心系天下求学人Page 1 of 5 专业专注 周到 细致福师复变函数课程练习题作业一一、判断题（对的用T 表示，错的用F 表示）1、如果0()fz存在，那么( )f z在0z解析F）2、nLn znLnz （F3、当且仅当z为实数时，ze为实数F）4、设( )f zuiv在区域D内是解析的，如果u是实常数，那么( )f z在整个D内是常数；如果v是实常数，那么( )f z在D内也是常数 （ T ）二、填空1、13Re2ni= ；13Im2ni= 考核知识点：棣莫佛公式，实部、虚部的定义提示：将函数化为复数的三角函数形式2、设是 1 的n次根，1，则211n= 考核知识点：复数的n 次方根及等比数列求和公式. 3、在映射2z下，扇形区域0arg,14zz的像区域为考核知识点：复数的乘幂运算4、若11nnii，则n= 考核知识点：欧拉公式，棣莫佛公式三、计算1、计算下列函数值：1）niLe；2）34i考核知识点：复数对数函数提示：可以查看视频课件第二章第三节初等多值函数2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？1）1z；2）2222xyxixyy心系天下求学人Page 2 of 5 专业专注 周到 细致考核知识点：以上两个函数的可导性，解析性。
提示：两个函数的解题思路是相似的，利用C-R 条件3、函数2322( )2f zxyx y i是否为解析函数？求出其导数考核知识点：解析函数提示：利用C-R 条件4、已知222371( ),:3Cf zdC xyz，求1fi考核知识点：柯西积分公式提示：22371( )2(371)Cf zdizzz5、计算积分1）2311zzdzz z；2）21 1sin41zzdzz； 3）12121zzedzz z；4）23132zdzzz考核知识点：柯西积分公式提示：以上四道积分题的解题思路是类似于的，可以参看视频课件第三章第三节柯西积分公式及其推论四、证明：若积分路径不经过i，则120,14dzkkz考核知识点：柯西定理提示：积分路径绕过i，由柯西定理知：411102102xdxzdz五、证明：设v是u的共轭调和函数， 问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由：1）,AuBv BuAv（,A B为常数）；2）22,uv uv参考答案：可根据共轭调和函数的定义来判断作业二一、判断题1、0(2)nnnaz在 z=0 收敛，在z=3 发散 （ 错）心系天下求学人Page 3 of 5 专业专注 周到 细致2、在区域zR内解析，且在区间（-R，R）取实数值的函数f(z)展开成 z 的幂级数时，展开式的系数都是实数。
对）3、1tanz在圆环区域0(0)zRR内不能展开成罗朗级数错）4、z=0 是1tan( )zf ze的本性奇点 （对）二、填空1、0(1)nnniz的收敛半径为考核知识点：幂级数的收敛半径利用柯西- 阿达玛公式求 . 2、22sinzez展开成 z 的幂级数的收敛半径= 考核知识点：幂级数和的解析性，整函数的解析性. 3、z=0 是( )sintanf zzz的级零点考核知识点：零点. 4、( ),( )f z g z以 z=a 为 m级和 n 级极点，则z=a 为( )( )f z g z的级点考核的知识点：函数的极点三、计算1、求21z在01z处的泰勒展开式考核知识点：解析函数的泰勒展式2、求11:2nnzz考核知识点：柯西积分公式提示：首先可以将和函数求出为z11，再对该复函数在21z内利用柯西积分公式计算3、求23( )124f zzzz在 z=1 处的泰勒展开式考核知识点：解析函数的泰勒展式4、将21( )()f zzzi在以i为中心的圆环域内展开为罗朗级数考核知识点：解析函数的洛朗展式四、若( )f z为整函数，且( )lim( )max( )nrzrM rM rf zr，则( )f z是不高于n 次的多项式。
考核知识点：柯西不等式与Liouville定理提示：可以参看视频课件第三章第三节柯西积分公式及其推论心系天下求学人Page 4 of 5 专业专注 周到 细致作业三一、判断题（对的用“T”表示，错的用“F”表示）1、若( )f z在区域D内单叶解析，则在D内( )0fz （F）2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线T ）3、解析函数具有保形性F）4、函数在可去奇点处的留数为0 （ F）二、填空题1、方程6426210zzz在单位圆内有 4 个根考核知识点：复数根的求法2、i关于1zi的对称点为考核知识点：关于圆周的对称点的定义3、21( ),:2(1) (5)(43 )f zCzzzzi，则arg( )Cf z= 考核知识点：辐角原理4、5z在点1zi处的旋转角为，伸缩率为考核知识点：旋转角的定义，伸缩率的定义三、计算题1、49(1)(2)(48)(50)zdzzzzz考核知识点：利用留数计算积分2、204sind考核知识点：利用残数计算积分提示：可参考视频课件第六章3、2sin16xxdxx考核知识点：利用残数计算积分提示：可参考视频课件第六章4、求把z平面的单位圆变为平面的单位圆，并使1 成为不动点，使1i变为无穷远点的线性变换( )L z。
考核知识点：分式线性变换的应用5 、 求 把z平 面 的 单 位 圆1z变 为平 面 的 单 位 圆1的 线 性 变 换( )L z， 使110,arg33LL考核知识点：分式线性变换提示：由103L，分式线性变换把13z变到0心系天下求学人Page 5 of 5 专业专注 周到 细致。