上海九年级数学上知识总结1)上海九年级数学上知识总结相似三角形基本知识知识点一辛放缩与相似形 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、 比,选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别 是m、n,那么就说这两条线段的比是a： b=m： n （或;专）2、 比的前项，比的后项：两条线段的比a： b中a叫做 比的前项，b叫做比的后项说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位 长度3. 比例：两个比相等的式子叫做比例，如貯4、 比例外项：在比例^专（或a： b=c： d）中a* d叫做 比例外项5>比例内项：在比例冷亏（或a： b = c： d）中b、c叫做 比例内项6.第四比例项：在比例冷亏（或/ b=c； d）中，d叫 b> c的第四比例项7.比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 X （或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项比例线段：对于四条线段冬b. c. d,如果其中两条 线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即『夕b a（或农b=C： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段,2•反比性质：a c b d（把比的前项、后项交换）葡称比例线段2）比例性质（注意；在求线段比时，线段嵐位要统一，单位不统一应先化成同一单位）a仏i•基本性质:（两外项的积等于两内项积）3.更比性质咬换比例的内项或外项）:-=4*（交换内项）c a彳亠（交换外项）b d b a2上侗时交换内外项） c a注意4-合比性质,計汁字=宁（分子加（减〉分母，分母不变）b-a d-c发生同样和整变化岀例仍成立-如；h da ca-b c-dci ¥b c di实际上，比例的合比性质可扩展対：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不甕＞…旦(b + d+ f +…UHO),那么 …+ "二？n h + d + f +…斗 n h注意:（1）此性质的证明运用了 41设左法”,这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.（刃应用竽比性质时.要考虎到分母是否为零.©）可利用分式性质将连等式的每一个比的師项与后项同时乘以一个数.再利用等比性质也成立.知识点三：黄金分割1）定义：段AB±f点C把线段昇〃分成两条线段3） AC 和 BC （AC>BC）,女口果竺=BC，即 AC2=ABXBC,AB AC那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段 AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
其中 AC =-^AB 〜0.618 AB22）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C 是线段AB的黄金分割点.作法：①过点B作BDLAB使"」；② 连结AD,在DA上截取DE=DB③ 在AB上截取AC=AE则点C就是所求作的线段AB的黄 金分割点.黄金分割的比值为：AC ^5-1 -.（只要求记住）3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄 金矩形知识点四：平行线分线段成比例定理（一）平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理 :三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边 （或两边的由DE// BC可得:AD AE 亠 BD EC 亠 AD' 或’ 或DB EC AD EA ABAEAC延长线）所得的对应线段成比例..此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延 长线）所得的对应线段成比例•那么这条直线平行于三角 形的第三边•（即利用比例式证平行线）4•定理:平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直 线,所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比例•5.平行线等分线段定理： 三条平行线截两条直线,如果在一条直 线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段 也相等。
★★★三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例几何语言 •・• △ ABE中BD// CEAB AD 上上・•・BC二隹简记：下二下BC DEAB AD BC DE 上—上和推广：类似地还可以得到 全二全和归纳:ED★★★三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得 的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 .★★★三角形一边的平行线的判定定理三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三 角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行 于三角形的第三边.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直 线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的 同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边•★★★平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例• 用符号语言表示：AD II BE II2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得CF .AB DE BC EF AB DE ‘ ‘ BC 一 EF ' AC 一 DF ' AC 一 DF的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等用符号语言表示:ADUBEUCF = aB=BC. DE 二 DF重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做 三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点三：相似三角形1、相似三角形1） 定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似 两个等腰直角三角形一定 相似两个等边三角形一定相 似两个直角三角形和两个等 腰三角形不一定相似补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相 似（如正四边形、正五边形等等）；2） 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比 例3） 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个 三角形的相似比女口 △ ABC 与△ DEF 相似，记作△ ABCDEF相似比为k4） 判定： ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三角形相似的判定定理:判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似•简述为：两角对应相等，两三角形相似. （此定理用的最多）判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似•简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似•简述为：三边对应成比例，两三角形相似.直角三角形相似判定定理:① .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相 似。
② •直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也 相似补充一：直角三角形中的相似问题:斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似射影定理：CD2=AD- BD，AC2=AD- AB,BC2=BD- BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三 角形和原三角形都相似推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线 与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角 形相似相似三角形的性质① 相似三角形对应角相等、对应边成比例•② 相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比（对应边的比）.③ 相似三角形对应面积的比等于相似比的平方 •锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边c的平方 a2+b2=c21.如下图，在Rt△ ABC中，/ C为直角，则/ A的锐角三角函数为（Z A可换成/ B）:定 义表达式取值范围关 系正弦.A ZA的对边sin A =——— 斜边.. a sin A =— c0 vsi nA £1（Z A为锐角）bsi n A = cosB cosA = sin Bsin2 A + cos2 A = 1余弦八ZA的邻边cos A = 斜边cos A = b c0 v cosA < 1 （Z A为锐角）正切ZA的对边tan A _ Ar7 ,ZA的邻边atan A =—btan A a 0 （Z A为锐角）tan A =cot B cot A = ta n B1tan A= （倒数）cot Atan A cot A = 1余切ZA的邻边 cot A - ”「丄ZA的对边bcot A = _acotA > 0 （Z A为锐角）sin A=cos（90 -A） cosA =sin（90 - A）3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
sin A = cosB 由乂A +NB =90 ；cosA=si nB 得 N b =90°—^A4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值tan A =cot Bcot A =ta n B由 A B =90 得.B =90 -. A‘tan A = cot(90 ‘ - A) cot A = tan(90‘ — A)cot a不存在1<3306 、正弦、余弦的增减性：当0°< : <90°时，sin :-随〉的增大而增大，cos 随〉的增大而减小7、正切、余切的增减性：当0° <><90°时，tan :-随〉的增大而增大，cot :-随〉的增大而减小1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）-所有未知的边和角依据：①边的关系：a2 b2 =c2;②角的关系：A+B=90 角函数的定义注意：尽量避免使用中间数据和除法2、应用举例：;③边角关系：三（1）仰角：视线在水平线上方的角;（2）俯角：视线在水平线下方的角⑶ 坡面的铅直高度 h和水平宽度I的比叫做坡度（坡比）用字母i表示，即i专坡度一般写成1m的形式’如i九5等把坡面与水平面的夹角记作（叫5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）三角函数0 °30°45°60°90°sin ot01V2431222cos a1西匹10222tana0旦143不存在3做坡角），那么ifE3、 从。