北师版九年级数学上册基本知识王寨一中 周小军一.特殊平行四边形1. 平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义：（1）两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.（2）有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.（3）有一个角是直角的平行四边形叫矩形.（4）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.2.分别从边角、边、对角线、对称性、面积等方面说出平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质.（1）平行四边形：①平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补.②平行四边形的对边平行且相等.③平行四边形的对角线互相平分.④平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.⑤平行四边形的面积等于底乘以高.（2）菱形①菱形的两组对角分别相等，菱形的邻角互补.②菱形的对边平行，四条边都相等.③菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角.④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点，对称轴分别是对角线所在的直线.⑤菱形的面积既等于底乘以高，又等于对角线乘积的一半.⑶矩形①矩形的四个角都相等，都等于90º.②矩形的对边平行且相等，邻边垂直.③矩形的对角线相等且互相平分.④矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点，对称轴分别是经过每组对边中点的直线.⑤矩形的面积等于两邻边的积.⑷正方形①正方形的四个角都相等，都等于90 º.②正方形的对边平行，四条边都相等.③正方形的对角线既相等，又互相垂直平分，还平分每一组对角.④正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点，对称轴对称轴分别是对角线所在的直线和经过每组对边中点的直线.⑤正方形的面积既等于边长的平方，又等于一条对角线平方的一半.3. 分别从角、边、对角线、对称性、等方面来判定平行四边形、菱形、矩形、正方形.⑴平行四边形①两组对角分别相等的四边形是平行四边形.②两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.⑵菱形①有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.②四条边都相等的四边形是菱形.③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.④一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.⑤对角线互相垂直平分的四边形是菱形.⑶矩形①有一个角是直角的平行四边形叫矩形.②三个角是直角的四边形是矩形.③四个角都相等四边形是矩形.④对角线相等平行四边形是矩形.⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形.⑷正方形①有一个角是直角的菱形是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③对角线相等的菱形是正方形.④对角线垂直的矩形是正方形.⑤一条对角线平分一个内角的矩形是正方形.⑥对角线相等、平分，且垂直的四边形是正方形.⑦对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.4.中点四边形的定义：顺次连结一个四边形各边中点得到的图形叫做这个四边形的中点四边形.5.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系.6. 中点四边形的性质：任意四边形的中点四边形是平行四边形，它与原四边形的对角线关系密切：（1）原四边形的对角线相等，中点四边形是菱形；（2）原四边形的对角线互相垂直，中点四边形是矩形；（3）原四边形的对角线相等且互相垂直，中点四边形是正方形；（4）中点四边形的周长等于原四边形的对角线的和；（5）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半（与原四边形的对角线无关）.7.直角三角形的性质：（1）勾股定理；（2）直角三角形两锐角互余；（3）直角三角形的斜边大于直角边；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5）直角三角形中30º所对的直角边等于斜边的一半；（6）直角三角形斜中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30º.8. 直角三角形的判定：（1）直角三角形的定义.（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）勾股定理的逆定理.（4）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.二.一元二次方程1.一元二次方程的的定义：（1）化简是前提，包括：去分母，去括号，移项，合并同类项.（2）一元：方程中含一个未知数.（3）二次：未知项（数）的最高次数是2，并且二次项的系数不等于0.（4）整式方程：方程的各个部分必须是整式.2.一元二次方程的一般形式：ax ²+bx+c=0（x是未知数，a、b、c是已知数，并且a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.3.配方法解一元二次方程的方法与步骤：（1）移项、合并同类项.将所有未知项移到方程的一边（左边），将所有常数项移到方程的另一边（右边）.（2）化二次项系数为1.方程两边都除以二次项系数.（3）配方.方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程的一边化成一个完全平方式.（4）开平方.