在圆锥曲线里：设椭圆 上有一定点 有一动点 ，那么有变换得到时 就可以看成 这一点切线的斜率，写成导数的形式就是函数不等式： 拉格朗日中值定理， 洛必达法则 （在下面），柯西不等式的变式，赫尔德不等式，闵可夫斯基不等式， （安利一本贝肯鲍尔的《不等式入门》，小册子）第二数学归纳法（在下面）解析几何： 极坐标系，参数方程， 隐函数求导（在上面） （事实上背过切线公式和切点弦公式就好），各种二级结论做过的最好就背过立体几何： 向量叉乘，暴力破解一个爽数列：各种二三级递推、递归，以及特征很方程选填最后一两题： 高斯函数被考滥了，三角形四心的向量性质（在下面），一些典型的涂色问题，还有就是一些几何性质， 阿波罗尼斯圆（在下面）什么的，毕业久了记不得了“四心”1 若 P 是△ ABC的重心 PA+PB+PC=02 若 P 是△ ABC的垂心 PA*PB=PB*PC=PA*PC内( 积）3 若 P 是△ ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若 P 是△ ABC的外心 |PA|=|PB|=|PC|（AP就表示 AP向量 |AP| 就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|), λ∈ [0,+ ∞) 则直线 AP经过△ ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC), λ∈[0,+ ∞ ) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC), λ∈[0,+ ∞）或 AP=λ(AB+AC), λ∈[0,+ ∞) 经过重心8. 若 aOA=bOB+cOC则, 0 为∠ A的旁心 , ∠A 及∠ B,∠C的外角平分线的交点洛必达法则0/0 型不定式极限若函数和 满足下列条件：⑴ ， ；⑵ 在点 的某 去心邻域 内两者都 可导 ，且 ；⑶ （ 可为 实数 ，也可为 ± ∞），则∞/ ∞型不定式极限若函数 和满足下列条件：⑴ ；⑵ 在点 的某 去心邻域 内两者都可导，且 ；⑶ （ 可为实数，也可为 ），则其他类型不定式极限不定式 极限 还有， ， ， ， 等类型。
经过简单变换，它们一般均可化为型或 型的极限1)型可将乘积中的 无穷小 或 无穷大 变形到分母上，化为 型或 型例：求解：原式 =(2)型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为 型例：求解：原式 =(3)型可利用对数性质将函数化简成以 e 为底数的指数函数，对指数进行求极限针对不同的问题，还可以利用等价无穷小作替换，化简算式例：求解：原式 ======上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成了 4)型同上面的化简方法例：求解：原式 =(5)型同上面的化简方法例：求解：原式=注意不能在 数列 形式下直接用洛必达法则，因为对于 离散变量是无法求 导数 的但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（ Stolz －Cesà rotheorem ）作为替代作为竞赛狗， 我负责任地说些非纯竞赛， 自招难度的东西 ,, 哪些能用， 请知友根据实际情况自己定夺～1. 牢记，牢记！三角恒等式和三角不等式 , 很有用，把证明记住，一证引理，一步到位妥妥的～2. 阿贝尔变换还有其他恒等变换，暴算不等式的时候很有用3. 几何法做解析， 找准几何意义， 超级简单～比如用个角平分线定理， 感觉可神奇了～得看题怎么样，需要运气和智商，毕竟有的题确实没有几何意义4. 复数做平几。
