2021年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（文科）（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（5 分）已知集合加=幻腾*1,N =x|y=/g（l-x）,则 M 0|N=（）A.0,1）B.（0,1 C.（-oo,l）D.0,12.（5 分）已知复数z 满足2=止（为虚数单位），则z 的虚部为（）1-zA.-i B.-1 C.i D.13.（5 分）已知向量口,满 足 3=（4,0）,b=,S.a=a-b,则a,5 的夹角大小为（）A.工 B.工 C.三 D.主43244.（5 分）如图是甲、乙两组数据的频率分布折线图，s；，s；分别表示甲、乙两组数据的方差，则，s；,s；大小关系正确的是（）A.B.s：=s：C.s；0）右支上一点，耳、居分别是双曲线的左、右焦a 9点.若 P/=7,|乙|=3,则双曲线的一条渐近线方程是（）A.2x+3y=0B.4x+9y=0C.3 x-2 y=0 D.9x-4y=06.（5 分）函数/（x）=x/nx的图象如图所示，则函数f（l-x）的图象为（）yA.7.（5分）九章算术卷 五 商功中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈意思是：今将粟放在平地，谷堆下周长1 2 丈，高 4丈.将该谷堆模型看作一个圆锥,乃取近似值3,则该圆锥外接球的表面积约为（）A.5 5 平方丈 B.75 平方丈 C.1 1 0 平方丈 D.1 5 0 平方丈8.（5 分）已知 c o s（?-z）=!，-?a -”.通过实验观察发现，在 2 0 C 室温下，一块从冰箱中取出的-2 0 C 的冻肉经过0.5 小时后温度升至0 C,在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为1 0 0 0 C 的水，冷却到4 0 ,大约经过的时间为（）（忽略体积等其它因素的影响）A.1 小时 B.1.5 小时 C.2小时 D.2.5 小时II.（5分）已知函数/（犬）=?*3一 _ 1 如2 一灰50力 0）的一个极值点为,则必的最大值6 2为（）A.1 B.?-C.?1 D.?2 4 1 62 21 2.（5分）已知P（4,-5）是椭圆？+汇=1（“3）外一点，经过点P的光线被y 轴反射后,a 9所有有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则椭圆的离心率为（）9 g 9 3A.?B.?C.?D.?-1 642 54二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
x-y 11 3.（5分）若x,y 满足约束条件？,2 x+y 4 ,则 z =x-2 y 的 最 小 值 为.y.O1 4.（5分）从 1,3,9,2 7,8 1 中任取两个数，它们均小于这五个数的平均数的概率是.1 5.（5分）已知AABC中，为BC的中点，A B =2,A4=6,且上/=-2h SH-Os C则 AC=1 6.（5分）如图，正方体AtC的棱长为1,点 M 是棱A A的中点，过 M 的平面a与平面AtBCt平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为一.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 7.（1 2 分）已知S,为等差数列 q 的前项和，*L =9,=2 1 .S21（I）求数列仅“的通项公式；（n）若包=!,求数列的,的前项和，.a“，a“+i1 8.（1 2 分）在三棱锥 P88 中，A 是 CD的中点，AB=AC,B C =6,PB=B D =6 g ,P C =1 2.（I）证明：8 c J_ 平面 P 8 ）；（n ）若 P O =,求点A到平面P B C的距离.1 9.（1 2 分）某校高二生物研究性学习小组的同学们为了研究当地某种昆虫的产卵数与温度的变化关系，他们收集了一只该种昆虫在温度xC 时相对应产卵数个数为y的 8组数据，为了对数据进行分析，他们绘制了如图散点图:“R-.I个）3 02502（MIMi1000.5 10 15 20 25 30 35 4 0，温 度（C）（I ）根据散点图，甲、乙两位同学分别用y =b x+a和 z =,Z r+c （其中z =/y）两种模型进行回归分析，试判断这两位同学得到的回归方程中，哪一个的相关指数先更接近1：（给出判断即可，不必说明理由）（I I ）根 据（I ）的结论选定上述两个模型中更适宜作为对昆虫产卵数与温度变化关系进行回归分析的模型，并利用如表中数据，计算该模型的回归方程；（方程表示为y =.f（x）的形式，数据计算结果保留两位小数）XyZS/=1S/=18i=l2 67 23.31 1 8 7 17 5 75 7 2 2（I I I）据测算，若一只此种昆虫的产卵数超过则会发生虫害.研究性学习小组的同学通过查阅气象资料得知近期当地温度维持在2 5 左右，试 利 用（J I）中的回归方程预测，近期当地是否会发生虫害.附：对于一组数据（%,匕），（，v2）,（,匕），其回归直线=&+血 的 斜 率和截n-ml v距的最小二乘估计分别为液=%-，a=v-p u.-riu21=12 0.（1 2 分）已知抛物线V=4x 及点P（4,0）.（I ）以抛物线焦点厂为圆心，|Q|为半径作圆，求圆尸与抛物线交点的横坐标；（I D A、8是抛物线上不同的两点，且直线四 与 x 轴不垂直，弦 4?的垂直平分线恰好经过点P,求 丽 丽 的 范围.2 1.(1 2 分)已 知 函 数/(幻=/-3 2-4 +2)*-3 -2/)%3/0).(I)当4 =1 时，求函数图象在点(1,f(1)处的切线方程；(H)若 a w l,当函数f(x)有且只有一个极值/(不)时，g(x()=/)+2 函 a ,求 g(x()(a-2)x0的最大值.选修4-4:坐标系与参数方程1x=t-2 2.(1 0 分)在平面直角坐标系x Q y 中，双曲线C 1 的参数方程为；为参数).以原y=t+,点 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 G 的 极 坐 标 方 程 为p1-8 p c o s 0 +1 6-r2=0(r 0).(I)若 r =3,设双曲线C的一条渐近线与G 相交于A，B 两 点,求|A 0.(H)若/=1,分别在G 与 G 上任取点和。
