解解: 我们知道， , 是以2π为周期的周期函数， 所以 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章① 以N为周期， 将 看作一周期序列 的DFS系数， 则②由式①知 为③ 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章将式③代入式②得到由于 所以 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由题意知 所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由于0≤n≤N－1， 所以≥≥因此说明： 平时解题时， 本题推导 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章的过程可省去， 直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（）和(3.3.3)）即可 14． 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0 n<0, 8≤n y(n)=0 n<0, 20≤n对每个序列作20点DFT， 即 X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, …, 19 Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, 19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？ 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解解: 如前所述， 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n) 20 y(n)。
fl(n)长度为27， f(n)长度为20 由教材中式（）知道f(n)与fl(n)的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 15． 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0 （1） 求X(k)的其余3点的值； （2） 求X1(k)=DFT［x1(n)］8；（3） ，求 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解解： （1）因为x(n)是实序列， 由第7题证明结果有X(k)=X*(N－k)， 即X(N－k)=X*(k), 所以， X（k）的其余3点值为 {X(5), X(6), X(7)}={0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 （2） 根据DFT的时域循环移位性质， (3) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 16． x(n)、 x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、 (b)和(c)所示， 已知X(k)=DFT［x(n)］8。
求和［注: 用X(k)表示X1(k)和X2(k)］ 解解： 因为x1(n)=x((n+3))8R8(n), x2(n)=x((n－2))8R8(n)， 所以根据DFT的时域循环移位性质得到 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 17． 设x(n)是长度为N的因果序列， 且试确定Y(k)与X(ejω)的关系式 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解解： y(n)是x(n)以M为周期的周期延拓序列的主值序列， 根据频域采样理论得到 18． 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F≤50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而（2）（3） 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 （4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。
19． 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频率fm=100 Hz， 用FFT对其进行谱分析， 试求： (1) 最小记录时间Tp min; (2) 最低采样频率fs min; (3) 最少采样点数Nmin 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解解： 调制信号为单一频率正弦波时， 已调AM信号为 x(t)=cos(2πfct+jc)［1+cos(2πfmt+jm)］所以， 已调AM信号x(t) 只有3个频率： fc、 fc+fm、 fc－fm x(t)的最高频率fmax=1.1 kHz， 频率分辨率F≤100 Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数， 以便能采样到这三个频率成分） 故(1)(2) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章(3) （注意， 对窄带已调信号可以采用亚奈奎斯特采样速率采样， 压缩码率 而在本题的解答中， 我们仅按基带信号的采样定理来求解 ） 20． 在下列说法中选择正确的结论 线性调频Z变换可以用来计算一个有限长序列h(n)在z平面实轴上诸点{zk}的Z变换H(zk)， 使 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 (1) zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a为实数， a≠1; (2) zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a为实数， a≠1; (3) (1)和(2)都不行， 即线性调频Z变换不能计算H(z)在z平面实轴上的取样值。
解解： 在chirp-Z变换中， 在z平面上分析的N点为 zk=AW－k k=0, 1, …, N－1其中所以 当A0=1, ω0=0, W0=a－1, j=0时， zk=ak故说法（1）正确, 说法（2）、 （3）不正确 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 21． 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理， 要求采用重叠保留法通过DFT(即FFT)来实现 所谓重叠保留法， 就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点)， 但相邻两段必须重叠V个点， 然后计算各段与h(n)的L点(本题取L=128)循环卷积， 得到输出序列ym(n)， m表示第m段循环卷积计算输出 最后， 从ym(n)中选取B个样值， 使每段选取的B个样值连接得到滤波输出y(n) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 (1) 求V； (2) 求B； (3) 确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些样点 解解: 为了便于叙述， 规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为n=0, 1, 2, …, 127。
先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)分析问题， 因为当h(n)的50个样值点完全与第m段输入序列xm(n)重叠后， ylm(n)才与真正的滤波输出y(n)相等， 所以， ylm(n)中第0点到第48点（共49个点）不正确， 不能作为滤波输出， 第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的第m段， 即B=51 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 所以， 为了去除前面49个不正确点， 取出51个正确的点连接, 得到不间断又无多余点的y(n)， 必须重叠100－51=49个点， 即V=49 下面说明， 对128点的循环卷积ym(n)， 上述结果也是正确的 我们知道因为ylm(n)长度为N+M－1=50+100－1=149 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章所以n从21到127区域无时域混叠， ym(n)=ylm(n)， 当然， 第49点到第99点二者亦相等， 所以， 所取出的51点为从第49点到第99点的ym(n) 综上所述， 总结所得结论： V=49, B=51 选取ym(n)中第49～99点作为滤波输出。
读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 22． 证明DFT的频域循环卷积定理 证证： DFT的频域循环卷积定理重写如下: 设h(n)和x(n)的长度分别为N和M， ym(n)=h(n)x(n) H(k)=DFT［h(n)］L, X(k)=DFT［X(n)］L则L X(k)其中， L≥max［N， M］ 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 根据DFT的惟一性， 只要证明ym(n)=IDFT［Ym(k)］=h(n)x(n)， 就证明了DFT的频域循环卷积定理 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 教材第教材第4章习题与上机题解答章习题与上机题解答 快速傅里叶变换（FFT）是DFT的快速算法， 没有新的物理概念 FFT的基本思想和方法教材中都有详细的叙述， 所以只给出教材第4章的习题与上机题解答 1． 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 μs， 每次复数加需要1 μs， 用来计算N=1024点DFT， 问直接计算需要多少时间。
