3.2.1 立体几何中的向量方法——方向向量与法向量 lAP１．直线的方向向量１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量一、方向向量与法向量一、方向向量与法向量 2 2、平面的法向量、平面的法向量 AlP平面平面αα的向量式方程的向量式方程 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量 oxyzABCD1A1B1C1例例1.1. 如图所示如图所示, , 正方体的棱长为正方体的棱长为1 1(1)(1)直线直线OAOA的一个方向向量坐标为的一个方向向量坐标为______________________(2)(2)平面平面OABC OABC 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为______________________(3)(3)平面平面ABAB1 1C C 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为______________________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0) 练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD⊥⊥底面底面ABCD，，PD=DC=1 , ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDBEDB的一个法向量的一个法向量. .解：解：如图所示建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系. .ABCDP PE E设平面设平面EDBEDB的法向量为的法向量为XYZ 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系. 用向量方法解决立体问题用向量方法解决立体问题 二、 立体几何中的向量方法二、 立体几何中的向量方法————证明平行与垂直证明平行与垂直 ml（一）（一）. . 平行关系：平行关系： α αβ （二）、垂直关系：（二）、垂直关系：lm lABC αβ 例例1:1:四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形, ,PD⊥⊥底面底面ABCD，，PD=DC=6, E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . . 求证：求证：AE // FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG 证证: :如图所示如图所示, , 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系. .//AEAE与与FGFG不共线不共线几何法呢？几何法呢？ 例例2:2:四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PD⊥⊥底面底面ABCD，，PD=DC, , E是是PC的中点，的中点， ( (1)1)求证：求证：PA//平面平面EDB. .ABCDP PE EXYZG解解1:1:立体立体几何法几何法 ABCDP PE EXYZG解解2 2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1DC=1(1)(1)证明：连结证明：连结AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连结连结EGEG ABCDP PE EXYZ解解3 3: :如图所示建立空间直角坐标系，点如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点为坐标原点，，设设DC=1(1)(1)证明：证明：设平面设平面EDBEDB的法向量为的法向量为 ABCDP PE EXYZ解解4 4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1DC=1(1)(1)证明：证明：解解得得 x＝－２＝－２,ｙ＝１ｙ＝１ A1 xD1B1ADBCC1y z E F是是BB1,1,，，CD中点中点，，求证求证：：D1F 例例3 3 正方体正方体中中，，E、、F分别分别平面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，， 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，，所以所以 , ,E是是AA1中点，中点， 例例4 4 正方体正方体平面平面C1 1BD. 证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是平面平面C1 1BD. 平面平面EBD 证明证明2：：E, ,E是是AA1中点，中点， 例例4 4 正方体正方体平面平面C1 1BD. 求证：求证：平面平面EBD 。