答辩人：专业：数学与应用数学 指导老师： 日期：2012年05月25日• 一 综述 • 二 论文结构 • 三 反例应用列举 • 四 应用反例时应注意的问题 • 五 反例的若干构造方法 • 研究意义：反例是一种重要的数学方法， 在数学分析的学习中起着无可比拟的重要 作用，它开辟了数学领域的新天地，是数 学分析理论中不可或缺的重要组成部分， 本文主要对反例在数学分析中的若干应用 ，应用反例时应注意的问题以及反例的构 造方法进行归纳总结，旨在对数学分析的 学习起到一定的参考价值反例反例的若干应用反例的 构造方法理解定理概念促进思考，拓展知识面克服思维定式应用反例时应 注意的问题特例构造法性质构造法类比构造法• 1. 应用反例以透彻理解定义定理及概念函数极限定义：设函数 在 的去心领域 内有定义 ，如果存在常数A ，对于 ，，当 时，有 成立，则称函数 当 时存在极限，极限是 A，记为：或 在此定义中，要求函数 在 的去心领域内有定义， 如果 在 点没定义，那么 在 点的极限是否还存在 呢？答案是极限仍然存在，因为存在反例：例：函数 分析：该函数在点 无定义，但所以，通过此反例我们得出：函数在没定义的点是可以有极 限的。
• 2. 应用反例以促进思考，拓展知识面反例就像一面镜子，让我们可以站在问题的对立面去观察、分析和研究学习过程中所遇到的问题，提高我们全面认识问题的意识和举一反三的数学思维能力，从而使我们更加牢固的掌握所学知识，扩大我 们的知识储存量.函数的点点收敛与一致收敛知识的拓展• 在学习完函数列点点收敛和一致收敛之后 ，我们可以很容易的推出一致收敛的函数 列必定点点收敛，那么，点点收敛的函数 列是否必定一致收敛呢？此时从正面论证 是不容易的，若能从反面找到点点收敛但 却不一致收敛的函数列，则可很容易得出 结论如下的反例则是最好的证明例：设 为定义在 上 的函数列，它的收敛域是 ，且有极限函 数可知，函数列 在 上点点收敛于 . 事实上，令 ，对任何正数N ，取正整数及 ，则有：因此，函数列 在 上不一致收敛故，点点收敛的函数列不一定一致收敛 3. 应用反例以克服思维定式• 微积分创立始初，科学界曾长期认为“连续函数除 个别点外总是处处可导的”，1872年德国数学家 Weiestrass 却构造出了一个处处连续而处处不可 导的函数：其中b是奇函数， 且 ，这一反例震 惊了数学界，给了思维定势致命一击，在学习中 ，在习惯性程序的影响下，我们容易形成固定的 思维模式，而反例则可以打破这一思维定势。
• 1.分清主次，学习中主要学习概念、定理和方法 ，举反例重在辨清是非，因此，反例应该作为围 绕主要内容而进行的有效的辅助学习手段. • 2.运用适当 ，反例应是经过挑选的，既要简单又 要能够说明问题，难度应适当，以免浪费不必要 的时间和精力 • 3.牢记一些典型函数，如狄利克雷函数等的各方 面性质，在反例的实际应用中会有很大的帮助. • 1. 特例构造法特例构造法是利用一些典型的反例经科学的凑合 ，就可提出所需的反例例： 在 处连续，是否存在 的领域，使 在该领域内连续.分析：我们可以构造这样的反例来求解，我们知道狄利 克雷函数：处处不连续 ，利用这个例子，做易知， 只在 连续，在其他地方都不连续• 2. 性质构造法性质构造法就是根据所需反例本身的性质和特征， 用一定技巧构造反例的方法.例： Schwardz不等式：若 与 在 可积，则： 有言：“上式等号成立当且仅当 和 是线性相关的函数 ”而事实上，二者线性相关仅是上式成立的充分条件，可举 反例，找两个线性无关的函数，但满足Schwardz不等式.如 下：构造 区间上的函数 ，满足当 （p,q为互质的正整数， ）时， ；当 时 ；当x为无理数时， .用积分上和和下和容易证明 在 可积，且 ，取 （c为常数）则： 即等式成立，但 和 在上线性无关，因为 不为常 数. • 3. 类比构造法根据已知反例的特点与思维方法，在新的范围内构 造出类似的反例的方法.如：第一个无处可微的连续函数的例子是由Weierstrass 用振动曲线 构造提出的：Van der Waerden将振动曲线改进为折线 ， 构造出一个无处可微但处处连续的例子:后来又有许多数学家在上述两个例子的基础上又构造出 了一系列无处可微但处处连续的例子，做为数学科学学院的 学生，我们也应该从伟人的思想中吸取经验，充分利用好反 例，学好数学分析这门课程。