2015 年考研数学（一）真题2015 年考研数学（一）真题 一、选择题一、选择题 （1）设函数在连续，其 2 阶导函数的图形如下图所示，则曲线的拐点个数为（） （A）0 （B）1 (C) 2 ( D) 3 （4）设 D 是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在 D 上连续，则 ( )f x（-, + ）( )fx( )yf x21123xxxyexeyaybyce（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则：(A)3,1,1.(B)3,2,1.(C)3,2,1.(D)3,2,1.abcabcabcabc 11(3)331(A)(B)(C).(D)nnnnnaxxnax若级数条件收敛，则与依次为幂级数的：收敛点，收敛点.收敛点，发散点.发散点，收敛点发散点，发散点.21,41xyxy,3yx yx( , )f x y( , )Df x y dxdy 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 1 页，共 5 页（A）（B） (C)( D) （5）设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为 （A）（B）（C）（D） （6）设二次型在正交变换下的标准形为，其中 ，若，则在正交变换下的标准形为 （A）（B）（C）（D） （7）若为任意两个随机事件，则 （A）（B） （C）（D） 二二、填填空空题题 （9 9） 13sin2142sin2( cos , sin )df rrrdr1sin23142sin2( cos , sin )df rrrdr13sin2142sin2( cos , sin )df rrdr1sin23142sin2( cos , sin )df rrdr21111214Aaa21bdd1,2 Axb,ad,ad,ad,ad123( ,)f x x xxPy2221232yyy123( ,)Pe e e132( ,)Qee e123( ,)f x x xxQy2221232yyy2221232yyy2221232yyy2221232yyy,A B()( ) ( )P ABP A P B()( ) ( )P ABP A P B( )( )()2P AP BP AB( )( )()2P AP BP AB(8)X,Y2,1,3,2EXEYDXE X XY设随机变量不相关，且则(A)3(B)3(C)5(D)5全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 2 页，共 5 页（10）（10） （11）（11）若函数由方程确定，则. （ 12 ）（ 12 ） 设是 由 平 面与 三 个 坐 标 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域 ， 则 （13）（13）n阶行列式 （14）（14）设二维随机变量服从正态分布，则. 三、解答题三、解答题 （15）（15）设函数，若与在是等价无穷小，求，值。
（16）（16）设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成的区域的面积为 4， 且求的表达式求的表达式 （17）（17）已知函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数. （18） （本题满分 10 分）（18） （本题满分 10 分） （）设函数可导，利用导数定义证明 2-2sin()1cosxx dxx+cos2xexyz xx(0,1)dz1xyz(23 )xyz dxdydz2002-1202002200-12( )ln(1)sinf xxaxbxx3( )g xkx( )f x( )g x0 x abk( )f xI0 xI( )yf x00(,()xf x0 xxx(0)2,f( )f xxyyxyxf),(3:22xyyxC),(yxfC( ), ( )u x v x ( ) ( )= ( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 5 页（）设函数可导，写出的求导公式. （19） （本题满分 10 分）（19） （本题满分 10 分） 已知曲线的方程为起点为，终点为，计算曲线积分 （20） （本题满分 11 分）（20） （本题满分 11 分） 设 向 量 组是 3 维 向 量 空 间的 一 个 基 ，。
（）证明向量组是的一个基； （）当 k 为何值时，存在非零向量在基与基下的坐标相同，并求出所有的 （21） （本题满分 11 分）（21） （本题满分 11 分） 设矩阵相似于矩阵. （）求的值. （）求可逆矩阵，使得为对角阵. （22） （本题满分 11 分） 设随机变量的概率密度为 12( ),( ).( )nu x uxux12( )( )( ).( ),nf xu x uxux( )f xL222,zxyzx(0, 2,0)A(0,2,0)B2222()()()LIyz dxzxy dyxydz123, 311322k222313(1)k123, 3123, 123, 02-3-1331-2Aa1-2000031Bb, a bP1P APX全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 5 页 对进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记为观测次数. （）求的概率分布； （）求. （23） （本题满分 11 分） 设总体的概率密度为 其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本. （）求的矩估计. （）求的最大似然估计. -2 ln20( )=00 xxf xxXYYEYX11( ; )= 10 xf x 其他12.nXXX，全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 5 页。