第四讲 几何综合（一）教学目标1. 熟练运用直线型面积的各种模型2. 熟练掌握平面图形中的割补、旋转、平移、差不变等各种方法3. 针对勾股定理、弦图等特定方法熟练应用知识精讲板块一、割补思想【例 1】 如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形的面积是4平方厘米，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【解析】 取AB、CD AE的中点，BC的三等分点进行连接，可以把长方形分割成如下图所示，由于取得点都是等分点，分割后7个小正方形的面积都是4平方厘米，10个小等腰直角三角形的面积都是2平方厘米，可以看出长方形ABCD 的面积等于：7×4+10×2=48(平方厘米)．【例 2】 如图，正方形的边长是，，分别是和的中点，求四边形的面积． 【解析】 如图，利用割补法，原正方形面积等于个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是，而阴影部分面积等于个小正方形面积，所以也是．【例 3】 如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长厘米、下底长厘米的等腰梯形(阴影部分).求这个梯形的面积.【解析】 因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积.可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑.将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形，图中阴影部分是边长厘米与边长厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的倍.所以所求梯形面积是【例 4】 用四个相同的等腰直角三角板，相互重叠着拼成右上图所示的正方形，求阴影正方形的面积.【解析】 连接可知等腰三角形的面积为阴影正方形面积的四分之一，等腰三角形的面为：，所以阴影正方形的面积为：【巩固】在图中，三角形和是两个完全相同的等腰直角三角形，其中长厘米，长厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?图(a) 图(b)【解析】 方法一：如图(a)，将原题中图形分为个完全一样的小等腰三角形．占有个小等腰三角形，其中阴影部分占有个小等腰三角形，(平方厘米)，所以阴影部分的面积为(平方厘米)．方法二：如图(b)，连接，有四边形为正方形，易知(厘米)，所以(厘米)，于是. 而四边形为长方形，有(厘米)，(厘米)，所以．阴影部分面积为与长方形的面积和，即为(平方厘米)．【例 5】 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【解析】 阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴ 割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的，所以原题阴影部分占整个图形面积的.⑵ 拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的.⑶ 等分法将原图等分成个小三角形(见右上图)，阴影部分占个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的.注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.【例 6】 长方形的周长是厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为平方厘米，那么长方形的面积是多少平方厘米？【解析】 从图形我们可以看出，的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形周长的一半，可以看出若以和为边能构成大正方形(如右下图所示)，其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是平方厘米的一半．这样我们容易求出：大正方形的边长为厘米，面积为：平方厘米，正方形与正方形的面积之和为：(平方厘米)．长方形与长方形的面积相等．所以，长方形的面积为：(平方厘米)．【例 7】 有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？【解析】 如下图左所示，S阴①．S阴①．如下图中所示，此时斜放的正方形面积为，阴②．阴②如图右所示，此时外面正方形面积为，图中阴③所以，图中阴影部分总面积为：阴②阴③．【例 8】 如图(a)是常见的一副七巧板的图，图(b)是用这副七巧板的块板拼成的小房子图，那么，第块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第块板与第块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【解析】 设整个七巧板组成的正方形的边长为，显然整幅图形的面积为，在图(a)中找出图(b)中相应的图形，有，，有、、、、五块图形的面积之和为，所以，．所以第块板的面积等于整幅图面积的，第块板与第块板面积和为整幅图面积的．【巩固】(2008年第六届“希望杯”五年级第二试)如图 ()，是一个长方形，其中阴影部分是由一副面积为平方厘米的七巧板(图())拼成．那么，长方形的面积是多少平方厘米？ 图a 图b【解析】 设右边的正方形的对角线长为，根据勾股定理，．左边的长方形，宽等于右边的图形中正方形④的边长和三角形①的直角边长之和，长等于右边的图形中正方形④的边长与三角形①的直角边长及三角形③的直角边长的倍之和．