“分子有理化”在高中数学中的应用(实用)

““分子有理化分子有理化””在高中数学中的典型应用在高中数学中的典型应用 关键词：分子有理化 摘要：用分子有理化解高中数学试题中的几类常见题型 在初中，学生已学会了：什么叫分母有理化？何时分母有理化？怎样进行分母有理化？在高中，我们不仅需 要以上内容，还需要相应的以退为进的策略——分子有理化，促使解题快速、简洁、正确下面分类举例说明： 一、 分子有理化在判断函数的奇偶性中的应用： 例 1：判断函数的奇偶性 2 ( )lg(1)f xxx 解：∵函数的定义域是 R，即定义域关于原点对称( )f x 又∵ 22 ()lg(()1)lg(1)fxxxxx   = 22 21 22 (1)(1)1 lglglg(1) 11 xxxx xx xxxx          = 2 lg(1)( )xxf x  ∴是奇函数 )f x 注：此题若未想到分子有理化，很难找到与或的关系，学生易判断为非奇非偶函数)fx( )f x( )f x 二、 分子有理化在判断函数的单调性中的应用： 例 2：用函数单调性的定义证明： 在上是增函数 )2f xxx 7 (, ) 4  证明：设， 12 7 4 xx 则 121122 ()()(2)(2)f xf xxxxx = 1212 ()( 22)xxxx = 21 12 12 () 22 xx xx xx    = 12 12 1 ()(1) 22 xx xx   ∵ ∴ ∴ 12 7 4 xx 12 11 20,20 44 xx 12 11 2,2 22 xx ∴ 12 221xx ∴ 又有 12 1 10 22xx   12 0xx ∴即 12 ()()0f xf x 12 ()()f xf x ∴函数在上是增函数。

)2f xxx 7 (, ) 4  注：此题分子有理化既使分母为正又使前后两式有公因式可提，易于与 0 比较大小 三、 分子有理化在求对数值中的应用： 例 3：求值（1）；（2） (7 4 3) log13 (74 3)   (5 2 6) log(52 6)   解：（1）= (7 4 3) log13 (74 3)   (743) log131 () 74 3   = (7 4 3) log13 (74 3)    = (7 4 3) 1 log 13 (74 3)   = 1 13 （2） (5 2 6)(5 2 6)(5 2 6) (52 6)(52 6)1 log(52 6)loglog 52 652 6     1 (5 2 6) log(52 6)1     注：此题通过分子有理化再利用对数恒等式或对数的定义便轻易求解了 四、分子有理化在比较实数大小中的应用： 例 4：比较大小： （1）和（） ；1nn 1nn1n  （2）已知，，，试比较与的大小37Paa25Qa(3)a  PQ 解：（1） ∵， 1 1 1 nn nn     1 1 1 nn nn   而11nn ∴110nnnn  ∴ 11 11nnnn    ∴1nn 1nn （2）∵=PQ(37)aa25a(75)(53)aaaa 22 7553aaaa   又∵7553aaaa ∴ 即 22 0 7553aaaa   0PQ ∴PQ 注：此题若不用分子有理化则比较困难。

五、 分子有理化在证明不等式中的应用： 例 5：（1）已知，求证：0,0ab 2222 || ||acbcab （2）已知，求证：0a  11 123aa aa  证明：（1）∵ 22 2222 22222222 ||()|| || ababab acbc acbcacbc    22 ()||()|| || abababab ab ab ab     ∴ 2222 || ||acbcab （2）∵ 2 111111 1()121aaaaaa aaaaaa  1 11 21aa aa   又∵有0a  1 2a a  ∴ 1111 123 222 123 aa aa   注：此题先分子有理化再用放缩法比其它方法简便 六、 分子有理化在求导函数中的应用： 例 5：求函数的导数 2 2 1 ( ) 1 x f x x    解：∵= 2 2 1 ( ) 1 x f x x    2 1 1x ∴ 1 2 2 2 '2 ' 222 2 1 (1)( 2 ) ( 1)1 2 ( ) 11(1) xx xxx fx xxx      注：此题先分子有理化再求导，比直接用分式求导公式求导更简单易算。

七、分子有理化在求数列或函数的极限中的应用： 例 7：求极限：lim(1) n nnn    解：∵ 11 lim(1)limlim 211 11 nnn n nnn nn n       ∴=lim(1) n nnn    1 2 注：此题若不用分子有理化则不知怎么完成，不会做者易猜答案是 0。