2.5.1 平面几何中的向量方法自主学习 知识梳理1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔____________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔__________⇔__________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_______________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝______.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为____________，法向量为__________．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为__________，法向量为__________． 自主探究在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．请用向量法给出证明．对点讲练知识点一 利用向量证明平行问题例1 如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MN∥AD.回顾归纳 (1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件．(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式—它们的基线无公共点．与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点．变式训练1 △ABC中，M、N分别为AB、AC的中点．求证：MN∥BC.知识点二 利用向量证明垂直问题例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求的值．回顾归纳 利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．变式训练2 已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.知识点三 直线方向向量的应用例3 在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．回顾归纳 直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．变式训练3 在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则就是直线l的一个方向向量，λ(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1)．②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B).课时作业一、选择题1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )A．2 B. C．3 D.2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点3．如图，非零向量＝a，＝b且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ等于( )A. B.C. D.4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形5．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )A．2 B. C．－3 D．－二、填空题6．过点(1,2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________.7．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝______.8．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是______．三、解答题9. 如图所示，已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.10．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连结DF.求证：∠ADB＝∠FDC.§2.5 平面向量应用举例2．5.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a＝λb x1y2－x2y1＝0(2)a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(3) (4)2．(1)(1，k) (k，－1) (2)(B，－A) (A，B)自主探究证明 在平行四边形ABCD中，＝＋，＝－∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·；2＝(－)2＝2＋2－2·.∴2＋2＝22＋22.即||2＋||2＝2(||2＋||2)．∴平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．对点讲练例1 证明 ∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，设＝μ(μ≠1)，则＝μ，＝(μ－1)，同理，由∥，可得＝(μ－1)，∴＝－＝－＝(μ－1)，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴＝λ，∴AD∥MN.变式训练1 证明 设＝a，＝b，则＝－＝b－a，又M、N分别为AB、AC的中点．∴＝a，＝b.△AMN中，＝b－a＝(b－a)，∴＝，即与共线，∴MN∥BC.例2 解 方法一 (基向量法)设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2.a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b.设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a.由AE⊥BD，得·＝0.即(λb－a)·(a＋b)＝0.解得λ＝，∴＝＝.方法二 以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A，D.又设E(m,0)，则＝，＝.由AE⊥BD，得·＝0.即－×＝0，得m＝，∴＝＝.变式训练2 证明 以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，设正方形边长为1，||＝λ，则A(0,1)，P，E，F，于是＝，＝.∵||＝＝，同理||＝，∴||＝||，∴PA＝EF.·＝＋＝0，∴⊥.∴PA⊥EF.例3 解 ＝(3,4)，＝(－8,6)，∠A的平分线的一个方向向量为：＋＝＋＝.∵∠A的平分线过点A.∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.整理得：7x＋y－29＝0.变式训练3 解析 已知A(0,1)，B(－3,4)，设E(0,5)，D(－3,9)，∴四边形OBDE为菱形．∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.设C(x1，y1)，||＝3，∴＝.∴(x1，y1)＝(－3,9)＝，即＝.课时作业1．B [BC中点为D，＝，∴||＝.]2．D [∵·＝·.∴(－)·＝0.∴·＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为垂心．]3．A [＝－＝λa－b.∵BC⊥OA，∴·＝(λa－b)·a＝0，即λa2－a·b＝0.∴λ＝.]4．B [∵|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，∴|－|＝|＋|，∴A，B，C是同一矩形的三个顶点，且∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．]5．C [如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，∴＝3，∴＝－3.]6．x＋3y－7＝0解析 设P(x，y)是所求直线上任一点，直线3x－y＋1＝0的方向向量为(－1，－3)，由(x－1，y－2)·(－1，－3)＝0得x＋3y－7＝0.7．－25解析 △ABC中，B＝90°，cos A＝，cos C＝，∴·＝0，·＝4×5×＝－16；·＝5×3×＝－9.∴·＋·＋·＝－25.8．等腰三角形解析 ∵(＋－2)·(－)＝[(－)＋(－)]·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝0，∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．9．证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴||＝||，又∵＝＋，＝－，∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.∴⊥，即AC⊥BD.10．证明 如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是＝(－2,1)，＝(－2,2)，设F(x，y)，由⊥，得·＝0，即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0①又F点在AC上，则∥，而＝(－x,2－y)，因此2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2.②由①、②式解得x＝，y＝，∴F，＝，＝(0,1)·＝，又·＝||||cos θ＝cos θ，∴cos θ＝，即cos∠FDC＝，又cos∠ADB＝＝＝，∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.。