用FFT计算呢？照这样计算， 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实时处理的信号最高频率 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算次数为 N2=1024×1024=1 048 576次复数加法运算次数为 N（N－1）=1024×1023=1 047 552次直接计算所用计算时间TD为 TD=4×10－6×10242+1 047 552×10－6=5.241 856 s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)=DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和一次N点IFFT 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）由采样定理知， 可实时处理的信号最高频率为 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 应当说明， 实际实现时， fmax还要小一些。
这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次 重叠部分长度与h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间 2． 如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列， 计算复数乘和复数加各需要10 ns 请重复做上题 解解: 与第1题同理 直接计算1024点DFT所需计算时间TD为TD=10×10－9×10242+10×10－9×1 047 552=20.961 28 ms 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为快速卷积计算时间Tc约为 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章可实时处理的信号最高频率fmax为≤··由此可见， 用DSP专用单片机可大大提高信号处理速度 所以， DSP在数字信号处理领域得到广泛应用 机器周期小于1 ns的DSP产品已上市， 其处理速度更高 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 3． 已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT， 希望从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)， 为提高运算效率， 试设计用一次N点IFFT来完成的算法。
解解: 因为x(n)和y(n)均为实序列， 所以， X(k)和Y(n)为共轭对称序列， jY(k)为共轭反对称序列 可令X(k)和jY(k)分别作为复序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量， 即 F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k)计算一次N点IFFT得到 f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由DFT的共轭对称性可知 Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)故 4． 设x(n)是长度为2N的有限长实序列， X(k)为x(n)的2N点DFT (1) 试设计用一次N点FFT完成计算X(k)的高效算法 (2) 若已知X(k) ，试设计用一次N点IFFT实现求X(k)的2N点IDFT运算 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解解: 本题的解题思路就是DIT-FFT思想 （1） 在时域分别抽取偶数和奇数点x(n)， 得到两个N点实序列x1(n)和x2(n)： x1(n)=x(2n) n=0, 1, …, N－1 x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, …, N－1 根据DIT-FFT的思想， 只要求得x1(n)和x2(n)的N点DFT， 再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点DFT。
因为x1(n)和x2(n)均为实序列， 所以根据DFT的共轭对称性， 可用一次N点FFT求得X1(k)和X2(k) 具体方法如下： 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章令 y(n)=x1(n)+jx2(n) Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, N－1则2N点DFT［x（n）］=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 这样， 通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT 当然还要进行由Y(k)求X1(k)、 X2(k)和X(k)的运算(运算量相对很少) （2） 与（1）相同， 设 x1(n)=x(2n) n=0, 1, …, N－1 x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, …, N－1 X1(k)=DFT［x1(n)］ k=0, 1, …, N－1 X2(k)=DFT［x2(n)］ k=0, 1, …, N－1则应满足关系式 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由上式可解出由以上分析可得出运算过程如下： ① 由X(k)计算出X1(k)和X2(k): 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 ② 由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Y(k): Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 进行N点IFFT， 得到y(n)=IFFT［Y(k)］=Re［y(n)］+j Im［y(n)］ n=0, 1, …, N－1由DFT的共轭对称性知 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 ③ 由x1(n)和x2(n)合成x(n):，0≤n≤2N－1在编程序实现时， 只要将存放x1(n)和x2(n)的两个数组的元素分别依次放入存放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 5． 分别画出16点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图， 并计算其复数乘次数， 如果考虑三类碟形的乘法计算， 试计算复乘次数 解解： 本题比较简单， 仿照教材中的8点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图很容易画出16点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图 但画图占篇幅较大， 这里省略本题解答， 请读者自己完成 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 教材第教材第5章习题与上机题解答章习题与上机题解答 1. 已知系统用下面差分方程描述:试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构 式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章解解： 将原式移项得将上式进行Z变换， 得到 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 (1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型结构如题1解图（一）所示题1解图（一） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章(2) 将H(z)的分母进行因式分解： 按照上式可以有两种级联型结构:① 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。
②画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题1解图（二） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 (3) 将H(z)进行部分分式展开： 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示题1解图（三） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 2． 设数字滤波器的差分方程为试画出系统的直接型结构 解解： 由差分方程得到滤波器的系统函数为画出其直接型结构如题2解图所示 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题2解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 3. 设系统的差分方程为 y(n)=(a+b)y(n－1)－aby(n－2)+x(n－2)+(a+b)x(n－1)+ab式中, |a|<1， |b|<1, x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号, 试画出系统的直接型和级联型结构 解解： (1)直接型结构 将差分方程进行Z变换， 得到 Y(z)=(a+b)Y(z)z－1－abY(z)z－2+X(z)z－2－(a+b)X(z)z－1+ab按照Masson公式画出直接型结构如题3解图（一）所示。
时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题3解图（一） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 (2) 级联型结构 将H(z)的分子和分母进行因式分解， 得到按照上式可以有两种级联型结构: ① ，画出级联型结构如题3解图（二）(a)所示 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章②，画出级联型结构如题3解图（二）(b)所示 题3解图（二） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 4. 设系统的系统函数为试画出各种可能的级联型结构， 并指出哪一种最好 解解： 由于系统函数的分子和分母各有两个因式， 因而可以有两种级联型结构 H(z)=H1(z)H2(z) ① ， 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章画出级联型结构如题4解图(a)所示 ②，画出级联型结构如题4解图（b）所示 第一种级联型结构最好， 因为用的延时器少 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题4解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 5． 题 5图中画出了四个系统， 试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应， 并求其总系统函数。
