复习第 2 讲，消费者最优化2.1 预算2.2 偏好2.3 效用2.4 选择消费者最优 —— 买得到的组合中选择最好的一个2.1 预算：买得到的组合 —— 预算可行集 —— 稀缺性预算线的斜率 —— 机会成本2.2 偏好：如何对可能消费的组合排序呢 —— 偏好无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序2.3 效用：更简便的排序是用效用函数效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的斜率 —— 边际支付意愿或保留价格2.4 选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合最优化模型的解满足相切条件，就是对商品 1 的边际支付意愿等于其机会成本但是并非满足相切条件的解是最优解偏好是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的，此时满足一阶相切条件的解是最优解最优选择模型 ch5买得到的组合：稀预算约束Ch2预算集预算线预算线斜率：商品1 机会成本（边际成本）排序：偏好无差异效用函数曲线 ch3Ch4边际替 边际效用代率无差异曲线的斜率：商品 1 的主观价值（边际支付意愿保留价格）相切：选择 ch5第 3 讲：效用最大化与支出最小化（补充）3.1 效用最大化3.2 支出最小化3.3 效用最大化与支出最小化：对偶关系3.1 效用最大化Max U ＝U(x 1, x2)S.t. P1 x1 + P2 x2 = ML=U(x 1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)L’x1= eU/ex1 –ζ P1=0⋯⋯⋯⋯⋯ （1）L’x2 = eU/ex2 –ζP2=0⋯⋯⋯⋯⋯ （2）L’ζ=M – P1 x1 – P2 x2=0⋯⋯⋯⋯⋯ （3）x1*=x 1（p1， p2，M ），x2*=x 2（p1， p2，M ）；这是马歇尔需求函数例子 1：U(x1, x2)= x 11/2 x21/2x1*=(1/2) (m/p 1)，x2*=(1/2) (m/p 2)如果价格和收入同比例变化，需求量保持不变。
即马歇尔需求函数是零次齐次函数x1（ tp 1， tp 2， tM ）=t 0x1（ p1，p2，M ）=x1（p1,p2,M ）例子 2：把马歇尔需求函数 x1*=(1/2) (m/p 1)，x2*=(1/2) (m/p 2)代入 U(x1, x2)= x11/2 x21/2得到最大的效用 U*= (1/2) p 1-1/2 p2-1/2 mV= U*=V(p 1, p2, m) =(1/2) p1-1/2 p2-1/2 m我们把 V=V(p 1, p 2, m)称为间接效用函数，把 U＝ U(x 1, x 2)称为直接效用函数 间接效用函数相当于说，只要知道收入和价格，就知道相应的最大效用那么如果价格或收入发生变化，很容易得知导致效用的变化例子 3：U(x1, x2)= x 11/2 x21/2—— V= (1/2) p 1-1/2 p2-1/2 mm=8，p1=1，p2=4，V= ？， x1=？m=8，p1+t=2 ，p2=4，V= ？， x1=？税收 tx 1=？m=8- tx 1，p1 =1，p2=4，V= ？x 1=？画图比较征收等额的商品税与所得税的影响 p69从量税：价格提高，（p1 +t）x 1+p2 x2=m，政府税收 t x 1* 所得税：收入降低， p1x 1+p 2x2=m - t x 1* ， 政府税收 t x1* 对于单个消费者来说，征收相同税额，所得税优于从量税。
但是如果单个消费者不消费征税商品，那么他偏好从量税而不是所得税例子 4：U(x1, x2)= x 11/2 x21/2—— V= (1/2) p 1-1/2 p2-1/2 m-（eV/ep 1）/（ eV/em ） =?补充：包络定理 —— 值函数对参数的微分直接等于原函数对参数的微分V= U*=U[ x1* （ p1，p2，M ），x2* （ p1，p2，M ）] =V (p1, p2, m) ⋯⋯ 值函数；Max L=U(x 1, x2) –ζ (P1 x1 + P2 x2 – M)⋯⋯ 约束条件最大化的原函数；eV/ep 1= eL/ep 1=-ζx1；eV/ep 1是说，如果价格变化 1单位，效用会变化多少？