如此称在区间I 上的图形是凸的2〕判定定理：在上连续，在上有一阶、二阶导数，如此 a) 假如,如此在上的图形是凹的； b) 假如,如此在上的图形是凸的3〕拐点：设在区间I上连续，是的点，如果曲线经过点时，曲线的凹凸性改变了，如此称点为曲线的拐点五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值〔最值〕六） 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性七） 渐近线1、 铅直渐近线：，如此为一条铅直渐近线；2、 水平渐近线：，如此为一条水平渐近线；3、 斜渐近线：存在，如此为一条斜 渐近线八） 图形描绘步骤: 1. 确定函数的定义域，并考察其对称性与周期性；2. 求并求出与为零和不存在的点；3. 列表判别函数的增减与曲线的凹向, 求出极值和拐点;4. 求渐近线;5. 确定某些特殊点, 描绘函数图形.第四章 不定积分（一） 概念和性质1、 原函数：在区间I上，假如函数可导，且，如此称为的一个原函数。
2、 不定积分：在区间I上，函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分3、 根本积分表〔P188，13个公式〕；4、 性质〔线性性〕二） 换元积分法1、 第一类换元法〔凑微分〕：2、 第二类换元法〔变量代换〕：（三） 分部积分法：（四） 有理函数积分 1、“拆〞； 2、变量代换〔三角代换、倒代换等〕第五章 定积分（一） 概念与性质：1、 定义：2、 性质：〔7条〕性质7 〔积分中值定理〕 函数在区间上连续，如此，使 〔平均值：〕（二） 微积分根本公式〔N—L公式〕1、 变上限积分：设，如此推广：2、 N—L公式：假如为的一个原函数，如此（三） 换元法和分部积分1、 换元法：2、 分部积分法：（四） 反常积分1、 无穷积分：2、 瑕积分：〔a为瑕点〕〔b为瑕点〕两个重要的反常积分：1) 2)第六章 定积分的应用（一） 平面图形的面积1、 直角坐标：2、 极坐标：（二） 体积1、 旋转体体积：a)曲边梯形轴，绕轴旋转而成的旋转体的体积： b)曲边梯形轴，绕轴旋转而成的旋转体的体积： 〔柱壳法〕2、 平行截面面积的立体：（三） 弧长1、 直角坐标：2、 参数方程：3、 极坐标：第七章 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数2、 解：使微分方程成为恒等式的函数通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数一样特解：确定了通解中的任意常数后得到的解二） 变量可别离的方程，两边积分（三） 齐次型方程，设，如此；或，设，如此（四） 一阶线性微分方程用常数变易法或用公式：（五） 可降阶的高阶微分方程1、，两边积分次；2、〔不显含有〕，令，如此；3、〔不显含有〕，令，如此（六） 线性微分方程解的结构1、是齐次线性方程的解，如此也是；2、是齐次线性方程的线性无关的特解，如此是方程的通解；3、为非齐次方程的通解，其中为对应齐次方程的线性无关的解，非齐次方程的特解七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：特征方程：，特征根： 特征根通 解实根 （八） 常系数非齐次线性微分方程1、设特解，其中 2、设特解，其中 ， / 。