含有耦合电路分析经典篇

第7章 含有耦合电感的电路l重点1.互感和互感电压2.有互感电路的计算3.空心变压器和理想变压器10.1 互感1. 互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收 音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的 变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌 握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的线圈1中通入电流i1时，圈1中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为互感磁通两线圈间有磁的耦合–u11+–u21i111 21N1N2定义 ：磁链 (magnetic linkage)， =N当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，与i 成正比,当只有 一个线圈时： 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与 互磁链的代数和： 注（1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与 线圈中的电流无关，满足M12=M21 （2）L总为正值，M值有正有负.2. 耦合系数 (coupling coefficient)用耦合系数k 表示两个线 圈磁耦合的紧密程度当 k=1 称全耦合: 漏磁  s1 =s2=0即 11= 21 ，22 =12一般有：耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关互感现象利用——变压器：信号、功率传递避免——干扰克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。

当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而圈两端产生感应电压 当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压 均包含自感电压和互感电压：自感电压互感电压3. 耦合电感上的电压、电流关系在正弦交流电路中，其相量形式的方程为两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正， 否则取负表明互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关 （2）与线圈的相对位置和绕向有关注4.互感线圈的同名端对自感电压，当u, i 取关联参考方向，u、i与符合右螺旋定则，其表达式为上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写 出，可不用考虑线圈绕向i1u11对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上， 因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向这在 电路分析中显得很不方便为解决这个问题引入同名端的 概念当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这 两个对应端子称为两互感线圈的同名端 **同名端i1i2i3△△注意：线圈的同名端必须两两确定。

–u11+–u2111 0N1N2+–u31N3 s确定同名端的方法：(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两 个电流产生的磁场相互增强i 11'22'**11'22'3'3**  例(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将 会引起另一线圈相应同名端的电位升高同名端的实验测定：i11'22'**R SV+–电压表正偏如图电路，当闭合开关S时，i增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要 确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断当断开S时，如何判定？由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可i1** u21+–Mi1** u21–+Mi1** L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1 +_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M例写 出 图 示 电 路 电 压 、 电 流 关 系 式例i1** L1L2+_u2MR1R2+_u21010i1/At/s 解7.2 含有耦合电感电路的计算1. 耦合电感的串联（1） 顺接串联iRLu+–iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–去耦等效电路（2） 反接串联互感不大于两个自感的算术平均值。

iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–顺接一次，反接一次，就可以测出互感：全耦合时 当 L1=L2 时 , M=L4M 顺接0 反接L=互感的测量方法：在正弦激励下：** +–R1R2j L1+– +–j L2j M+–** +–R1R2j L1+– +–j L2j M相量图：(a) 顺接(b) 反接（1） 同侧并联i = i1 +i2 解得u, i 的关系：2. 耦合电感的并联**Mi2i1L1L2ui+–如全耦合：L1L2=M2当 L1L2 ，Leq=0 (物理意义不明确)L1=L2 =L ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变) 等效电感：Lequi+–去耦等效电路（2） 异侧并联**Mi2i1L1L2ui+–i = i1 +i2 解得u, i 的关系：等效电感：3.耦合电感的T型等效（1） 同名端为共端的T型去耦等效**jL1123jL2j Mj(L1-M)123jMj(L2-M)（2） 异名端为共端的T型去耦等效**jL1123jL2j Mj(L1＋M)123－jMj(L2＋M)**Mi2i1L1L2ui+–**Mi2i1L1L2u+–u+–j(L1－M)jMj(L2－M)j(L1－M)jMj(L2－M)4. 受控源等效电路**Mi2i1L1L2u+–u+–j L1j L2 +––++–+–例 M=3H6H2H0.5H4HabM=4H6H2H3H5HabM=1H9H2H0.5H7Hab-3HLab=5H4H3H2H1Hab3HLab=6H解5. 有互感电路的计算(1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面介绍的相量分析方法。

