单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,‹#›,2,、二次型的表示方法,例,1,、将二次型,,,用矩阵表示3,、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，,就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对,称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二,次型与对称矩阵之间存在,一一对应,的关系．,解,例,2,4,、合同变换,设有一个可逆的线性变换，,定义,5.2.,,对于,n,阶矩阵,A,和,B,,如果存在,n,阶可逆矩阵,C,,使得,B=C,T,AC,,就称,A,合同于,B,,记作,A,≌,B,，对,A,进行运算称为对,A,进行合同变换,.,矩阵间的合同关系具有反身性,,,对称性,,,和传递性,.,定义,5.3,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形（或法式）．,为二次型的标准形,.,5.2,化二次型为标准型,例如,若标准形的系数只取,1,，,-1,，,0,，即,称为二次型的规范形,要使二次型 经可逆线性变换,x=Cy,化为标准形,,,就是要使,,因此，化二次型为标准形就是对于对称矩阵,A,寻找可逆矩阵,C,，使与,A,合同的矩阵,C,T,AC,为对角阵。
1,正交变换法,定理,5.1,,对于任一个,n,元二次型,总有正交变换,x=Py(P,为,n,阶正交矩阵），使,f(x,1,,x,2,,…,x,n,),化为标准形,常见的化二次型为标准形的方法,其中,λ,1,,,,λ,2,，,…,λ,n,是实对称矩阵,A,的特征值，,P,的,n,个列向量,p,1,,p,2,,…p,n,是,A,的对应于特征值,λ,1,,,λ,2,，,…,λ,n,的两两正交的单位特征向量,.,推论,5.1,,对于任一个,n,元二次型,总有可逆线性变换,x=Cz,，使,f(Cz),为规范形用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1,．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例,3,从而得特征值,2,．求特征向量,3,．将特征向量正交化,得正交向量组,4,．将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,2,配方法,例,5,、化二次型为标准形,,解：将 的项归并起来，得,令,经过可逆线性变换,,将二次型化为标准型：,例,5,、化二次型为标准形,,解,f,不含平方项，含有,x,1,,x,2,的乘积项，因此先用代换产生平方项,再配方，得,,则有,令,所求得可逆变换矩阵为,说明：用配方的方法化二次型为标准型方法：,1,）、若二次型不含平方项，仅含乘积项，先引入代换产生平方项后，再配方；,2,）、若二次型含平方项，集中含有平方项的某一个变量所有项的平方，对余下的变量同样进行配方作平方和。
注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是正交变换，因此标准型中平方项前的系数不一定是特征值化为标准型，并指出 表示何种二次,曲面,.,求一正交变换，将二次型,思考题,思考题解答,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标,准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，,显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形,中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．,下面我们限定所用的变换为,实变换,，来研究,二次型的标准形所具有的性质．,5.3,正定二次型,1,、惯性定理,,,,2,、正,(,负,),定二次型的概念,,,例如,为,正定二次型,为,负定二次型,证明,充分性,故,3,、正,(,负,),定二次型的判别,必要性,故,推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：,的特征值全为正,．,证毕,.,例,5,,判别二次型,是否正定,.,解,二次型的矩阵为,用,特征值判别法,.,故此二次型为正定二次型,.,即知 是正定矩阵,，,这个定理称为,霍尔维茨定理,．,定理,3,对称矩阵 为,正定,的,充分必要条件,是：,的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为,负定,的,充分必要条件,是：奇数阶主,子式为负，而偶数阶主子式为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质,例,6,,判别二次型,是否正定,.,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的,.,例,7,,判别二次型,的正定性,.,解,2.,,正定二次型,（,正定矩阵,）的判别方法：,(1),定义法；,(2),顺次主子式判别法；,(3),特征值判别法,.,四、小结,,1.,正定二次型的概念，正定二次型与正定,矩阵的区别与联系．,,3.,根据正定二次型的判别方法，可以得到,负定二次型,（,负定矩阵,）相应的判别方法，请大,家自己推导．,思考题,思考题解答,。