解解：(1) h(n)=h1(n)*h2(n)*h3(n), H(z)=H1(z)H2(z)H3(z) (2) h(n)=h1(n)+h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z) (3) h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z) · H2(z)+H3(z) (4) h(n)=h1(n)*［h2(n)+h3(n)*h4(n)］+h5(n) =h1(n)*h2(n)+h1(n)*h3(n)*h4(n)+h5(n) H(z)=H1(z)H2(z)+H1(z)H3(z)H4(z)+H5(z) 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题5图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 6． 题6图中画出了10种不同的流图， 试分别写出它们的系统函数及差分方程解解： 图(a) 图（b）图（c） H(z)=a+bz－1+cz－2图（d） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章图（e）图（f） 图（g） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章图（h） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章图（i） 图（j） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题6图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 7. 假设滤波器的单位脉冲响应为 h(n)=anu(n) 0＜a＜1求出滤波器的系统函数， 并画出它的直接型结构。
解解： 滤波器的系统函数为系统的直接型结构如题7解图所示 题7解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 8. 已知系统的单位脉冲响应为h(n)=δ(n)+2δ(n－1)+0.3δ(n－2)+2.5δ(n－3)+0.5δ(n－5)试写出系统的系统函数， 并画出它的直接型结构 解解： 将h(n)进行Z变换， 得到它的系统函数 H(z)=1+2z－1+0.3z－2+2.5z－3+0.5z－5画出它的直接型结构如题8解图所示题8解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 9. 已知FIR滤波器的系统函数为试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构 解解： 画出滤波器的直接型结构、 线性相位结构分别如题9解图(a)、 (b)所示 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题9解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 10． 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为: (1) N=6 h(0)=h(5)=15 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 (2) N=7 h(0)=h(6)=3 h(1)=－h(5)=－2 h(2)=－h(4)=1 h(3)=0试画出它们的线性相位型结构图， 并分别说明它们的幅度特性、 相位特性各有什么特点。
时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 解解： 分别画出（1）、 （2）的结构图如题10解图（一）、 （二）所示 （1） 属第一类N为偶数的线性相位滤波器， 幅度特性关于ω=0, π, 2π偶对称， 相位特性为线性、 奇对称 （2） 属第二类N为奇数的线性相位滤波器， 幅度特性关于ω=0, π, 2π奇对称， 相位特性具有线性且有固定的π/2相移 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题10解图（一） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题10解图（二） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 11． 已知FIR滤波器的16个频率采样值为： H(0)=12， H(3)~H(13)=0 H(1)=－3－j ， H(14)=1－ j H(2)=1+j， H(15)=－3+j 试画出其频率采样结构， 选择r=1， 可以用复数乘法器 解解： N=16画出其结构图如题11解图所示。
时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题11解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 12. 已知FIR滤波器系统函数在单位圆上16个等间隔采样点为: H(0)=12， H(3)~H(13)=0 H(1)=－3－j ， H(14)=1－j H(2)=1+j， H(15)=－3+j 试画出它的频率采样结构, 取修正半径r =0.9, 要求用实数乘法器 解解： 将上式中互为复共轭的并联支路合并， 得到 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章· 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章画出其结构图如题12解图所示 题12解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 13． 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为 h(n)=δ(n)－δ(n－1)+δ(n－4)试用频率采样结构实现该滤波器 设采样点数N=5， 要求画出频率采样网络结构， 写出滤波器参数的计算公式 解解： 已知频率采样结构的公式为 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章式中它的频率采样结构如题13解图所示。
时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题13解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 14. 令： H1(z)=1－0.6z－1－1.414z－2+0.864z－3 H2(z)=1－0.98z－1+0.9z－2－0.898z－3 H3(z)=H1(z)/H2(z)分别画出它们的直接型结构 解解： H1(z)、 H2(z)和H3(z)直接型结构分别如题14解图(a)、 (b)、 (c)所示 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题14解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 15． 写出题15图中系统的系统函数和单位脉冲响应题15图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章解解：取收敛域： |z|>1/2， 对上式进行逆Z变换， 得到 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 16. 画出题15图中系统的转置结构， 并验证两者具有相同的系统函数 解解： 按照题15图， 将支路方向翻转， 维持支路增益不变， 并交换输入输出的位置， 则形成对应的转置结构， 画出题15图系统的转置结构如题16解图所示。
将题16解图和题15图对照， 它们的直通通路和反馈回路情况完全一样， 写出它们的系统函数完全一样， 这里用Masson公式最能说明问题 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题16解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题17图 17. 用b1和b2确定a1、 a2、 c1和c0， 使题17图中的两个系统等效 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 解解： 题17图 （a）的系统函数为①题16图（b）的系统函数为②对比式①和式②， 当两个系统等效时， 系数关系为 a1=b1, a2=b2 c0=2, c1=－(b1+b2) 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 18. 对于题18图中的系统， 要求： （1） 确定它的系统函数； （2） 如果系统参数为 ① b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=－0.9 ② b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=－2 画出系统的零极点分布图， 并检验系统的稳定性。
