.第21讲 参数估计习题课教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计教学时数：2学时教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计 用各阶样本原点矩 作为各阶总体原点矩的估计,若有参数，则参数的矩估计为2. 最大似然估计似然函数，取对数，从=0中解得的最大似然估计3. 无偏性,有效性当时，称为的无偏估计 当时，称估计量比有效二 、典型例题解析1．设，求的矩估计解 设则=故，所以2. 设总体在上服从均匀分布，求a和b的矩估计解 由均匀分布的数学期望和方差知 （1） （2）由（1）解得，代入（2）得， 整理得，解得故得的矩估计为其中。
3．设总体的密度函数为，求的最大似然估计解 设，则4． 设总体的密度函数已知），求参数的最大似然估计解 解得 5. 设和为参数的两个独立的无偏估计量，且假定，求常数和，使为的无偏估计，并使方差最小解 由于,且知，故得c+d=1又由于并使其最小，即使，满足条件c+d=1的最小值令d=1-c，代入得，解得7. 设某电子元件的寿命服从正态分布，抽样检查10个元件，得样本均值，样本标准差求 (1) 总体均值置信水平为的置信区间； (2) 用作为的估计值，求绝对误差值不大于10（h）的概率解 (1)由于未知，s=14（h）,根据求置信区间的公式得 查表得，故总体均值置信水平为的置信区间为 (2) 1-0.05=0.958. 设为正态总体的一个样本，确定常数的值，使为的无偏估计解 由于，所以有 由（无偏性），故有，所以二、计算题窗体顶端1.某工厂生产滚珠.从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:mm)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 15.0 14.8 15.1 15.2 14.8用矩估计法估计该日生产的滚珠的平均直径和均方差.解. 设滚珠的直径为X, 平均直径为μ,均方差为σ. 由矩估计法可知 , 而 , ∴ . , 而 =0.03654, ∴ . 窗体底端窗体顶端2.设总体X的密度函数为 , 其中 (θ＞0), 求θ的极大似然估计量.解. 设(X1, X2,…, Xn)是来自X的一样本.由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为: , 上式两边取对数 , 似然方程为 , 解似然方程得θ的极大似然估计量是 .窗体底端窗体顶端3.设总体X的密度函数为 , 求α的极大似然估计量和矩估计量.解. 设(X1, X2,…, Xn)是来自X的样本. (1)由矩估计法, ∴ . 即参数α的矩估计量是 . (2) 由极大似然估计原理, 参数α的似然函数为 ,上式两边取对数 ,似然方程为 ,解似然方程得到参数α的极大似然估计量是 .1．设，求的矩估计。
解 设则=故，所以3. 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布P是该地区一块石子是石灰石的概率求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：λ的极大似然估计值为==0.499 4. 设X1，X1，…，Xn为总体的样本，求各未知参数的极大似然估计值和估计量（1） 其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数2） 其中θ>0，θ为未知参数解（1）似然函数 （解唯一故为极大似然估计量）（2）解唯一)故为极大似然估计量6. 设样本来自总体，如果要以99.7%的概率保证，试问样本容量n应取多大？解：现要求n,使 即，查表得，，所以n=219，即样本容量为2198. 设总体X具有分布律X123Pkθ22θ(1－θ)(1－θ) 2其中θ(0<θ<1)为未知参数已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
解：（1）求θ的矩估计值 则得到θ的矩估计值为（2）求θ的最大似然估计值似然函数 ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求导 得到唯一解为 .页脚. 。