同底数的指对数函数图像的交点个数2

120102010 年数联天地讲座部分年数联天地讲座部分———— 西西“例 5 分别就 a =2，a =和 a =画出函数 y = ax，y = logax 的图象，5 41 2并求方程 ax = logax 解的个数． ” 按常规教学方法，本节课很难实施教学，主要是因为学生难以准确地作出这些图象，如当 a =时，学生怎会知道 y = ax的图象就与 y = x 有两个交点呢？5 4那么，本节课应如何组织教学呢？建议分下面三个过程：一、在想象中让学生充分暴露“主观错误”若没有课本中的图象“暗示” ，有很多学生常常通过以下的作图（主观想象）进行判断：作出 a > 1 时 y = ax与 y = logax 的图象如图(1)所示，因它们没有公共点，所以当 a > 1 时，方程 ax = logax无解；作出 0 1 时，方程 ax = logax 的解可能有2 个、1 个或 0 个．受以上启发，让我们再来仔细观察图(2)，即当 0 0，且 a≠1)解的个数．下面我们用代数方法推导说明它们的解的个数．1．a > 1 时方程 ax = logax 的解先求如图(4)所示曲线 y = ax与 y = logax 相切时 a 的值．ͼ(5)11P0P2P1logaxaxOyx4设曲线 y = ax与 y = logax 相切于点 M(x0，x0)，由于曲线 y = ax在点 M 处的切线斜率为 1，∴ 即 ∴ 则 ．000, () |1.xx x xaxa000,ln1.xxaxaa000,1.lnxaxxa1 ln1 lnaaa即 e = ，∴a = ．此时 x0 = e．1 lna1 ee以上说明，当 a = 时，两条曲线 y = ax与 y = logax 相切于点 M(e，e)．1 ee因此有以下结论：① 1 时，方程(*)无解(见图(1)所示)．1 ee用计算器可算出≈1.44467．1 ee0 < a < 1 时方程 ax = logax 的解先求如图(6)所示曲线 y = ax与 y = logax 相切时 a 的值． 设曲线 y = ax与 y = logax 相切于点 P，由对称性知，点 P 在直线 y = x 上，设 P (x0，x0)．由于曲线 y = logax（或 y = ax）在点 P 处切线的斜率为  1，∴即 ∴ 即000, (log) |1.xax xaxx 000,11.lnxaxxa 1 ln01,ln 1.lnaaaxa011,ln 1.eaxe 则 a =．此时，x0 =．1( )ee1 e图 (6)11PlogaxaxOyx5以上说明，当 a =时，两条曲线 y = ax与 y = logax 相切于点1( )eeP(，)．1 e1 e因此有以下结论：① 0 < a <时，方程(*)有且只有三解(见图(5)所示)；1( )ee② 当 a =时，方程(*)有且只有一解(见图(6)所示)；1( )ee③ 当< a < 1 时，方程(*)有且只有一解(见图(2)所示)．1( )ee用计算器可算出≈0.06599．由于此数非常小，因此，人们在平时较1( )ee难观察到这种较小数值所示的函数图象，这也是人们易产生错误认识的一个重要原因． 综上所述，得：当 a（0，）时，方程 ax = logax 有且只有三解；1( )ee当 a =时，方程 ax = logax 有且只有一解；1( )ee当 a（，1）时，方程 ax = logax 有且只有一解；1( )ee当 a（1，）时，方程 ax = logax 有且只有两解；1 ee当 a =时，方程 ax = logax 有且只有一解；1 ee当 a（，+∞）时，方程 ax = logax 无解．1 ee6新课程注重现代信息技术与课程的整合，把信息技术作为一种让学生主动探究、分析研究的工具，让学生利用信息技术进行发现、创造。

新课程主张从“问题情境（提出问题） ”出发，通过“学生活动（体验数学） ” ，产生“意义建构（感知数学） ” ，再形成“数学理论（建立数学） ” 新课程倡导“探究性学习” ，希望通过学生主动探索相对独立地做出科学发现或创造，包括由此而获得科学活动的实际体验和经验，以培养学生自主探究能力，自主实践能力．由本例可以看出，没有实验，学生就缺乏一定的感性认识，通过实验，可使学生对问题的认识起到先导作用．当然本例教学难度偏大，由于一般学生还没有掌握一定的图形软件工具、更缺乏必要的导数知识，所以要让学生从理论上理解以上的解答过程目前还非常困难，尽管通过现代信息技术的实验方法，可使学生学会利用图象对问题作出初步判定，但后备的理论研究却难以实施，即教学中还缺少一定的理论说服力．因≈0.06599，其数值太小，若使用1( )ee二分法，则精度要求更高，因此完成书中的“理论探究”难度太大．为了培养学生探究的兴趣，可适当降低一点要求，以给学生较好的“成功感” ！。