解解： （1） 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章（2）① b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=－0.9零点为z=－1(二阶)， 极点为 p1, 2=0.75±0.58j, |p1, 2|=0.773极零点分布如题18 解图(a)所示 由于极点的模小于1， 可知系统稳定 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题18图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题18解图 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 ② b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=－2零点为z=－1(二阶)， 极点为 p1, 2=0.5±1.323j, |p1, 2|=1.414极零点分布如题18解图(b)所示 这里极点的模大于1，或者说极点在单位圆外， 如果系统因果可实现， 收敛域为|z|>1.414， 收敛域并不包含单位圆， 因此系统不稳定 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 第 第6章 无限脉冲响应数章 无限脉冲响应数字字滤波器的设计滤波器的设计 习题解答习题解答 1． 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率fp=6 kHz，通带最大衰减ap=3 dB， 阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减as=25 dB。
求出滤波器归一化系统函数G(p)以及实际滤波器的Ha(s) 解解: （1） 求阶数N 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章将ksp和λsp值代入N的计算公式, 得所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到简化） 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 （2） 求归一化系统函数G(p) 由阶数N=5直接查教材第157页表6.2.1, 得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数G(p)为或当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果 （3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一化系统函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s) 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 由于本题中ap=3 dB， 即Ωc=Ωp=2π×6×103 rad/s， 因此对分母因式形式， 则有 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 如上结果中，Ωc的值未代入相乘， 这样使读者能清楚地看到去归一化后，3 dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。
2． 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率fp=3 kHz，通带最大衰减αp=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减αs=50 dB 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际的Ha(s) 解解: （1） 确定滤波器技术指标 αp=0.2 dB, Ωp=2πfp=6π×103 rad/s αs=50 dB, Ωs=2πfs=24π×103 rad/s λp=1, 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (4) 求阶数N和ε为了满足指标要求， 取N=4 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (3) 求归一化系统函数G(p)其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)： 其中， sk=Ωppk=6π×103pk, k=1, 2, 3, 4 因为p4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s2*。
将两对共轭极点对应的因子相乘， 得到分母为二阶因子的形式， 其系数全为实数 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章也可得到分母多项式形式， 请读者自己计算 3． 设计一个巴特沃斯高通滤波器， 要求其通带截止频率fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB， 阻带最小衰减as=15 dB 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s) 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 解解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求： p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB (2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到 λp=1, ap=3 dB as=15 dB 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (3) 设计相应的归一化低通G(p) 题目要求采用巴特沃斯类型， 故 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三阶巴特沃斯归一化低通G(p)为 (4) 频率变换。
将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)： 式中 Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104 rad/s 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： (1)(2)式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z) 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 解解: 该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式 所以， 求解该题具有代表性， 解该题的过程， 就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式 设采样周期为T (1)Ha(s)的极点为 s1=－a+jb, s2=－a－jb将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以套用教材（6.3.4）式， 得到按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。
由于两个极点共轭对称， 所以将H(z)的两项通分并化简整理， 可得 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章这样， 如果遇到将用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时， 直接套用上面的公式即可， 且对应结构图中无复数乘法器， 便于工程实际中实现 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章(2)Ha(s)的极点为 s1=－a+jb, s2=－a－jb将Ha(s)部分分式展开： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章套用教材（6.3.4）式， 得到 通分并化简整理， 得到 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 5． 已知模拟滤波器的系统函数如下： (1)(2)试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器 设T=2 s 解解: Ⅰ. 用脉冲响应不变法(1) 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s)的极点为 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章将T=2代入上式， 得 方法二 直接套用4题（2）所得公式。
为了套用公式， 先对Ha(s)的分母配方， 将Ha(s)化成4题中的标准形式： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章c为一常数由于所以 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章对比可知， ， 套用公式， 得(2) 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章或通分合并两项得 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 Ⅱ． 用双线性变换法（1） 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章(2) 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 6． 设ha(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应， 即≥用脉冲响应不变法， 将此模拟滤波器转换成数字滤波器（用h(n)表示单位脉冲响应， 即 h(n)=ha(nT)） 确定系统函数H(z)， 并把T作为参数， 证明： T为任何值时， 数字滤波器是稳定的， 并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章解解: 模拟滤波器系统函数为Ha(s)的极点s1=－0.9， 故数字滤波器的系统函数应为H(z)的极点为 z1=e－0.9T, |z1|=e－0.9T 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章题6解图所以， T>0时， |z1|<1， H(z)满足因果稳定条件。