当方程另一边是个非负数时，两边同时开平方得方程的解.其中（1）、（2）两个步骤可以交换顺序.4.公式法解一元二次方程的方法与步骤：（1）将方程化成一般形式.（2）计算Δ=b ²-4ac的值.（3）当Δ=b ²-4ac≥0时，代入求根公式（当Δ=b ²-4ac＜0时，方程没有实数根）.5.因式分解法解一元二次方程（1）ax²+c=0（b＝0，ac＜0）的形式可用直接开平方发或平方差公式法；（2）ax²+bx=0（c=0）的形式可用提公因式法.（3）方程两边有公因式时，可用提公因式法.（4）方程两边都是完全平方式时，可用平方差公式法.（5）方程是a²x²±2abx+b²=0的形式时，可用完全平方公式法.（6）方程是acx²＋（ad+bc）x+bd=0的形式时，可用十字相乘法.没有特别要求时，一般情况不用配方法，因式分解法首先，公式法万能.6.不解方程，判断一元二次方程根的情况：（1）方程必须化成一般形式.（2）①当Δ= 时，方程有两个不相等的实数根. 即 ②当Δ= 时，方程有两个相等的实数根，即 ③当Δ= 时，方程没有实数根。
反之，也成立.7.一元二次方程根与系数的关系：（1）方程必须化成一般形式.（2）当Δ=b ²-4ac≥0时，x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a.8.一元二次方程的应用：（1）卖冰箱问题；（2）（年均）增长率问题、（一年期定期自动转存）储蓄问题；（3）传染病问题、（计算机）病毒感染问题、握手问题、互赠贺卡问题、（单循环、双循环）比赛问题；（4）田间修路问题；（5）其它类型.三.概率的进一步认识1.古典概型必须具备的两个条件：（1）所有可能出现的结果是有限多个.（2）每一中结果出现的可能性均相同.2.用列表法、树状图法求某些随机事件发生的概率.3.用实验频率估计相应事件发生的概率：当我们重复大量做某一实验时，会发现某一事件发生的频率会稳定在某一常数附近，随着实验次数的增加，这种规律越来越明显，于是我们就估计这一事件发生的概率是这一常数.4.用模拟实验代替实际实验，来估计某一事件发生的概率.四.图形的相似1.两条线段的比.2.比例线段3.比例的性质：（1）基本性质 如果a∶b=c∶d，那么ad=bc. 如果ad=bc，那么a∶b=c∶d.（2）合比性质 如果,那么（3）等比性质 如果=…=（b+d+…+n≠0）,那么4.平行线分线段成比例定理及推论.5.平行线分线段成比例定理及推论的基本图形：“A字型图”、”X型图”.6.相似多边形的定义、性质，相似比的定义.7.三角形相似的判定定理.8. 三角形相似的基本图形：“A字型图”、”X型图”、“A字型图”变式、“X型图”变式、“双垂直”、“一线三直角”、“一线三等角”.9. 相似三角形的性质10.黄金分割的定义及黄金比.11.黄金分割常数.12.作线段的黄金分割点.13.利用相似三角形测高：（1）利用阳光下的影子；（2）利用镜子的反射；（3）利用标杆；（4）《海岛算经》与双标杆14.位似多边形、位似三角形的定义.15.位似多边形的性质：（1）位似多边形必是相似多边形，具有相似多边形的所有性质.（2）位似多边形对应点的连线相交于一点（位似中心）.（3）位似多边形对应边平行或在同一条直线.（4）位似多边形位似中心到对应点距离的比都相等，都等于相似比或相似比的倒数.16.利用位似放大或缩小图形（分两种情况）.17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心作一个图形的位似图形.五.投影与视图1.投影的定义. 根据光线的不同，投影分为哪两类？2.中心投影的定义3.如何确定灯泡的位置？4. 在灯光照射下，如何根据一个物体的影子确定另一个物体的影子？5. 灯泡的位置不变，物体的影子长短由物体的高低决定吗？灯泡的位置不变，物体的影子如何随物体距灯泡距离的远近而变化？6.平行投影的定义.7.同一地方、同一物体，不同时刻在阳光照射下，物体影子的方向、长短如何变化的？8.同一地方、同一时刻，不同物体在阳光照射下，物体影子的方向、长短如何变化的？9在阳光照射下，如何根据一个物体的影子确定另一个物体的影子？10.正投影的定义.11.视图与正投影的关系.12圆柱、圆锥、球的三种视图.13.会画一些简单几何体的三种视图.14.因为主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的宽和高，所以画几何体的三种视图要做到：（1）主视图、俯视图的长相等； （2）俯视图、左视图的宽相等；（3）左视图、主视图的高相等.（4）看得见的部分的轮廓线画实线，看不见的部分的轮廓线画虚线.六.反比例函数1.反比例函数的定义.2.反比例函数表达式的三种形式：（1）y=k /x（k是常数，且k≠0）；（2）y=k·xˉ¹（k是常数，且k≠0）；（3）xy=k（k是常数，且k≠0）.3.反比例函数的实质是两变量之积是定值k（k≠0）.4.反比例函数的性质：（1）反比例函数y=k /x的图象叫双曲线， 双曲线y=k /x无限接近坐标轴，但与坐标轴永远不相交.（2）当k＞0时，双曲线y=k /x分别位于第一、三象限，在每一象限，从左向右图象呈下降趋势，所以当k＞0时，在每一象限y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线y=k /x分别位于第二、四象限，在每一象限，从左向右图象呈上升趋势，所以当k＜0时，在每一象限y随x的增大而增大.（3）双曲线y=k /x无限接近坐标轴，但与坐标轴永远不相交.（4）k的几何意义：在反比例函数y=k /x的图象任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，平行线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|.（5）双曲线y=k /x既是轴对称图象又是中心对称图形，对称轴分别是直线y=x和直线y=-x，对称中心是坐标原点.（6）双曲线y=k₁ /x和直线y=k₂x，当k₁·k₂＞0时，两图象有交点，且交点关于原点对称；当k₁·k₂＜0时，两图象没有交点.5.借助双曲线y=k /x可以解形如k₁ /x= k₂x+b的分式不等式.七.三角函数1.在Rt△ABC中，∠C=90°（1）sinA= (2)COSA= (3)tanA= 2.如果∠α﹤90º，那么0﹤sinα﹤1; 0﹤COSα﹤1;tanα＞03.锐角的正。