精锐教育学科教师讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 科目： 学科教师： 授课类型T 盈亏问题C 盈亏问题T 盈亏问题综合授课日期时段教学内容1、相遇问题和追及问题常见类型以及方法是什么？2、多次相遇有什么规律？一、 同步知识梳知识点1：盈亏问题的概念 盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量例如：把一袋饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块，少8块小朋友有多少人饼干有多少块这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题知识点2：盈亏问题的基本数量关系（盈＋亏）÷两次所分之差＝人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1、两盈：两次分配都有多余；2、两亏：两次分配都不够；3、盈适足：一次分配有余，一次分好够分；4、不足适足：一次分配不够，一次分配正好二、同步题型分析题型1：两盈例1：妈妈买回一筐苹果，如果每天吃4个，要多出48个苹果； 如果每天吃6个，则多8个苹果，那么妈妈买回的苹果有多少个计划吃多少天分析：画图如下：我们用圆圈的个数表示计划吃的天数，每天吃4个，多出48个，每天吃6个，多出8个，通过画图对比两次分的情况，每天多吃（6－4）个，需要（48－8）个苹果。
则可以求出计划吃的天数：（48－8）÷（6－4）＝20（天），则苹果数4×20＋48＝128（个）或 6×20＋8＝128（个）例2：有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？分析：由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案分配结果相差：70-10=60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7-5=2（本），相差60本的学生有：60÷2=30（人）．练习本有：30×5+70=220（本）（或30×7+10=220本）．例3：商店以每只65元的价钱购进一批书包，售价为74元，卖到还剩5只时，除成本外已经获得利润440元这批书包共有多少只?分析：依题意，卖到还剩5只时，已获利440元，但我们不能错误地认为获利就是440元，最终的获利应该是440＋74×5＝810(元)，每只获利额是购价与售价的差额，即74－65＝9(元)，要想获利810元，应卖书包810÷9＝90(只)74×5＋440)÷(74－65)＝90(只)答：这批书包共有90只题型2：双亏例1：有铅笔若干，分给三个学生，若每人9支则少15支，若每人7支则少7支。
问铅笔和学生各有多少？分析：画图如下：我们用圆圈的个数表示学生的个数，每人9支则少15支，若每人7支则少7支，通过画图对比两次分的情况，每人9支少15去，从每人手中拿回（9－7）去，两次少的支数差（15－7），即学生数为（15－7）÷（9－7）＝4（人），铅笔数：4×9－15＝21（支）或4×7－7＝21（支）例2：幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？分析：由题意知：两次的分配结果相差：24-12=12（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：9-6=3（块），多少人相差12块呢？12÷3=4（人），糖果数是：6×4-12=12（块）（或9×4-24=12（快）．例3：有若干支铅笔用来奖给优秀少先队员每人奖励5支则差25支；每人奖励4支则差2支铅笔有多少支优秀少先队员有多少人 分析；每人少分1支，则少差25－2=23（支），那么人数就是23人 解: （25－2）÷（5－4）=23（人）， 23×5－25=90（支）此题可以得出：（大亏－小亏）÷（两次分得的差）=人数答：有90支铅笔，有23人优秀少先队员。
题型3：一盈一亏例1：明明买回一筐苹果，按计划吃的天数算一下，如果每天吃4个，要多出48过苹果； 如果每天吃6个，则又少8个苹果，那么明明买回的苹果有多少个计划吃多少天分析：画图如下： 我们用圆圈的个数表示计划吃的天数，每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果通过画图对比两次分的情况，每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要48＋6=56（个），则计划吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝28（天），买回的苹果数：6×28－8＝160（个）或4×28＋48＝160（个）答：妈妈买回的苹果160个，计划吃28天例2：学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则多出23 人；每个房间住5人，则空出3个房间，问宿舍有多少个房间新生有多少人分析：每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3=15（人）由此可见，每一个房间增加5-3=2（人）两次安排人数总共相差23+15=38（人）因此，房间总数是：38÷2=19（间），学生总数是：3×19+23=80（人），或者 5×19-5×3=80（人）。