对T=1和T=0.5， 画出H(ejω)曲线如题6解图实线和虚线所示 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 由图可见， 该数字滤波器近似为低通滤波器 且T越小， 滤波器频率混叠越小， 滤波特性越好（即选择性越好） 反之，T越大， 极点 离单位圆越远， 选择性越差， 而且频率混叠越严重， ω=π附近衰减越小， 使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性 7． 假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器， 又知 ， 数字滤波器H(z)的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因 （1） ω=0（低通） （2） ω=π（高通） （3） 除0或π以外的某一频率（带通） 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 解 解： 方法一 按题意可写出故即原模拟低通滤波器以Ω=0为通带中心， 由上式可知， Ω=0时， 对应于ω=π， 故答案为(2) 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 方法二 找出对应于Ω=0的数字频率ω的对应值即可 令z=1， 对应于ejω=1， 应有ω=0， 则对应的不是模拟低通中心频率， 所以， 答案（1）即ω=0（低通）不对。
令z=－1， 对应于ejω=－1， 应有ω=π， 则即将Ω=0映射到ω=π处， 所以答案为(2) 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 方法三 直接根据双线性变换法设计公式及模拟滤波器由低通到高通频率变换公式求解 双线性变换设计公式为当T=2时， 则H(z)亦为低通 如果将Ha(s)变换为高通滤波器： ， 这时，如果Ha(s)为低通， 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章则可将Hah(s)用双线性变换法变成数字高通； 这正是题中所给变换关系，所以数字滤波器通带中心位于ω=π， 故答案（2）正确 8． 题8图是由RC组成的模拟滤波器， 写出其系统函数Ha(s)， 并选用一种合适的转换方法， 将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)， 最后画出网络结构图 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章题 8 图 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章解解: 模拟RC滤波网络的频率响应函数为显然， Ha(jΩ)具有高通特性， 用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混叠失真 所以应选用双线性变换法 将Ha(jΩ)中的jΩ用s代替， 可得到RC滤波网络的系统函数： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章用双线性变换法设计公式, 可得H(z)的结构图如题8解图所示。
无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章题8解图 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 由图可见， 在模拟域由一个R和一个C组成的RC滤波网络， 用双线性变换法转换成数字滤波器后， 用两个乘法器、 两个加法器和一个单位延迟器实现其数字滤波功能 也可用软件实现该数字滤波功能 由滤波器差分方程编写程序较容易 为此， 由H(z)求出差分方程 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章编程序实现差分方程中的计算， 即可实现对输入信号序列x(n)的高通滤波 9． 设计低通数字滤波器， 要求通带内频率低于0.2π rad时， 容许幅度误差在1 dB之内； 频率在0.3π到π之间的阻带衰减大于10 dB 试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计， 用脉冲响应不变法进行转换， 采样间隔T=1 ms 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 解解: 本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计， 所以， 由巴特沃斯滤波器的单调下降特性， 数字滤波器指标描述如下： ωp=0.2 π rad, αp=1 dB ωs=0.3 π rad, αs=10 dB 采用脉冲响应不变法转换， 所以， 相应的模拟低通巴特沃斯滤波器指标为 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (1) 求滤波器阶数N及归一化系统函数G(p)： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章取N=5。
查教材6.1节的表6.2.1(第157页)， 可知模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为将G(p)部分分式展开： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章其中， 系数为A0=－0.1382+j0.4253, A1=－0.8091－j1.1135, A2=1.8947A3=－0.8091+j1.1135, A4=－0.1382－j0.4253 (2) 去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s) 我们希望阻带指标刚好， 让通带指标留有富裕量， 所以按教材（6.2.20）式求3 dB截止频率Ωc为 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章其中, Bk=ΩcAk, sk=Ωcpk (3) 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z): 我们知道， 脉冲响应不变法的主要缺点是存在的频率混叠失真， 使设计的滤波器阻带指标变差 另外， 由该题的设计过程可见 当N较大时， 部分分式展开求解系数Ak或Bk相当困难， 所以实际工作中用得很少， 主要采用双线性变换法设计， 见第10题 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 10． 要求同题9， 试采用双线性变换法设计数字低通滤波器。
解: 已知条件如下： 数字滤波器指标： ωp=0.2π rad, αp=1 dB ωs=0.3π rad, αs=10 dB 采用双线性变换法， 所以要进行预畸变校正， 确定相应的模拟滤波器指标（为了计算方便， 取T=1 s）： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (1) 求相应模拟滤波器阶数N： 其中， ksp与题9相同（因为αp、 αs相同）， 即 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (2) 查教材表6.2.1， 得 (3) 去归一化， 求出Ha(s)： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (4) 用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z)： 请读者按T=1 ms进行设计， 比较设计结果 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 11． 设计一个数字高通滤波器， 要求通带截止频率ωp=0.8π rad， 通带衰减不大于3 dB，阻带截止频率ωs=0.5π rad， 阻带衰减不小于18 dB 希望采用巴特沃斯型滤波器 解: （1） 确定数字高通滤波器技术指标： ωp=0.8π rad, αp=3 dB ωs=0.5π rad, αs=18 dB （2） 确定相应模拟高通滤波器技术指标。
由于设计的是高通数字滤波器， 所以应选用双线性变换法， 因此进行预畸变校正求模拟高通边界频率（假定采样间隔T=2 s）： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (3) 将高通滤波器指标转换成归一化模拟低通指标 套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式②, λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到低通归一化边界频率为（本题Ωp=Ωc） λp=1, αp=3 dB 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (4) 设计归一化低通G(p)： 查教材表6.2.1， 得归一化低通G(p)为 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (5) 频率变换， 求模拟高通Ha(s)：(6) 用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z)： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 12． 设计一个数字带通滤波器， 通带范围为0.25 π rad到0.45π rad， 通带内最大衰减为3 dB， 0.15 π rad以下和0.55 π rad以上为阻带， 阻带内最小衰减为15 dB 要求采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。
解: （1） 确定数字带通滤波器技术指标： ωpl=0.25π rad, ωpu=0.45π rad ωsl=0.15π rad, ωsu=0.55π rad 通带内最大衰减αp=3 dB， 阻带内最小衰减αs=15 dB (2) 采用双线性变换法， 确定相应模拟滤波器的技术指标 为计算简单， 设T=2 s 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章通带中心频率 通带宽度 BW=Ωpu－Ωpl=0.4399 rad/s ΩplΩpu=0.8541×0.4142=0.3538, ΩslΩsu=0.2401×1.1708=0.2811因为ΩplΩpu>ΩslΩsu， 所以不满足教材（6.2.56）式 按照教材（6.2.57）式, 增大Ωsl， 则 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章采用修正后的 设计巴特沃斯模拟带通滤波器 (3) 将带通指标转换成归一化低通指标 套用图5.1.5中带通到低通频率转换公式③， 求归一化低通边界频率： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章(4) 设计模拟归一化低通G(p)：取N=3。
