专 业精心策划SSS数学爱好者课余揽胜高二新 课 标 人 教数学化河北陈庆新概率与统计知识与我们的实际生活联系紧密,日常生产生活中的一些实际问题, 只要我们稍加留意, 就可以借助概率分布、 期望、 方差及统计等知识加以解决, 并使得我们的生活、 生产和工作更加科学、 合理.下面列举几例借以说明数学期望与正态分布在实际问题中的应用.建立数学期望模型数学期望是随机变量在概率意义下的平均值.当我们遇到某一事物的进展或信息因受一些随机因素的影响而具有一定的风险时, 数学期望就可以作为一个衡量该事物进展是否可行的重要依据, 为我们理性地进行某些事情决策提供帮助.1 .数学期望在方案决策中的应用例1某突发事件, 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0 . 3, 一旦发生, 将造成4 0 0万元的损失.现在甲、 乙两种相互独立的预防措施可供采用, 单独采用甲、 乙预防措施所需的费用分别为4 5万元和3 0万元, 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0 . 9和0 . 8 5 .若预防方案允许甲、 乙两种预防措施单独采用、 联合采用或不采用,请确定预防方案使总费用最少.分析本题须就不同情况分别研究损失的期望值, 从而确定采用何种方案.解①不采取预防措施时, 总费用即损失期望为:4 0 0 × 0 . 3 = 1 2 0(万元).②若单独采取预防措施甲, 则预防措施费用为4 5万元, 发生突发事件的概率为1 - 0 . 9 = 0 . 1, 则损失期望值为:4 0 0 × 0 . 1 = 4 0(万元) ,所以总费用为8 5万元.③若单独采取预防措施乙, 则预防措施费用为3 0万元, 损失期望值为:4 0 0 × 0 . 1 5 = 6 0(万元) ,所以总费用为3 0 + 6 0 = 9 0(万元).④若联合采取甲、 乙两种预防措施, 则预防措施费用为4 5 + 3 0 = 7 5(万元) , 发生突发事件的概率为(1 - 0 . 9) (1 - 0 . 8 5)= 0 . 0 1 5, 损 失 期 望 值 为 :4 0 0 ×0 . 0 1 5 = 6(万元) , 所以总费用为7 5 + 6 = 8 1(万元).综合①、②、③、④, 比较其总费用可知, 应选择联合采取甲、 乙两种预防措施, 可使总费用最少.点评本例解题的关键在于领会: 总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值,然后通过比较数学期望选择最佳决策方案.2 .数学期望在风险决策中的应用例2船队要对下月的出海进行决策.若出海后是睛天, 可获得收益5 0 0 0元, 若出海后天气变坏, 将要损失2 0 0 0元, 若不出海, 无论天气好还是坏都要承担1 0 0 0元的损失费.根据天气预报知, 下月好天气的概率为0 . 6, 坏天气的概率是0 . 4, 问应如何作出决策?分析由题意知收益与损失受天气影响, 为此可视收益值为随机变量, 通过研究其期望值进行决策.因为天气的好坏是不确定因素, 因此作决策时存在一定的风险, 我们不能保证所作的决定一定会取得最好的收益, 但必须使收益的期望值最高.解设出海的效益是ξ, 且ξ的值有两个,5 0 0 0,- 2 0 0 0 .则E ξ = 5 0 0 0 × 0 . 6 +(- 2 0 0 0)× 0 . 4 = 2 2 0 0元.显然高于不出海的收益- 1 0 0 0元, 故可选择出海.正态分布模型解题例析建立数学期望与%&’专 业精心策划S数学爱好者课余揽胜高二新 课 标 人 教点评如果出海恰逢天气不好, 就要损失2 0 0 0元, 比不出海更不划算.这就是风险, 但是期望值告诉我们这个风险可以一试.3 .