李伟固说今年 Imo 中国队就败在了不会算平几， 2010 年联赛那个很难的平几，建系很方便 ,, 一般是有“心”还有良好的对称性的平几需要～5. 换元法，待定系数，有时会起到简化作用，算代数题，很有用6. 函数题，特值法，逼值，会比描述简单，但条件必须很好～7. 见到三角的题， 设复数算， 配以微积分基本定理， 特别简单 ,, 好像大家对复数都不是很熟悉，其实复数是很好的数学工具8. 做不等式之前，先猜取等条件给某个变量取极限看其他变量变化， 所谓，冻结变量法～9. 求值域，解不等式，多想几何意义，线性规划简单很多10. 导数部份用拉格朗日中值定理，泰勒公式11. 解析，点差法，圆锥曲线的第二定义，拉格朗日恒等式变形，运算中常用定比分点多记着小结论最好了～12. 用行列式展开多项式，方便13. 切比雪夫，排序，都很巧14. 母函数15. 高次方程韦达定理16. 复数中的 Hlawka 不等式柯西不等式有条件成立，还有反向柯西17. 斐波那契数列性质18. 复数中，单位根19. 解析中常常会用到阿波罗尼斯圆错位相减公式： 所有错位相减题都可以化成 的形式设 ，那么(q ≠ 1)此公式经本人上学时反复验证。
记住这个，再碰到错位相减题直接写答案如果是大题象征性地写一写过程就行了涉及圆锥曲线 焦半径长度 的题目：用圆锥曲线统一定义 几率秒杀焦半径长度用直角坐标不好表示，用统一定义简单得不要不要的第二 数学归纳法原理是设有一个与正整数 n 有关的命题，如果：（1）当 n=1 时，命题成立；（2）假设当 n≤ k（ k∈N）时，命题成立，由此可推得当 n=k+1 时，命题也成立那么根据①②可得，命题对于一切正整数 n 来说都成立数列放缩（不一定靠谱）花了一周时间，总算找到了一个通法，至少在答主的高中经历中能解决90%以上的数列放缩问题，包括不是固定值的，而是一个表达式的思想同样适应话不多说，见下0x1 思考这个值如 1/3 的得来，你会发现基本上都是等比求和的极限，没错这机是关键，原因也很简单，我们基本上只能对这类数列求和0x2 利用分析法既然是一个等比数列，那么我们就直接构造这个等比数列， a1 和 q 都设出来 一般来说 q 就是前面需要放缩的式子中指数下的那个 （题目难的话， 可能会调整这个q）然后就利用放缩的逆过程，即两个数列中的每一项都有固定的大小关系（如要证 A>B那么对应的 a(n)>b(n) ）这里会用到很多技巧，比如可能这个式子的前几项不满足，但后面的所有项都成立，那么可以把前几项单独拿出来说明。
0x3 最后再用综合法书写过程0x4 总之，这类问题的思想就是这样，但几年过去了，很多细节也忘了希望能帮到题主/////////// 我也是一条安静的分割线 /////// 我是一个简单的栗子，随便在网上找的一道题，若有错误，请指正步骤：0x1 设 an＝(a1* （1-q^n ）)/(1-q), 然后去掉 q^n 因为可以看作这个数列的极限就是 5/3,a1/(1-q)=5/3,观察前面的式子，可令 q＝1/2 这里的 q 可以不一样（但是为了后面的分析法容易证明）解得 a1=5/6 ；0x2 现在 an＝5/3* （1-1/2^n) ，利用分析法比较 1/ （2^n-1 ）<5/3* （1-1/2^n) （选取 1/2也是因为这里比较容易证明）这时你就会发现第一项不满足（ 1>5/6 ）但从第二项开始，后面的每一项都小于，所以我们第一项单独提出来说明（ 1<5/3 利用原式子），因为从第二项开始都小于，所以每一项相加也同样小于综上该不等式成立0x3 最后利用综合法书写过程完毕！然后这里附上参考答案的做法，可以对比一下可以发现， 构造那个数列很完美， 但是你能想到吗？也说明了其实构造这个数列证明可以有很多，只是我的这种方法比较暴力。
// 回忆高中数列的做题总结有人评论说高中的数列压轴题没这么简单， 的确如此 因为还要和很多方法技巧一起连用解决比如逆向相加比较，构造函数放缩等等等等总之，多做题肯定是不会错的，但是也要有方法的做题学会研究答案，多思考，总结才能学得活。