无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章查教材表6.2.1， 得到归一化低通系统函数G(p)： (5) 频率变换， 将G(p)转换成模拟带通Ha(s)： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (6) 用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)： 以上繁杂的设计过程和计算， 可以用下面几行程序ex612.m实现 程序运行结果如题12解图所示 得到的系统函数系数为 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 B =［ 0.0234 0 －0.0703 0 0.0703 0 －0.0234］ A= ［1.0000 －2.2100 3.2972 －2.9932 2.0758 －0.8495 0.2406］与手算结果有差别， 这一般是由手算过程中可能产生的计算误差造成的 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 %程序ex612.m wp=［0.25， 0.45］； ws=［0.15， 0.55］； Rp=3； As=15； %设置带通数字滤波器指标参数 ［N， wc］=buttord(wp， ws， Rp， As)； %计算带通滤波器阶数N和3 dB截止频率Wc ［B， A］=butter(N， wc)； %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向 量A和B myplot(B， A)； %调用自编绘图函数myplot绘制带通滤波器的损耗函 数曲线 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章题12解图 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 教材第教材第7章习题与上机题解答章习题与上机题解答 1． 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： （1） h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 （2） h(n)长度N=7 h(0)=－ h(6)=3 h(1)=－ h(5)=－ 2 h(2)=－h(4)=1 h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。
有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1－n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性： 由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于ω=π点奇对称 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： 由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于ω=0, π, 2π三点奇对称 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 2． 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)~Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点， 求其余7个频域幅度采样值 解解： 因为N=16是偶数（情况2）， 所以FIR滤波器幅度特性Hg(ω)关于ω=π点奇对称， 即Hg(2π－ω)=－Hg(ω) 其N点采样关于k=N/2点奇对称， 即 Hg(N－k)=－Hg(k) k=1, 2, …, 15综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=－Hg(1)=－8.34， Hg(14)=－Hg(2)=－3.79， Hg(13)~Hg(9)=0 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 3． 设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数。
解解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N－1－n) N=5所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性 频率响应函数H(ejω)为所以其单位脉冲响应为 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章幅度特性函数为 相位特性函数为 4． 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过π/8 rad 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章≤≤≤ （1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定α与N之间的关系； （3） 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响 解: （1） 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （2） 为了满足线性相位条件， 要求 ， N为矩形窗函数长度 因为要求过渡带宽度Δβ≤ rad, 所以要求 , 求解得到N≥32。
加矩形窗函数, 得到h(n)： ≤≤≤ 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （3） N取奇数时， 幅度特性函数Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称， 可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg(ω)关于ω=π奇对称， 即Hg(π)=0， 所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性 5． 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器， 要求过渡带宽度不超过π/10 rad 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为≤≤ 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定α与N的关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？ 解解: （1） 直接用IFT［Hd(ejω)］计算： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章hd(n)表达式中第2项 正好是截止频率为ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应 而δ(n－α)对应于一个线性相位全通滤波器： Hdap(ejω)=e－jωα即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。
（2） 用N表示h(n)的长度， 则h(n)=hd(n)RN(n)= 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章为了满足线性相位条件： h(n)=h(N－1－n)要求满足 （3） N必须取奇数 因为N为偶数时（情况2）， H(ejπ)=0， 不能实现高通 根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足： , 即N≥40 取N=41≤ 6． 理想带通特性为≤≤≤≤ 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （1） 求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式， 确定N与α之间的关系； （3） 要求过渡带宽度不超过π/16 rad N的取值是否有限制？为什么？ 解解: （1） 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章上式第一项和第二项分别为截止频率ωc+B和ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应 所以， 上面hd(n)的表达式说明， 带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现 （2） h(n)=hd(n)w(n)为了满足线性相位条件， α与N应满足 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 实质上， 即使不要求具有线性相位， α与N也应满足该关系， 只有这样， 才能截取hd(n)的主要能量部分， 使引起的逼近误差最小。
（3） N取奇数和偶数时， 均可实现带通滤波器 但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8π/N ， 所以， 要求 ， 即要求N≥128 7．． 试完成下面两题：试完成下面两题： （1） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ejω)， 另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n)， 它与h(n)的关系是h1(n)=(－1)nh(n) 试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器 ≤ 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （2） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ejω)， 截止频率为ωc, 另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n)， 它与h(n)的关系是h2(n)=2h(n)cosω0n， 且ωc<ω0<(π－ωc) 试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器 解解: （1） 由题意可知对h1(n)进行傅里叶变换, 得到 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 上式说明H1(ejω)就是H(ejω)平移±π的结果 由于H(ejω)为低通滤波器， 通带位于以ω=0为中心的附近邻域， 因而H1(ejω)的通带位于以ω=±π为中心的附近， 即h1(n)是一个高通滤波器。