期望在投资理财中的应用例3某公司有5万元资金用于投资开发项目, 如果成功, 一年后可获利1 2 %, 一旦失败, 一年后将丧失全部资金的5 0 %, 经统计过去2 0 0例类似项目开发的实施结果如图, 则该公司一年后估计可获收益是多少元?投资成功投资失败1 9 2次8次分析根据以往投资的经验 (即成功的概率) ,可以通过计算收益的数学期望进行投资决策.投资成功的概率是P1=1 9 2 2 0 0, 失败的概率是8 2 0 0,所以所求的数学期望应该是:5 0 0 0 0 ×(1 9 22 0 0×1 2 %-8 2 0 0× 5 0 %)= 5 ×(1 9 2 × 6 - 4 × 5 0)= 4 7 6 0(元).点评投资存在风险, 须三思慎行! 此时我们可以通过借助数学期望来计算其投资的效益进行投资决策.4 .数学期望在保险行业中的应用例4据统计, 一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为0 . 0 0 5, 保险公司开办一年万元以上家庭财产保险, 参保者交保险费1 0 0元, 若一年内万元以上财产被窃, 保险公司赔偿a元 (a ≥1 0 0 0 0) ,问a如何确定可使保险公司获益.分析要使保险公司获益即使收益的数学期望为正数即可.解设ξ表示保险公司在每一个家庭上的收入, 因此ξ的分布列为:ξ1 0 01 0 0 - aP1 - 0 . 0 0 50 . 0 0 5E ξ = 1 0 0 × 0 . 9 9 5 +(1 0 0 - a)× 0 . 0 0 5 = 1 0 0 -a 2 0 0, 预期获利E ξ > 0, 即1 0 0 -a 2 0 0> 0, 解得a < 2 0 0 0 0 .因此a < 2 0 0 0 0元时保险公式可期望获利.故赔偿金应定为 [1 0 0 0 0,2 0 0 0 0) 内.点评本例从数学期望的角度揭示了保险公司制定投保金额与赔付金额间的数量关系.在保险行业中, 每一个保险公式都想赚钱, 此时数学期望就可以解决应该对投保人收多少, 意外发生时赔付多少的问题.5 .数学期望在经营策略中的应用例5某电器商经过多年得经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量, 它的分布列如下:ξ123⋯1 2P1 1 21 1 21 1 2⋯1 1 2设每售出一台冰箱, 电器商获利3 0 0元, 如销售不出而囤积于仓库, 则每台每月需花保养费用1 0 0元, 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大?分析设电器商每月初购进x台电冰箱, 则可依题意, 得出该电器商获益的平均数的函数, 并由此求出其最大值.解设x为月初电器商购进的电冰箱台数,只需考虑1 ≤x ≤1 2的情况, 设电器 商 每 月 的 收益 为η元 , 则η是 随 机 变 量ξ的 函 数 , 且η =3 0 0 x,ξ ≥x,3 0 0 ξ - 1 0 0(x - ξ) ,ξ < x#.电器商每月获益的平均数, 即数学期望为:E η = 3 0 0 x(Px+ Px + 1+⋯+ P1 2)+[3 0 0 - 1 0 0(x - 1) ]P1+[2 × 3 0 0 - 1 0 0(x - 2) ]P2+⋯+[3 0 0(x - 1)- 1 0 0]Px - 1= 3 0 0 x(1 2 - x + 1)×11 2+1 1 2[3 0 0 ×x(x - 1) 2- 1 0 0 ×x(x - 1) 2]=2 5 3(- 2 x2+ 3 8 x)= -5 0 3(x -1 9 2)2+9 0 2 5 6,由于x ∈N*, 故可求出, 当x = 9或1 0时, 也即电器商月初购进9台或1 0台冰箱时, 收益最大, 最大收益为1 5 0 0元.点评本例是数学期望与二次函数的有机结合.通过两者的珠联璧合而达到巧妙解题的效果.其中, 求E η是一个难点, 稍有不慎, 就将产生失误.!“#。