从右图中可以看出，三角形①的直角边长为，正方形④的边长和三角形③的直角边长均为，所以，，，长方形的面积为：(平方厘米)．【巩固】如图，正方形硬纸片的每边长厘米，点、分别是、的中点，现沿图(a)中的虚线剪开，拼成图(b)所示的一座“小别墅”，则图(b)中阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】 对比两个图形易知，图(b)中阴影部分的面积是正方形面积的，即(平方厘米)【例 9】 (第五届“走进美妙的数学花园”决赛)一个长方形和一个等腰直角三角形如左下图放置，图中六块的面积分别为1，1，1，1，2，3．大长方形的面积是 ． 【解析】 (法一)易知，图中除了面积为3的长方形外，其他的三角形都是等腰直角三角形，其中如果将面积为2的等腰直角三角形沿高线切开后，就分为两个面积为1的等腰直角三角形，此时就能看出图中大长方形除开面积为3的那部分后，剩下的那部分的长方形的长宽比为，宽恰好为面积为1的等腰直角三角形直角边长的两倍，所以这一部分的长方形的面积为，所以大长方形的面积为．(法二)如右上图添加几条辅助线后便一目了然，大长方形面积为：．【例 10】 （2008年“迎春杯”初试五年级)一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是2、8、58，则④、⑤这两块的面积差是 ． 【解析】 由于②的面积是①的4倍，所以可以把②分成4倍的①，而两个①为一个方格，一个方格的面积为．根据，则①与③一共是(格)，所以①与③是的长方形．所以正方形边长是①的直角边长的5倍，等腰直角三角形直角边长是①的直角边长的7倍，则④的格数为8格，⑤的格数为10格，④、⑤这两块的面积差是(格)，1格的面积为4，所以④、⑤这两块的面积差为．（本题还有利用等腰直角三角形来解析）【巩固】(2008年“迎春杯”初试六年级)一个等腰直角三角形和一个正方形如左下图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为．那么，④、⑤这两块的面积比是 ．【解析】 如图右上图：， ，，，，又，，，．【例 11】 如图，，请求出和的度数． 【解析】 如图，将图形补全，下面是一个正方形，上面是一个正三角形．由于是等腰三角形，所以(等腰三角形的性质)，又三角形内角和为，所以，得到，所以，．点评：在初中求角度的几何问题中，“割补法”再一次展示了它的魅力．这样一类问题意在培养学生熟练掌握和应用基本的几何定律，以严谨的思维进行几何说明，为学习全等三角形和相似三角形的判定定理埋下伏笔．【例 12】 如图，把边长为的等边三角形剪成部分，从三角形顶点往下处呈角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边三角形．问：所有阴影部分的面积是中间小等边三角形的面积的几倍？【解析】 (法1)如图，将剪刀剪出的3条线分别向外延长，与原正三角形的边的延长线相交，形成3个顶角为的等腰三角形．再将中间的小正三角形也分成3个顶角为的等腰三角形．由于是一个等腰三角形的腰，也是一个等腰三角形的腰，而这两个等腰三角形是全等的，所以和相等，那么和也相等．所以，中间的小正三角形所分成的3个顶角为的等腰三角形，与三个角上的小等腰三角形是全等的．由于一个腰长为，顶角为的等腰三角形和一个边长为的等边三角形的面积相等(设为)，所以中间小正三角形的面积为，而边长为的等边三角形的面积为，则阴影部分的面积为，所以阴影部分面积是空白小三角形面积的(倍)．(法)将大三角形分成边长的小等边三角形即可求解． 大三角形中包含个小等边三角形，空白三角形包含个小等边三角形．所以阴影部分面积是空白小三角形面积的(倍)．板块二、旋转平移思想【例 13】 已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？ 【解析】 图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形面积的一半． (平方厘米)【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面积为，最小的正方形的边长为多少厘米？ 【解析】 如右图所示，把、、依次放到、、的位置．则的面积为．所处的小正方形的面积为．故小正方形的边长为．【例 14】 如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．【例 15】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？ 【解析】 如图所示，将道路平移后的（16-2）×（10-2）=112．【例 16】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积． 【解析】 如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为，所以阴影小三角形的顶角等于，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为平方厘米．【例 17】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积． 【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：【例 18】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点为中心转动一个正方形．当厘米，厘米，厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)． 【解析】 右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图。