有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为［π－ωc, π］）： ① 设计一个截止频率为ωc的低通滤波器hLp(n) ② 对hLp(n)乘以cos(πn)即可得到高通滤波器hHp(n) cos(πn)=(－1)nhLp(n) (2) 与(1)同样道理， 代入h2(n)=2h(n) cosω0n, 可得 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 因为低通滤波器H(ejω)通带中心位于ω=2kπ， 且H2(ejω)为H(ejω)左右平移ω0， 所以H2(ejω)的通带中心位于ω=2kπ±ω0处， 所以h2(n)具有带通特性 这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法 8． 题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列， N=8， 设 H1(k)=DFT［h1(n)］ k=0， 1， …， N－1 H2(k)=DFT［h2(n)］ k=0， 1， …， N －1 （1） 试确定H1(k)与 H2(k)的具体关系式。
| H1(k)|=| H2(k)|是否成立？为什么？ （2） 用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？ 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题8图 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解解： （1） 由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系： h2(n)=h1((n+4))8R8(n)由DFT的循环移位性质可得 (2) 由题8图可知， h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件： h1(n)=h1(N－1－n) h2(n)=h2(N－1－n) 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章所以， 用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位 直接计算FT［h1(n)］和［h2(n)］也可以得到同样的结论 设 所以， 群延时为 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 9． 对下面的每一种滤波器指标， 选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度 （1） 阻带衰减为20 dB， 过渡带宽度为1 kHz， 采样频率为12 kHz； （2） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为2 kHz， 采样频率为20 kHz； （3） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为500 Hz， 采样频率为5 kHz。
解解： 我们知道， 根据阻带最小衰减选择窗函数类型， 根据过渡带宽度计算窗函数长度 为了观察方便， 重写出教材第211页中表 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 结合本题要求和教材表， 选择结果如下： （1） 矩形窗满足本题要求 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=200π/12 000=π/60， 精确过渡带满足：1.8π/N≤π/60， 所以要求N≥1.8×60=108 （2） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=4000π/20 000=π/5， 精确过渡带满足： 6.6π/N≤π/5， 所以要求N≥6.6×5=33 （3） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=1000π/5000=π/5， 精确过渡带满足： 6.6π/N≤π/5， 所以要求N≥6.6×5=33 10． 利用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位FIR低通滤波器 要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率ωc= π/4 rad，N=21 求出分别对应的单位脉冲响应。
有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解 解: (1) 希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd(ejω)为≤≤≤其中, a=(N－1)/2=10 (2) 由Hd(ejω)求得hd(n)： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 (3) 加窗得到FIR滤波器单位脉冲响应h(n)： · 升余弦窗: 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章· 改进升余弦窗：· 布莱克曼窗: 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 11． 将技术要求改为设计线性相位高通滤波器， 重复题10 解解: 方法一 将题10解答中的逼近理想低通滤波器(Hd(ejω)、 hd(n))改为如下理想高通滤波器即可 ≤≤≤ 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 上式中δ(n－10)对应于全通滤波器 上式说明， 高通滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去低通滤波器的单位脉冲响应 仿照10题， 用矩形窗、 升余弦窗、 改进升余弦窗和布菜克曼窗对上面所求的hd(n)加窗即可 计算与绘图程序与题10解中类同， 只要将其中的h(n)用本题的高通h(n)替换即可。
方法二 根据第7题（1）的证明结论设计 （1） 先设计通带截止频率为π/4的低通滤波器 对四种窗函数所得FIR低通滤波器单位脉冲响应为题9解中的hR(n)、 hHn(n)、 hHm(n)和hBl(n) 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 (2) 对低通滤波器单位脉冲响应乘以cosπn可得到高通滤波器单位脉冲响应： · 矩形窗： · 升余弦窗： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章· 改进升余弦窗： · 布莱克曼窗： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题12图 12． 利用窗函数（哈明窗）法设计一数字微分器， 逼近题12图所示的理想微分器特性， 并绘出其幅频特性 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解解: (1) 由于连续信号存在微分， 而时域离散信号和数字信号的微分不存在， 因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器， 即用数字差分滤波器近似模拟微分器 下面先推导理想差分器的频率响应函数 设模拟微分器的输入和输出分别为x(t)和y(t)， 即令x(t)=ejΩt， 则 y(t)=jkΩeΩt=jkΩx(t)对上式两边采样（时域离散化）， 得到 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章其中ω=ΩT。
将x(nT)和y(nT)分别作为数字微分器的输入和输出序列， 并用Hd(ejω)表示数字理想微分器的频率响应函数， 则即 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章根据题12图所给出的理想特性可知所以应取k=T， 所以 Hd(ejω)=jω取群延时τ=(N－1)/2， 则逼近频率响应函数应为 Hd(ejω)=jωe－jωτ=ωe－j(ωτ－π/2) 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 设FIR滤波器h(n)长度为N， 一般取τ=(N－1)/2 加窗后得到我们知道， 微分器的幅度响应随频率增大线性上升， 当频率ω=π时达到最大值， 所以只有N为偶数的情况4才能满足全频带微分器的时域和频域要求 因为N是偶数， τ=N/2－1/2=正整数－1/2， 上式中第一项为0， 所以 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章① ①式就是用窗函数法设计的FIR数字微分器的单位脉冲响应的通用表达式， 且具有奇对称特性h(n)= －h(N－1－n) 选定滤波器长度N和窗函数类型， 就可以直接按①式得到设计结果。
当然， 也可以用频率采样法和等波纹最佳逼近法设计 本题要求的哈明窗函数： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章②将②式代入①式得到h(n)的表达式：③ (2) 对3种不同的长度N=20，40和41，用MATLAB计算单位脉冲响应h(n)和幅频特性函数，并绘图的程序ex712.m如下： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 %ex712.m： 用哈明窗设计线性相位FIR微分器 clear all； close all； N1=20； n=0： N1－1； tou=(N1－1)/2； h1n=sin((n－tou)*pi)./(pi*(n-tou).∧2).*(hamming(N1))′； N2=40； n=0： N2－1； tou=(N2－1)/2； h2n=sin((n－tou)*pi)./(pi*(n-tou).∧2).*(hamming(N2))′； N3=41； n=0： N3－1； tou=(N3－1)/2； h3n=sin((n－tou)*pi)./(pi*(n－tou).∧2).*(hamming(N3))′; h3n((N3－1)/2+1)=0； %因为该点分母为零， 无定义， 所以赋值0 %以下为绘图部分（省略） 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 程序运行结果即数字微分器的单位脉冲响应和幅频特性函数曲线如题12解图所示。
