* ”⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解 其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解可以用能量法（如 瑞利一里兹法，伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段， 用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜 应变，从而产生薄膜应力如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力 会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后 强度⑷按照小挠度理论分析只能得到板的分岔屈曲荷载，而按照有限挠度理论，或称为大挠度理 论分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度6.1小挠度理论板的弹性曲面微分方程等厚度薄板的坐标系如图6.1（a）所示，板厚1/2平面，即xy平面为板的中面从板中任取 一微元体dxdydz，在每一个面上作用的正应力和剪应力见图6.1 （b）b)图6.1薄板的坐标系及微元体上的应力, 8①八,由& = = 0得z cz6.1.1采用小挠度理论的三个假定(1)垂直于中面方向的正应变l极微小，可以忽略。
取£ = 0,①=①(x, y )上式说明板的任何一点的挠度①只与坐标x和y有关，即在中面的任何一根法线上，薄板全厚 度内的所有各点具有相同的挠度2)应力分量^、t和T远小于b、q和T ，因此可以忽略不计它们产生的正应变Z zx zy x y x^y£ z、剪应变Y 和Y .因为不计Tzx、Tzy引起的剪应变，贝g瓦伽一az+ +揶-axaC一ay= =xy乙 Z从而得Cv & =— Cz CyCuCz Cx因为不计Q引起的正应变，则由物理方程有—C 一 呻)E x y1 ( )E v - ^c /Yxy2(1 + 口)TE xy由上式可见，薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同，即薄板小挠 度弯曲问题可简化为平面应力问题3)薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变，即CV = 0，Y ICy xy z=0说明中面的任意一部分虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy平面上的投影形状保持不变£x z=0来=0，£ ICx y z=0Cv Cu 八 =—+ ——=0Cx Cy6.1.2弹性曲面微分方程薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解，薄板的挠度«为基本未知函数，根据几何方程，物 理方程和力的平衡关系，将其它物理量都用①表示，就可以建立小挠度理论板的弹性曲面微分 方程［22］就图6.2所示微面元dxdy，可以得到C 2必 C 2必 C 2必 =N 瓦?+2 Nxy CxCy r 祁(6.1)‘C 4① C 4① C 4①'^云 + Cx 2 Cy 2 +宥，式中D = 12《3 2)——板的抗弯刚度;图6.2微面元的中面力分布N、N ——板中面沿1、y轴方向单位长度上的应力； x yN——板中面单位长度上的剪力。
板在各种中面力（N、N和N ）作用下，其失稳为分岔失稳板的弹性曲面微分方程x y xy属二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想的矩形板可以直接求出其分岔失稳荷载外, 对其他受力条件和边界条件的板用平衡法很难直接求解，经常采用能量法或数值法求解6.1.3单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载xy-N 四=0X 3x2图6.3所示单向（X向）均匀受压四边简支板，N = N =°,式（6.1）变为 y办2世2 + 2 + 6x4边界条件x = a 时,当 y = 0、y = b 时,邑=0Mo世2符合这些边界条件的板的挠曲面可用二重三角级数表示(6.2)w . mnx . mtyco = A sm sm 'mnm=l n-\/I E= 7 点m — — 1图6.3均匀受压简支板式中m、n分别为板失稳时在%和y方向的半波数，m e N , n e N，而A^为待定常数将 式（6.2）代入式（6.1）得到食° Amn m=1 n=1m 4 兀 4 2 m 2 n 2 兀 4 n 4 兀 4 N m 2 兀 2a 4 a 2 b 2 b 4 D a 2.mm . nny 八sin sin = 0a b（6.3）满足式（6.3）无穷项之和恒为零的唯一条件是每一项系数中括弧内的式子为零，即板的失稳条 件为（6.4）m 4 兀 4 * 2 m 2 n 2 兀 4 + n 4 兀 4 N m 2 兀 2 oa 4 a 2 b 2 b 4 D a 2或（6.5）由于临界荷载应是板保持微弯状态的最小荷载，因而取n = 1，则v 兀 2a2D (m2 1 )2%，cr m 2 l 脱 + 房 /（6.6）式中k为屈曲系数，且（6.7）其中P = ab由牛=0，即2似+ -T1 +旦卜0解出m = P，代入式（6.7）得k . = 4， dm "。
