一阶电路动态过程的时域分析 一阶电路动态过程的时域分析1、典型一阶电路一阶电路仅包含一个动态元件，假设将动态元件分别出来，那么由戴维南或诺顿定理可得到如下两种典型一阶电路： 典型一阶RC电路 典型一阶RL电路留意：图中N是线性含源单口网络 2、一阶电路的电路方程及其一般形式 ? 一阶RC电路：①关于uC的电路方程：RCduC?uC?uSdt②关于iC的电路方程：RCdiC?iC?CduSdtdt③关于uR的电路方程：RCduR?uR?RCduS dtdt? 一阶RL电路①关于iL的电路方程：LdiL?iL?1uSRdtR②关于uL的电路方程：LduL?uL?LduS RdtRdt③关于uR的电路方程：LduR?uR?uS Rdt? 一阶电路方程的一般形式从上可知，一阶电路的电路方程都是一阶常系数微分方程并且，假设记电路的鼓励为x(t)，响应为y(t)，那么一阶电路方程一般形如：dy(t)??y(t)?x(t) dt式中，? 因具有时间的单位而称为一阶电路的时间常数(time constant)并且，对于一阶RC电路，库??安秒??秒 ?欧?????RC???欧??法???欧?????伏????伏?????对于一阶RL电路，L???亨???韦???伏?秒??[秒] [?]??????R??欧????安?欧???安?欧???3、常系数一阶微分方程的经典时域解法dy(t)对于常系数一阶微分方程?其解(即电路的响应)由通解和特解?y(t)?x(t)，dt两局部构成。
通解：是对应齐次方程的解，与鼓励无关，称为电路的自由响应tdy(t)?pt?y(t)?0?通解yh(t)=Ae=Aeτ dt?式中，A为待定积分系数，可依据初始条件来确定特解：与电路鼓励x(t)有关，x(t)不同，特解形式就不同因此特解也称为强制响应在高等数学中，特解一般可以采纳常数变异法求得，即：?tdy(t)令非齐次微分方程的解为y(t)=m(t)e?，求出后代入原微分方程，得到dtm(t)：m(t)=1?x(t)e?dtt?所以，常系数一阶微分方程?dy(t)?y(t)?x(t)的解为 dt?tτy(t)=Ae ??通解自由响应()特解(强制响应)1e??x(t)e?dt?tt4、直流鼓励下的一阶电路时域分析同时考虑电路的外部鼓励和动态元件的初始储能，直流一阶电路的响应存在以下3种状况：①零输入响应(Zero-input response)：无外部鼓励(x(t)=0)但动态元件有初始储能时，仅由初始储能引起的电路响应τdy(t)?+y(t)=0?+-tτdt? ?y(t)= y(0)e?y(0+)?0?例如，一阶RC电路的零输入响应?-t-t?RCduC?uC=0+RC?uC(t)=uC(0)e?U0e?dt?+??uC(0)=U0?0 duC(t)uC(0+)-?t??iC(t)?Cdt=Re??t?uR(t)??uC(t)=?U0e-??又如，一阶RL电路的零输入响应?-t-t?LdiL?iL=0+LR?iL(t)=iL(0)e?I0e??Rdt+??iL(0)=I0?0 ?uL(t)?LdiL(t)=?RI0e-?t?dt??-t??uR(t)??uL=RI0e? 分析及结论：无论一阶RC还是一阶RL，也无论电路的响应是何变量，一阶电路的零输入响应都具有如下特点：? 全部变量的零输入响应与其初始值成正比。
同一电路，全部变量的零输入响应按同一指数规律衰减，并最终必衰减至0 全部变量零输入响应的衰减快慢取决于电路的时间常数?，或者说，一阶电路过渡过程时间的长短取决于电路的时间常数?并且，? 大→过渡过程时间长；? 小→过渡过程时间短 ? 因为 所以，? 是响应衰减到原来电压36.8%所需的时间并且工程上可以认为，经过3?－5? , 过渡过程即可完毕 另外，可以证明，? 等于响应衰减指数曲线的次切距长 ②零状态响应(Zero-state response)：有外部鼓励(x(t) ≠0)但动态元件无初始储能时，仅由外部鼓励引起的电路响应tτdy(t)MeM?y(t)= ?τ+y(t)=M?特解,强制(稳态)重量通解,自由(暂态)重量 ?dt?-tτ?y(0+)?0??y(?)(1?e) 例如，一阶RC电路直流鼓励下的零状态响应 duC(t) ??t?t?RC+uC(t)=USUSRC?uC(t)=US?USe,iC(t)=eRCdt ?R+?u(0)=0C? 又如，一阶RL电路直流鼓励下的零状态响应 ?LdiL(t)?t?t?+iL(t)=USUULRSS?e,uL(t)=USeLRR?iL(t)= ?RdtRR+?iL(0)=0 ? 分析及结论：? 一阶动态电路的零状态响应由稳态(强制)和暂态(自由)两局部构成。
同一电路，不同变量的零状态响应中的暂态重量按同一指数规律衰减，并且衰减快慢取决于电路的时间常数? ? ? 越大,响应改变越慢，否那么响应改变越快 ③全响应(complete response)：既有外部鼓励(x(t) ≠0)，也有动态元件初始储能时，由两者共同作用引起的电路响应τdy(t)y(?)(=M)?y(0+)?y(?)]e-tτ?+y(t)=M?dt? ?y(t)= 特解,强制(稳态)重量+通解,自由(暂态)重量 +?y(0)?0?注1：上述一阶电路的全响应是从微分方程解构造角度进展分解的除此以外，一阶电路的全响应还可以按鼓励与响应间的因果关系进展如下分解：y(0+)e-tτy(?)(1-e-tτ)y(t)= +零输入响应零状态响应例如， 因此，零输入响应和零状态响应都是全响应的特例 注2：假设定义时间常数?、响应初值y(0+)和响应稳态值y(∞)为一阶电路的三要素，那么一阶电路的全响应可干脆依据以上公式得到这种求解全响应的方法称为三要素解法并且，三要素法的一般步骤为： ? 除去动态元件，求取所得网络的等效电阻R，并计算动态电路的时间常数? ： ? 利用换路定那么及0+等效电路，求取响应初值 y(0+); ? 依据换路并稳定后的电路，求取响应的稳态值 y(∞)； ? 按三要素法公式，写出全响应的表达式。
例1：(零输入响应问题)：1) t=0时，翻开开关S，求uV2)假设电压表量程为50V，试判定其是否会被损坏3) 探讨电路的改良措施 例2 (零状态响应问题)：t=0开关K翻开，求t >0后iL、uL及电流源的电压 例3(全响应问题)：确定t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页。