2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压3) 一般采用支路法和回路法计算列写下图电路的回路电流方程例1MuS+C－ L1L2R1R2**+－ki1i1213MuS+C－ L1L2R1R2**+－ki1i1解例2求图示电路的开路电压 M12+_+_**M23M31L1L2L3R1解1作出去耦等效电路，(一对一对消):M12**M23M13L1L2L3**M23M13L1–M12L2–M12L3+M12L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13 L3+M12–M23 –M13 解2L1–M12 +M23L2–M12 –M23L3+M12 –M23M13L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13 L3+M12–M23 –M13 R1 +– +_例3要使i=0，问电源的角频率为多少？ZRC －L1L2M iuS+L1 L2C R +– MZ**L1－M L2－MC R +– ZM解7.3 空心变压器**j L1j L2j M+–R1R2Z=R+jX变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向 电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从 一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。

当变压 器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器1. 空心变压器电路原边回路副边回路2. 分析方法（1） 方程法分析**j L1j L2j M+–R1R2Z=R+jX令 Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)回路方程：+–Z11原边等效电路+–Z22副边等效电路（2） 等效电路法分析Zl= Rl+j Xl+–Z11副边对原边的引入阻抗引入电阻恒为正 , 表示副边回 路吸收的功率是靠原边供给的引入电抗负号反映了引入电抗 与付边电抗的性质相反原边等效电路引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响从物理意 义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的 副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压从能量角度来说 :电源发出有功 P= I12(R1+Rl)I12R1 消耗在原边；I12Rl 消耗在付边，由互感传输证 明原边对副边的引入阻抗利用戴维宁定理可以求得空心变压器副边的等效电路 副边开路时，原边电流在副边产生 的互感电压–Z22副边等效电路（3） 去耦等效法分析对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电 路，再进行分析。

已知 US=20 V , 原边引入阻抗 Zl=10–j10.求: ZX 并求负载获得的有功功率.此时负载获得的功率：实际是最佳匹配：解：* *j10j10j2+–10ZX+–10+j10Zl=10–j10例1解L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 ,  =314rad/s,应用原边等效电路+–Z11例2**j L1j L2j M+–R1R2RL解1应用副边等效电路解2 +–Z22例3全耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗 *L1aM+–bL2解1解2画出去耦等效电路L1－M L2－M+– Mab例4L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , R1=10 , C1=C2=0.01F , 问：R2=？能吸收最大功 率, 求最大功率解1 =106rad/s,* * j L1j L2j M+–R1C2R2C1应用原边等效电路+–10当R2=40时吸收最大功率解2应用副边等效电路+–R2当时吸收最大功率例5图示互感电路已处于稳态 ，t=0时开关打开， 求t >0+时开路电压u2(t)。

*0.2H0.4HM=0.1H+–1040Vu2+－10510解* *0.2H0.4HM=0.1H+–1040Vu2+－10510副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t)中只有 互感电压先应用三要素法求电流i(t).i10解例6** ＋－uS(t)Z100 CL1L2M问Z为何值时其上获得最大 功率，求出最大功率1）判定互感线圈的 同名端jL1 R +– MZL**jL2 1/jC （2）作去耦等效电路j100－j20j20100j(L-20)－＋j100100j(L-20)－＋jL1 R +– MZL**jL2 1/jC j100100j(L-20)－＋＋－uocj100100j(L-20)Zeq7.4 理想变压器1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感 元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感2）全耦合（1）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的 磁导率无限大3）参数无限大以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际 工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想 变压器对待，可使计算过程简化。

i 11'22' N1N22.理想变压器的主要性能（1）变压关系**n:1+_u1+_u2**n:1+_u1+_u2理想变压器模型 若（2）变流关系i1** L1L2+_u1+_u2i2M考虑到理想化条件：0若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：n:1理想变压器模型（3）变阻抗关系**+–+–n : 1Z+–n2Z理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大 小，不改变阻抗的性质注（b）理想变压器的特性方程为代数关系，因此 它是无记忆的多端元件–n : 1u1i1i2+–u2（a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路 中只起传递信号和能量的作用4）功率性质表明：例1已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10为使 RL上获得最大功率，求理想变压器的变比nn2RL+–uSRS当 n2RL=RS时匹配，即10n2=1000 n2=100， n=10 .* *n : 1RL+–uSRS应用变阻 抗性质例2**+–+–1。