mJ"m 2 J min之间关系见图6.4，由式（6.6）可得最小临界荷载兀 2 D , 、min N = 4 — （6.8）当m = a/b是整数，代入式（6.6）才可得到式（6.8）；如果ab不是整数，则计算屈曲荷载 的m应取与比值a/b接近且使N % r较小的整数根据式（6.6）可求板的屈曲应力(6.9)图6.4板件屈曲系数（四边简支板）由式（6.9）可知，均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比G；'t）的平方成反比，而与板的长度 无关这与轴心受压构件的屈曲应力是不同的，它与构件长细比人的平方成反比，当构件截面尺 寸一定时，它与构件长度的平方成反比6.2能量法计算板的弹性失稳荷载板在微弯状态时的总势能n是板的应变能u和外力势能V之和，即 n = u + V式中2 - 2(L - p)a 2① a 2① x ax 2 ay 2\dxd-y )>dxdydya® a①+ 2 N ——x——xy ax dydxdy(6.10)(6.11)6.2.1瑞利一里兹法瑞利一里兹法求解板的失稳荷载时要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件假定挠曲 面函数为①=空 8 A 甲（x, y） （6.12）m=1 n =1将式（6.12 ）代入板总势能n的计算公式，积分后利用势能驻值原理，建立线性代数方程组也=0dA也=0dA12国=0dAmn方程组（6.13）有非零解的条件是系数行列式为零，则得到板的屈曲方程， 荷载。
6.13)可求出板的屈曲【例题6.1】用瑞利一里兹法求解图6.5所示单向均匀受压矩形板的屈曲荷载板的两个加 载边和一个非加载边简支，另一非加载边自由［解］:图6.5均匀受压三边简支一边自由板因为Py = Pxy = 0，则由式（6.10）、式（6.11）可得板的总势能表达式 n =号 Ja Jb^ d 20 d2o)2 Jd^ /-2(1 -d 2① d 2① X dx 2 dy 2>dxdy-1 J a "2 0 0 假定板的挠曲面函数dodx2dxdym冗x①=Ay sin a可验证符合几何边界条件:a时，①=0①=0①0将式（2）代入式（1），积分后得n = da 22 a 2 +6a 2p - m2 兀2 sA 2 x ab 312 a 2由势能驻值原理蚩=’得因为A丰0 ,所以Dm 2兀 2 b m 2兀 2 b 2+G -日) a2m 2' 2 b 3 I 八-Px-^[ = 0竺冬+ 6（1 -Q令m = 1,可得px的最小值Px ,cr式中屈曲系数k=三|1 + 6（1 -旦）"'兀2,若R = 0.3代入，则k = 0.425 + b 2;a 2当a >> b时k = 0.425通过计算可知，在X和y方向该板都是以一个半波发生凸曲。
6.2.2迦辽金法已知板的平衡偏微分方程为房）=0若符合板的几何和自然边界条件的挠曲面函数为(6.14)则可建立迦辽金方程组①=乎A甲(x, y)i ii =1(6.15)』小乙妇由(x, y hxdy = 0口 pL^Ip (x, y)lxdy = 00 0 2J小 lCo^P (x, y )dxdy = 0(6.16)方程组⑶6）积分后，可以得到对％ A 2……气的线性方程组，为保证气有非零解，系 数行列式必为零，则得到板的屈曲方程，由此解出屈曲荷载例题6.2】 用迦辽金方法求解图6.6所示单向均匀受压板的屈曲荷载板的两加载边简支，两非加载边固定［解］:板的平衡微分方程r（ ） J84① 84① 84①） 82①=l^aXT + 8x28y2 +祠）Px 右- "假定挠曲面函数« = A sin m^ sin2 Ca b可以验证此函数符合几何边界条件当 X = 0、a 时，3= 0伽 -也符合力学边界条件当 y = 0、b 时，3= 0 , — = 0合23 d 23 八当 x = 0、a 时，~Q = ~ = 0则建立迦辽金方程积分后得到』a"（3）sinmx・ sin2兀 2 D ( m 2 b 2 8 16a 2 ' + _ + b 2 " a 2 3 3m2b 2)由 m = 0得到m 2 =J== ‘代入式（4），得到Px的最小值Px ,cr兀2 D。