1 1、请写出关于直积的五个定理并加以证明答案：定理一：两个对角矩阵的直积仍是对角矩阵证明：已知 A、B为两个对角矩阵，有Aij = Aiiij , Bmn =Bmmmn (A × B)im,jn = AijBmn = AiiBmmijmn = Cim;imim,jn 所以 .A× B仍是对角矩阵定理二： (A + B) × C = A× C + B× C 证明：((A + B) × C)im,jn = (A + B)ijCmn = (Aij + Bij)Cmn = AijCmn + BijCmn = (A×C)im,jn + (B×C)im,jn, 所以(A + B) × C = A× C + B× C. 定理三：如果 A和B是幺正矩阵，则A×B也是幺正的证明：因为 A、B都是幺正矩阵，所以AA= I，BB= I ijkj kikAA，mnln lmlBBklkljnimmnijmlkjikkjmlikklnljkmlikkljnml klikjnklklimBBAABABABABABABABABA,lnln** ,, kl,)()()(所以 A×B也是幺正矩阵定理四： Tr（A×B） =TrA· TrB 证明： Tr(A× B) =im,BAimim）（=immmiiBA=immmiiBA= TrA ·TrB 定理五：设 A、C为同维矩阵，B、 D为同维矩阵，则有(A ×B)(C×D) = (AC) ×(BD)证明：kljnklklimjnimDCBADCBA,,,)()()))(((jnimmnijklklmlkjikkjmlikBDACBDACDBBADCBA,lnln))()(()()(所以 (A ×B)(C×D) = (AC) ×(BD) 2、如果f是厄米算符，而且对某一特定右矢A有0?mAf,m为正整数，则有0?Af。
证明：因为0?mAf，所以0???)1(2)2(AfAffmmm，0?)1(2AfAm因为f?是厄米算符，所以)1(?mf也是厄米算符，所以0?????)1()1()1()1()1(2AfAfAffAAfAmmmmm2 所以0?)1(Afm，同理，可得到0?)2(Afm⋯⋯以此类推，可得到0?Af3、 （1）请写出一维谐振子的经典哈密顿量（2）请写出一维谐振子的Heisenberg运动方程（3）已知amqip m2，amqip m2，a a,=1，请用数学归纳法证明aaaanannn 1（4）根据a 00，0 01用数学归纳法，证明00a annn!，并根据正交归一性推导出annna nn n111答案： （1）一维谐振子的经典哈密顿量H mpmq122222()（2）Heisenberg运动方程,,qiqHp mpip Hmqtttttt112（3）证明：因为a a,=1，所以当 n=1时成立假设当mn时，1mmmnaaaaa成立则当1mn时，aaaaaamm,aa,=,m1mmmanaana) 1(1所以1mn时成立，由此可推出aaaanannn 1（4）证明：因为a 00，所以当 n=1时成立假设当mn时，！maamm00成立则当1mn时，000011mmmmaaaaaa0)1(0mmaaaa00mmaaaa+00mmaa0)(01mmmmaaaaa+00mmaa3 因为a 00，所以000aaaamm上式001mmmaaa+00mmaa00mmaam+00mmaa)!1(!) 1(00) 1(mmmaammm所以1mn时成立，由此可推出00a annn!因此相应于能量为()n12的归一化本征右矢为nnan10!所以110 )!1(10 !1110 !1111nna nna nnna nnannn同理10 )!1(0)( !10 !111nna nnnaaa naa nnannnn由此得出annna nn n1114、 （1）请写出费曼—海尔曼定理（2）请写出维里定理（3）请用费曼—海尔曼定理答案： （1）假设系统的束缚态能量本征值及归一化的能量本征态为En和n，为哈密顿量中含有的任何一个参数，则有EnHn n（2）2 n T nn r·V n，这里TPm22是动能，VV r是势能。
3）在坐标表象中，HPmV rmV r22 2 22，把看成参量，由F-H 定理知HmPmT2212，EnHnn T nn2 ⋯⋯①4 在动量表象中，HP mV rP mV iddP2222HVV·rV r·iddPV r·r在最后一步中又将动量表象中的iddP换回为r由 F-H 定理知EnHnn rn1·V n⋯⋯②比较①和②得知2 n T nn r·V n，证毕5、由jmjj2121mmjm mjmjC2211,2211;mjmj和2211;mjmjjmjm mjmjC2211,jmjj21证明 CG 系数满足下面的正交归一性2122112211 ,,, mmmmj jmj mjmjmjjm mjCCCCj mj mjm j mj mjm m mm m jm112211221122,,证明：jmjj2121mmjm mjmjC2211,2211;mjmj取共轭为：mjjj2121mmmjmjmjC 2211,2211;mjmj由以上两式，得jmjjmjjjmmj j21212121mmmmmjmjmjC 2211,jm mjmjC 2211,22112211;;mjmjmjmj2121mmmmmjmjmjC 2211,jm mjmjC2211,2211mmmm21mmmj mjmjC2211,jm mjmjC2211,2211;mjmjjmjm mjmjC2211,jmjj21取共轭为：2211;mjmjmjmj mjmjC2211,mjjj21由以上两式，得22112211;;2211mjmjmjmjmmmmmjjmmj mjmjC2211,jm mjmjC2211,jmjjmjjj2121mjjmmj mjmjC2211,jm mjmjC2211,mmj jjmjm mjmjC2211,jm mjmjC2211,证毕。