答：有19间宿舍，新生有80人例3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？分析：本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费（元）．这样比实际多得（元）． 就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶．根据以上分析，可得损坏了（个）．题型4：盈适足与不足适足例1、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫猫妈妈一共有多少条鱼分析：猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是（条），由盈亏问题公式得，有小猫：（只），猫妈妈有（条）鱼．例2：学校有一批树苗，交给若干名少先队员去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分；如果再拿来8棵树苗，那么每个少先队员正好栽10棵问参加栽树的少先队员有多少人原有树苗多少棵分析：最后剩下12棵，不够分了，可知，少先队员数应大于12，再拿来8棵正好平均分完（每人10棵），由于8＜12，所以可知少先队员数应为：12+8=20（人）；又再拿来8棵，那么每个少先队员正好栽10棵，由此可得树苗应为10×20-8=192（棵）．解：人数为：12+8=20（人）；树苗的棵数为：10×20-8=192（棵）．答：参加栽树的少先队员有20人，原来有树苗共192棵． 三、课堂达标检测1、学校组织一次知识竞赛活动，老师给优胜学生颁奖，若每人分给5枝铅笔，还多余2枝；每人分给6枝铅笔，最后一名学生只分得2枝．求老师共有多少枝铅笔，优胜学生有多少人？解：（6-2+2）÷（6-5）=6（人）6×5+2=32（枝）答：老师共有32枝笔，优胜学生有6人。
2、少先队员植树，如果每人种5棵，则剩下13棵；若每人种7棵，则差21棵参加植树的少先队员有多少人这批树有多少棵（13+21）÷（7-5）=17（人）17×5+13=98（棵）答：参加植树的少先队员有17人，这批树有98棵3、幼儿园将一筐苹果分给小朋友如果分给大班的小朋友，每人5个余10个；如果分给小班的小朋友，每人8个缺2个已知大班比小班多3个小朋友这一筐苹果有多少个？解：假设分给小班每人5个，则余：10+5×3=25（个）；小班人数为：（25+2）÷（8-5）， =27÷3， =9（人）；苹果总数是：9×8-2=70（个）答：这一筐苹果有70个4、一小包糖分给几个小朋友，如果每人分3块，则余3块；如果每人分5块，则少一块那么小朋友有多少人糖有多少块解：（3+1）÷（5-3）=2（个）2×3+3=9（块）答：小朋友有2个，糖有9块5、王华用自己仅存的漆包线在磁棒上绕线圈，当他绕了80圈时，测得余线长15.28厘米，于是想改绕90圈，却发现缺少22.4厘米的漆包线，王华的漆包线有多长？解：(15.28+22.4)÷(90-80)=3.768(厘米)3．768×80+15.28=316.72(厘米)答：王华的漆包线有316.72厘米。
6、 李老师将一叠练习本分给第一小组同学，每人分7本还多7本，如果每人分9本，那么有一个同学分不到请算一算，第一小组有几个同学这叠练习本有多少本解：（7+9）÷（9-7）=8（个）8×7+7=63（本）答：第一小组有8个同学，这叠练习本有63本问题导入：盈亏问题果然让人意想不到和生活有如此大的不同，那它还有什么其它运用的奥妙呢？让我们一起来探索吧！一、专题精讲 例1：学校规定上午8时到校，刘玲去上学，如果每分钟走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求刘玲几时几分离家刚好8时到校由家到学校的路程是多少分析：刘玲每分钟走60米，可提早10分钟到校，到校后还可以多走60×10＝600（米）如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可以多走50×8＝400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走了60－50=10（米），就可以多走了600－400＝200（米）从而可以求出刘玲由家到校所需的时间 解：1）10分钟走多少米？60×10=600（米）2）8分钟走了多少米？50×8=400（米）3）需要多长时间（600-400）÷（60-50）=20（分钟）4）由家到校的路程：60×（20-10）=600（米）或：50×（20-8）=600（米） 答：刘玲7点40分离家去上学刚好8时到校；刘玲的家离校有600米。
例2：某校乒乓球队有若干名学生如果少一个女生，增加一个男生，则男生为总数的一半；如果少一个男生，增加一个女生，则男生为女生人数的一半，乒乓球队共有多少个学生？分析：(l)由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知，女生比男生多2人2)“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2+2=4（人），这时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2＝8（人）原来女生有8－1＝7（人），男生有7－2＝5（人），共有7＋5＝12（人）1×2＋1×2)×2－1＝7（人），7＋7－2＝12（人）答：乒乓球球队共有12人例3：龙博士将若干支钢笔分给四年级（3）班的学生，如果只分给女生，每人分6支钢笔，则多5支钢笔；如果只分给男生，每人分8支钢笔，则少3只钢笔；己知四年级（3）班的女生比男生多4人．那么，四年级（3）班共有多少名学生这些钢笔共有多少支分析：如果只分给男生，每人分8支钢笔，则少3只钢笔”可变为“如果只分给女生，每人分8支钢笔，则少3+4×8=35只钢笔”，女生人数：（35+5）÷（8-6）=20（人）； 全班总人数：20+20-4=36（人），钢笔总数：20×6＋5＝125（支）。