如果在某一价格下，最优的商品购买量是 x1，那么如果此时价格下降 1单位，相当于每单位商品可以少花1单位，收入总共多出了 x1单位；每单位货币的效用为ζ于是，很直观的是，价格下降 1单位，收入增加 x1单位，效用增加了 -ζ x1单位如果价格上涨则相反eV/ep 1= eL/ep 2=-ζx2eV/em= eL/em= ζ-（eV/ep 1）/（ eV/em ） =x1*=(1/2) (m/p 1)，-（eV/ep 2）/（ eV/em ） =x2*=(1/2) (m/p 2)我们把 -（eV/ep i ）/（ eV/em ） =xi* （p1， p2，M ）称为罗伊恒等式。
利用该等式，知道间接效用函数，可直接得到马歇尔需求函数3.2 支出最小化Min e= P 1 x1 + P2 x2S.t. U(x1, x2)＝UL= P 1 x1 + P2 x2–θ(U(x 1, x2)-U)L’x1 = P1–θeU/ex 1 =0⋯⋯⋯⋯⋯ （1）L’x2 = P2–θeU/ex 2 =0⋯⋯⋯⋯⋯ （2）L’θ = U(x1, x2)-U =0 ⋯⋯⋯⋯⋯ （3）x1*=x 1h（ p1，p2， U）， x2*=x 2h（p1，p2，U）；叫希克斯需求函数，区别于马歇尔需求函数满足 MU 1/ P1=MU 2/ P2＝1/ θ或 MU 1/ MU 2 = P1 / P2画图，区别效用最大化模型与支出最小化模型把 x1h （p1，p2， U）， x2h（ p1，p2，U）代入最小支出： e*= P1 x1h（p1， p2，U）+ P2x2h（p1，p2，U）e*= e（ p1，p2， U）被称为支出函数，它告诉在既定价格条件下为了实现某一效用所需要的最小支出例子 5：求 U(x1, x2)= x11/2 x21/2的支出函数根据支出最小化模型得到：x1h= p1-1/2p21/2 U，x2h = p11/2p2-1/2U,e= p1 p1-1/2p21/2 U + p 2 p11/2p2-1/2U=2 p 11/2p 21/2U如果 U=2, p1=1, p2=4, e=?征税 U=2, p1+t=2, p2=4, e=?必须至少补贴多少钱，消费者才不会反对征税？画图表示例子 6：e e（p1， p2，U）/ep1=？ e e（p1， p2，U）/eU=？根据包络定理e e（p1， p2，U）/ep1= e L/ep 1= x1*=x 1h （p1， p2，U）， e e（p1， p2，U）/ep2= e L/ep 2= x1*=x 2h （p1， p2，U），这叫谢泼德引理。
e e（p1， p2，U）/ep1=x1hee/ep1是说，如果价格变化 1单位，最小支出会变化多少？很直观的是，如果在某一价格下，达到某一效用支出最小的商品购买量是 x1h，那么如果此时价格下降 1单位，相当于每单位商品少花 1单位货币，共节省 x1h 单位支出就可以达到原来的 U如果价格上涨则相反e e（p1， p2，U）/eU= e L/eU= θ =1/ζ3.3 效用最大化与支出最小化：比较Max U ＝U(x 1, x2) Min e= P 1 x1 + P2 x2S.t. P1 x1 + P2 x2 = M S.t. U(x1, x2)＝Ux1=x1* （p1，p ，M ）h（p，p，U）2x1*=x 112x2=x2* （p1，p2，M ）x2*=x 2h（p1，p2，U）V=V(p 1, p2, m)间接效用与最小支出互 e=为反函数e（p1，p2，U）-（eV/ep i ）e e（p1，p2，U）/epi/（eV/em ）h（p，p ，U），=xi12=x * （p ，p ，M ）例子： V=V(p 1, p2, m)与 e= e（p1，p2，U）互为反函数 V=V （p1, p2, m）= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m e= e（p1，p2， U）=2 p11/2p21/2U画图：四个恒等式：e= e（p1，p2， V （p1， p2，m））=mV（ p1，p2， e（p 1，p2，U））=Uxi（ p1，p2，M ）=xi h（p1，p2，V （ p1， p2， m ））xih （p1，p2，U）=xi（p1， p2，e（p1，p2，U））希克斯需求不可观察，但是马歇尔需求是可以观察的画图：马歇尔需求函数，希克斯需求函数，边际替代率。