5 6、请验证下列算符是否对易（1）一维情形下的平移算符)(d和)(d（2）三维情形下的空间转动算符D(R1)和D(R2) （3）)(d和宇称算符（4）D(R) 和宇称算符答案： （1）对于一维情形下的平移算符)(d和)(d，有)(d)(d)(x)(d)(dx)(ddx)(ddx)(d)(dx)(d)(d)(x所以一维平移算符)(d和)(d彼此对易2）对于三维情形下的空间转动算符D(R1)和D(R2)，)nex p ( - i)D ( R111L，)nexp(-i)D(R222L因为0,kijkjiLiLL，所以 D(R1)D(R2)D(R2) D(R1) （3）对于)(d和宇称算符，)(d)(r)()()(drrd)(d)(r)()(drdr所以)(d)(r)(d)(r，)(d和宇称算符彼此不对易4）对于 D(R) 和宇称算符D(R))(r)),(()),((11rnRrnRD(R) )(r)),(()))(,(()()(11rnRrnRrrD所以 D(R) 和宇称算符彼此对易7、根据单粒子算符kkkaan，由产生算符和湮灭算符的对易规则kkaakaka0kakakakakakakakakk证明kkan ,kakk，kkan ,kakk，mkmkkaman)()( ,6 证明：kkan ,kakakakakkaakakakakakakaka（kakakaka）kakkkkan ,kakakakakakakakakakakaka—（kakakaka）ka—kakkmkmkkaman)()( ,假设nm时，上式成立则当1nm时，1)( ,nkkanknkkaan)( ,+nka )(kkan ,nkan)(ka+nka )(ka1))(1(nkan成立。
所以mkmkkaman)()( ,，得证8、 （1）请写出连续性Schrodinger方程和连续性 Klein-Kordon 方程（2）请推导出 Dirac 粒子的连续性方程( , )( , )x ttj x t0(6) Schrodinger方程答案： （1）连续性 Schrodinger方程( , )( , )x ttj x t0其中( , )( , )*(, )( , )x tx tx tx t2j x timx tx tx tx t( , )[*(, )( , )( , )*(, )]2连续性 Klein-Kordon 方程tj0其中imctt22(**)jim2(**)（2）9、设BC、是与对易的算符，但BC、可能彼此不对易，0000，，是三个 2×2 的 Pauli 矩阵求征（）（cB CiBC)()7 证明： 0000) CCBBc）（（))((00))((BBCB因为)()CBiCBc）（（所以 )(_00)() CBiCBCBiCBc）（（)(CBiICB这里 I是44的单位矩阵，证毕10、证明()()()cpeAcpeAce APPAie cAie cB(磁感应强度）证明：)()()(22pAApceAAeppcAepcAepcAi e h cpApAAice)(00证毕。
11、如果)1(是已知的证明能量的二级修正可以表示为)1()0()2(2HE证明：定态 Schrodinger方程为EH考虑微扰情况，令WHHHHo0假设已知)0()0()0( 0nnnEHE和可以表示为)3(3)2(2)1()0(EEEEE)2(2)1()0(将上面两式代入定态Schrodinger方程比较同次幂的系数，便可得到：0)( :)0()0( 00EH⋯⋯①)0()1()1()0( 01)()( :WEEH⋯⋯②)0()2()1()1()2()0( 02)()( :EWEEH⋯⋯③取定所考虑的能级和态为k，则③式可写为：)0()2()1()1()2(0 0)()(kkkkkkEWEEH）（⋯⋯④用)0( k左乘④式得)0()0()2()1()0()1()0()1()2(0 0(0) k)(kkkkkkkkkkEWEEH）（8 由①式可知，0)()0( 0)0( kkEH又因为1)0()0( kk，0)0()0( kk所以)1()0()2( kkkWE即)1()0()1()0()2(2 kkkkkHWE得证12、0 20 10 100EEEHbaba )(0 10 2EE，用微扰论（把ba,看成小量）计算到能量的二级近似值，并与直接求解本征方程的结果作比较。
答案： （1）直接求解本证值法H0000 20 10 1cbaEEEbaba⋯⋯①①式有解的充要条件是000 20 10 1EEoEbaba解这个行列式得0))(()(220 20 10 1baEEE0)(0 220 20 10 20 120 1baEEEEE解为：0 11E32、21220 20 120 20 10 20 1)2(2baEEEEEE2120 10 2220 10 20 20 1 )()(4122EEEEEEba因为20 10 222)()(4EEba为小量，上式可近似为20 10 2220 10 20 20 1 )()(2122EEEEEEba9 0 10 2220 20 10 2220 1EEEEEEbaba（2）微扰法：因为0 2E非简并，0 1E二度简并， 对初始零级近似波函数而言，设0 1E对应于态、，0 2E对应于态 2，因为13、 证明0],[LSLi，0],[LSSi，0],[LSJi，0],[2LSL，0],[2LSJ证明：],[LSLi],[jjiLSL],[jijLLS0kjijkLSi],[LSSi],[kkiLSS0],[kji k jkkiLSiLSS],[LSJi],[LSSLii],[jjiLSL],[kkiLSSkjijkLSikjikjLSikjijkLSi0kjijkLSi],[2LSL],[2 iiLSL0],[2 iiLLS],[2LSS],[2 iiLSS0],[2 iiLSS],[2LSJ0,。