求IP Q I的最小值.选修4-5:不等式选讲2 3.已知函数/(x)=|a v-2|x+3(a e R).(I )当a =l 时，画出函数y =/(x)的图象；(I I )当x 0 时，/(x)x 恒成立，求的范围.2021年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（文科）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（5 分）已知集合用=用嘴!k 1,N=xy=lg（l-x）,则 M|N =（）A.0,1)B.(0,1 C.(-oo,l)D.0,1【解答】解：.M=x|酸*1,/V=x|l-x 0=x|x=4m=/w=l,ft=(U),cos S?B.S；=$2C.D.无法确定【解答】解：根据甲、乙两组数据的频率分布折线图知,甲组数据较分散些，所以方差S；大些，乙组数据较集中些，所以方差小些,所以S；5j .故选：A .5.（5分）点尸为双曲线？;-=1（0）右支上一点，耳、F,分别是双曲线的左、右焦a 9点.若|耳|=7,|P乙|=3,则双曲线的一条渐近线方程是（）A.2 x +3 y =0 B.4x +9 y =0 C.3 x-2 y =0 D.9x-4y=02 2【解答】解：:P为双曲线？二-汇=1（。
0）右支上一点，且|尸41=7，P F.=3,CT 9由双曲线定义可得2 a =|班|-|月|=7-3 =4,则a =2.又由双曲线方程可得力=3,.双曲线的渐近线方程为y =x,即3 x 2 y =0.结合选项可得，双曲线的一条渐近线方程是3 x-2 y =0.故选：C.6.（5分）函数/（x）=x/n r的图象如图所示，则函数f（l-x）的图象为（）/【解答】解：函数/(1的定义为(0,+0 0)，由1一%0得xvl,即函数/(I x)的定义域为(Y O,1)，排除A，C,/(l-x)=(l-x)ln(l-x)9设 g(x)=/(l-x)=(l-x)ln(-x)，则 g(-l)=2/2 0,排除 B,故选：D.7.(5 分)九章算术卷 五 商功中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈.意思是：今将粟放在平地，谷堆下周长12丈，高 4 丈.将该谷堆模型看作一个圆锥,乃取近似值3,则该圆锥外接球的表面积约为()A.55平方丈 B.75平方丈 C.110平方丈 D.150平方丈【解答】解：设外接球球心为O,底面圆心为设底面圆的半径为r,因为该谷堆模型看作一个圆锥，万取近似值3,谷堆下周长12丈，所以2仃=1 2,则，=2,设外接球的半径为R,而高4 丈，所以。
9=4-R,根据勾股定理可得，(4-7?)2+22=/?2,解得/?=*,2所以该圆锥外接球的表面积约为4万齐=25万275平方丈.A 4 0,4&A ；-15.；-V -9 9【解答】解：因为cos（?（a）=g,jr jr 1 ,7所以co$2（w-a）=2cos2（i-a）-l =2x（）2 -1=-,i、冗 乃又因为8$2勺一二85（万 一%）二5缶27所以sin 2a=.9故选：C.9.（5 分）已知命题p a,b是两条不同的直线，a 是一个平面，若力_Lc，a_Lb，则”,命题q：“函数/（x）=F 1 为 R 上的增函数”.下列说法正确的是（）2x-3,x 1A.“力八4”为真命题 B.为真命题C.p q”为真命题 D -p A F 为真命题【解答】解：命题p：a,b是两条不同的直线，a是一个平面，若Z?_La,aA-b,则a/a或 a u a ,故命题假命题；命题/“函数/（衿=卜 1%1 为 A 上的增函数”把 x=l 分别代入函数的关系式，得到,2x-3,x 1-1 1,故不成立，故命题q 为假命题，故 -P A F”为真命题.故选：D.10.（5 分）英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体 的 初 始 温 度 是 环 境 温 度 是 ,那 么 经 过/小 时 后 物 体 的 温 度 将 满 足。
4+（4-%e 5.通过实验观察发现，在 20C室温下，一块从冰箱中取出的-20 的冻肉经过0.5小时后温度升至0 C,在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为100C的水，冷却到40,大约经过的时间为（）（忽略体积等其它因素的影响）A.1 小时 B.1.5小时 C.2 小时 D.2.5小时【解答】解:由题意知0=20+（-2 0-20）e*,5,即e、=,解得=2加2=/4,2所以设当温度为100C的水，冷却到40C时需要的时间为t ,/.40=20+（100-20）e-M,即（尸=-,解得 t=,4故选：A.11.（5 分）已 知 函 数=一 12 一版（0力0）的一个极值点为1,则油的最大值6 2为（）A.1 B.?-C.?1 D.?2 4 16【解答】解：由题意广（幻=；/-火-6,因为函数f（x）的一个极值点为1,所以r（1）=o,即匕=0,即4+=!，所以时,（土也）2=-1,当且仅当 =6=2时等号成立，2 1 6 4所以 的最大值为-L1 6故选：D.1 2.（5分）已知P（4,-5）是椭圆？=r2+上v2=1（3）外一点，经过点P 的光线被y 轴反射后,a 9所有有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则椭圆的离心率为（）9 9 3A.?B.?C.?D.?-1 6 4 2 5 4【解答】解：设过尸（4,一 5）的直线为y+5 =%。
一 4）,E R y=kx-4k-5,由光线的对称性可得反射光线的斜率为此，所以反射光线的方程为：y=-kx-4k-5,y=-kx-4 2 -5联立卜2 y 2 整理可得：（9+2/）“2+（8r+1 0攵）工 +1 6炉+4 0。