第5课时 追及相遇问题1．追及、相遇问题的实质讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题1)两个等量关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可以通过画草图得到2)一个临界条件：即二者速度相等，它往往是物体能否追上、追不上或两者相距最远、最近的临界条件2．解答追及、相遇问题的常用方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇3)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题例1】汽车从静止开始以3的加速度行驶，恰有一自行车以6的速度从汽车边匀速行驶求：（1）小汽车从运动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？（2）汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度多少？【变式训练1】一车处于静止状态，车后距车S0=25m处有一个人，当车以a=1m/s2的加速度开始起动时，人以v=6的速度匀速追车，能否追上？若追不上，人车之间最小距离是多少？【例2】甲、乙两物体沿同一方向做直线运动，6 s末在途中相遇，它们的速度图象如下图所示，可以确定( )A．t＝0时甲在乙的前方27 m处B．t＝0时乙在甲的前方27 m处C．6 s之后两物体不会再相遇D．6 s之后两物体还会再相遇【变式训练2】如图1所示为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时做匀加速运动的v－t图象。
已知在第3 s末两个物体在途中相遇，则下列说法正确的是( )A．两物体从同一地点出发B．出发时B在A前3 m处C．3 s末两个物体相遇后，两物体不可能再次相遇D．运动过程中B的加速度大于A的加速度【例3】随着空气质量的恶化，雾霾现象增多，危害加重雾和霾都是视程障碍物，会使有效水平能见度降低，从而带来行车安全隐患在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵如图9中a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图线，以下说法正确的是( )A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾B．在t＝5 s时追尾C．在t＝3 s时追尾D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾【变式训练3】a、b两车在平直公路上沿同一方向行驶，两车运动 的v－t图象如图8所示，在t＝0时刻，b车在a车前方x0处，在0～t1时间内，a车的位移为x，则( )A．若a、b在t1时刻相遇，则x0＝xB．若a、b在时刻相遇，则下次相遇时刻为2t1C．若a、b在时刻相遇，则x0＝xD．若a、b在t1时刻相遇，则下次相遇时刻为2t1【例4】A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝20 m/s，B车速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车600 m时才发现前方的A车，因此B车立即刹车，但B车要减速运动1 800 m才能够停止。
1)B车刹车后减速运动的加速度多大？(2)若B车刹车10 s后，A车以加速度a2＝0.5 m/s2加速前进，问能否避免事故？若能避免，则两车最近时相距多远？【变式训练4】2012年10月4日，云南省彝良县发生特大泥石流如图2所示，一汽车停在小山坡底，突然司机发现在距坡底240 m的山坡处泥石流以8 m/s的初速度、0.4 m/s2的加速度匀加速倾泄而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动已知司机的反应时间为1 s，汽车启动后以0.5 m/s2的加速度一直做匀加速直线运动试分析汽车能否安全脱离？【例5】甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16 m/s，加速度大小a甲＝2 m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4 m/s，加速度大小a乙＝1 m/s2，做匀加速直线运动，求：(1)两车再次相遇前二者间的最大距离；(2)到两车再次相遇所需的时间 （3）若题中甲的加速度变为a甲＝4 m/s2，则问题（2）中所需的时间还一样吗？【变式训练5】A、B两个物体在水平面上沿同一直线运动，它们的v—t图像如图所示在t=0时刻，B在A的前面，两物体相距7m，B物体做减速运动的加速度大小为2m/s2．则A物体追上B物体所用时间是（ ）A、5s B、6,25sC、7s D、8s第5课时 追及相遇问题【答案】【变式训练1】解：S人-S车=S0 ∴ v人t-at2/2=S0 即t2-12t+50=0 Δ=b2-4ac=122-4×50=-56<0 方程无解。
人追不上车 当v人=v车at时，人车距离最小 t=6/1=6s ΔSmin=S0+S车-S人=25+1×62/2-6×6=7m【例4】解析 (1)设B车减速运动的加速度大小为a1，则0－v＝－2a1x1 解得a1＝＝0.25 m/s22)设B车减速时间t时两车的速度相同，则vB－a1t＝vA＋a2(t－Δt) 代入数值解得t＝20 s在此过程中A、B两车前进的位移分别为：xA＝vAΔt＋vA(t－Δt)＋a2(t－Δt)2＝425 m xB＝vBt－a1t2＝550 m有xA＋x>xB，所以两车不会发生撞车事故 此时两车相距最近，为Δx＝xA＋x－xB＝475 m变式训练4】解析 设泥石流到达坡底的时间为t1，速率为v1，则x1＝v0t1＋a1t，v1＝v0＋a1t1 代入数据得t1＝20 s，v1＝16 m/s而汽车在t2＝19 s的时间内发生位移为x2＝a2t＝90.25 m，速度为v2＝a2t2＝9.5 m/s令再经时间t3，泥石流追上汽车，则有 v1t3＝x2＋v2t3＋a2t代入数据并化简得t－26t3＋361＝0，因Δ<0，方程无解所以泥石流无法追上汽车，汽车能安全脱离。
例5】解析 解法一 用物理分析法求解(1)甲、乙两车同时同地同向出发，甲的初速度大于乙的初速度，但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，则二者相距最远时的特征条件是：速度相等， 即v甲t＝v乙tv甲t＝v甲－a甲t1；v乙t＝v乙＋a乙t1，得：t1＝＝4 s相距最远Δx＝x甲－x乙＝(v甲t1－a甲t)－(v乙t1＋a乙t)＝(v甲－v乙)t1－(a甲＋a乙)t＝24 m2)再次相遇的特征是：二者的位移相等，即 v甲t2－a甲t＝v乙t2＋a乙t，代入数值化简得 12t2－t＝0 解得：t2＝8 s，t2′＝0(即出发时刻，舍去)解法二 用数学极值法求解(1)两车间的距离Δx＝x甲－x乙＝(v甲t－a甲t2)－(v乙t＋a乙t2)＝(v甲－v乙)t－(a甲＋a乙)t2＝12t－t2＝－[(t－4)2－16] 显然，t＝4 s时两者距离最大，有Δxm＝24 m2)当Δx＝12t－t2＝0时再次相遇， 解得：t2＝8 s，t2′＝0(舍去)。