第六章 线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S1; 解 设A, B分别为二阶矩阵, 则A, BÎS1. 因为(A+B)ÎS1, kAÎS1,所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. , , , 是S1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2; 解 设, , A, BÎS2. 因为 , , 所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. , , 是S2的一个基. (3) 2阶对称矩阵的全体S3. 解 设A, BÎS3, 则AT=A, BT=B. 因为 (A+B)T=AT+BT=A+B, (A+B)ÎS3, (kA)T=kAT=kA, kAÎS3,所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间., , 是S3的一个基. 2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量}, 设r1=(1, 1, 0)T, r2=(-1, 0, 1)T, 则r1, r2ÎV, 但r1+r2=(0, 0, 1)TÏV, 即V不是线性空间. 3. 设U是线性空间V的一个子空间, 试证: 若U与V的维数相等, 则U=V. 证明 设e1, e2, ×××, en为U的一组基, 它可扩充为整个空间V的一个基, 由于dim(U)=dim(V), 从而e1, e2, ×××, en也为V的一个基, 则: 对于xÎV可以表示为x=k1e1+k2e2+ ××× +krer. 显然, xÎU, 故VÍU, 而由已知知UÍV, 有U=V. 4. 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间, a1, a2, ×××, ar是Vr的一个基. 试证: Vn中存在元素ar+1, ×××, an, 使a1, a2, ×××, ar, ar+1, ×××, an成为Vn的一个基. 证明 设r