由图可见， 当滤波器长度N为偶数时， 逼近效果好 但N=奇数时（本程序中N=41）， 逼近误差很大 这一结论与教材给出的理论一致（对第二类线性相位滤波器， N=奇数时不能实现高通滤波特性） 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题12解图 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 也可以采用调用等波纹最佳逼近法设计函数remez来设计FIR数字微分器的方法 hn=remez(N－1， f， m， ′defferentiator′) 设计N－1阶FIR数字微分器， 返回的单位脉冲响应向量hn具有奇对称特性 在大多数工程实际中， 仅要求在频率区间0≤ω≤ωp上逼近理想微分器的频率响应特性， 而在区间ωp<ω≤π上频率响应特性不作要求， 或要求为零 对微分器设计， 在区间ωp<ω≤π上频率响应特性要求为零时， 调用参数f=［0, ωp/π, (ωp+B)/π, 1］， m=［0,ωp/π, 0, 0］， 其中B为过渡带宽度（即无关区）， ωp不能太靠近π， B也不能太小， 否则设计可能失败 调用等波纹最佳逼近法设计函数remez设计本题要求的FIR数字微分器的程序ex712b.m如下： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 % ex712b.m： 调用remez函数设计FIR微分器 Wp=0.9； B=0.09； %设置微分器边界频率（关于π归一化） N=40； f=［0，wp，wp+B，1］；m=［0，wp，0, 0］； hn=remez(N-1， f， m， ′defferentiator′)； %调用remez函数设计FIR微分器 %以下为绘图部分（省略） 请读者运行该程序， 观察设计效果。
有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 13. 用窗函数法设计一个线性相位低通FIRDF， 要求通带截止频率为π/4 rad， 过渡带宽度为8π/51 rad， 阻带最小衰减为45 dB （1） 选择合适的窗函数及其长度， 求出h(n)的表达式 （2*） 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线 解： （1） 根据教材节所给步骤进行设计 ① 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求， 选择窗函数的类型， 并估计窗口长度N 由习题9中教材表， 本题应选择哈明窗 因为过渡带宽度Bt=8π/51， 所以窗口长度N为N≥6.6π/Bt=42.075， 取N=43 窗函数表达式为 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章② 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ejω):≤≤≤式中 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章③ 求hd(n):④ 加窗: 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （2） 调用MATLAB函数设计及绘图程序ex713.m如下： %ex713.m： 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图 wp=pi/4； Bt=8*pi/51； wc=wp+Bt/2； N=ceil(6.6*pi/Bt)； hmn=fir1(N-1， wc/pi， hamming(N)) rs=60； a=1； mpplot(hmn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线 程序运行结果即 损耗函数和相频特性曲线如题13解图所示， 请读者运行程序查看h(n)的数据。
有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题13解图 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 14. 要求用数字低通滤波器对模拟信号进行滤波， 要求： 通带截止频率为10 kHz， 阻带截止频率为22 kHz， 阻带最小衰减为75 dB， 采样频率为Fs=50 kHz 用窗函数法设计数字低通滤波器 （1） 选择合适的窗函数及其长度， 求出h(n)的表达式 （2*） 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线 解解： （1） 根据教材节所给步骤进行设计 ① 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求， 选择窗函数的类型， 并估计窗口长度N 本题要求设计的FIRDF指标： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章通带截止频率： 阻带截止频率： 阻带最小衰减： αs=75 dB 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章由习题9中教材表可知， 本题应选凯塞窗(β=7.865) 窗口长度N≥10π/Bt=10π/(ωs－ωp)=20.833， 取N=21 窗函数表达式为，β=7.865② 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ejω): 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章③ 求hd(n):④ 加窗: 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （2） 调用MATLAB函数设计及绘图程序ex714.m如下： %ex714.m： 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图 Fs=50000； fp=10000； fs=22000； rs=75； wp=2*pi*fp/Fs； ws=2*pi*fs/Fs； Bt=ws-wp； wc=(wp+ws)/2； N=ceil(10*pi/Bt)； hmn=fir1(N-1， wc/pi， kaiser(N， 7.865))； rs=100； a=1； mpplot(hmn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线 程序运行结果即损耗函数和相频特性曲线如题14解图所示， 请读者运行程序查看h(n)的数据。
有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题14解图 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 15． 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器， 给定N=21， 通带截止频率ωc=0.15π rad 求出h(n)， 为了改善其频率响应（过渡带宽度、 阻带最小衰减）， 应采取什么措施？ 解解: (1) 确定希望逼近的理想低通滤波频率响应函数Hd(ejω)： ≤≤≤ 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章其中, a=(N－1)/2=10 ② 采样： ≤≤ 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 ③ 求h(n)： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章因为所以 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 损耗函数曲线绘图程序ex715.m如下： %程序ex715.m N=21； n=0： N-1； hn=(1+2*cos(2*pi*(n-10)/N))/N； rs=20； a=1； mpplot(hn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线 运行程序绘制损耗函数曲线如题15解图所示， 请读者运行程序查看hn的数据。
为了改善阻带衰减和通带波纹， 应加过渡带采样点， 为了使边界频率更精确， 过渡带更窄， 应加大采样点数N 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题15解图 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 16． 重复题15， 但改为用矩形窗函数法设计 将设计结果与题15进行比较 解： 直接调用fir1设计， 程序为ex716.m %调用fir1求解16题的程序ex716.m N=21； wc=0.15； hn=fir1(N-1， wc， boxcar(N))； %选用矩形窗函数(与上面求解中相同) rs=20； a=1； mpplot(hn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线 运行程序绘制损耗函数曲线如题16解图所示 与题15解图比较， 过渡带宽度相同， 但矩形窗函数法设计的FIRDF阻带最小衰减约为20 dB， 而15题设计结果约为16 dB 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题16解图 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 17． 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器， 设N=16， 给定希望逼近的滤波器的幅度采样值为 解解: 由希望逼近的滤波器幅度采样Hdg(k)可构造出Hd(ejω)的采样Hd(k)： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 18． 利用频率采样法设计线性相位FIR带通滤波器， 设N=33， 理想幅度特性Hd(ω)如题18图所示。
题18图 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解 解: 由题18图可得到理想幅度采样值为 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 。