第二节 系统构造模型化技术一、系统构造模型化根底（ 一 ） 构造分析的概念和意义任何系统都是由两个以上有机联系、相互作用的要素所组成的，具有特定功 能与构造的整体构造即组成系统诸要素之间相互关联的方式包括现代企业在 内的大规模复杂系统具有要素及其层次众多、构造复杂和社会性突出等特点在 研究和解决这类系统问题时，往往要通过建立系统的构造模型，进展系统的构造 分析，以求得对问题全面和本质的认识构造模型是定性表示系统构成要素以及它们之间存在着的本质上相互依赖、 相互制约和关联情况的模型构造模型化即建立系统构造模型的过程该过程注 重表现系统要素之间相互作用的性质，是系统认识、准确把握复杂问题，并对问 题建立数学模型、进展定量分析的根底阶层性是大规模复杂系统的根本特性， 在构造模型化过程中，对递阶构造的研究是一项重要工作构造分析是一个实现系统构造模型化并加以解释的过程其具体内容包括： 对系统目的 -- 功能的认识；系统构成要素的选取；对要素间的联系及其层次关系 的分析；系统整体构造确实定及其解释 系统构造模型化是构造分析的根本内容构造分析是系统分析的重要内容，是系统优化分析、设计与管理的根底尤 其是在分析与解决社会经济系统问题时，对系统构造的正确认识与描述更具有数 学模型和定量分析所无法替代的作用。
二 ） 系统构造的根本表达方式 系统的要素及其关系形成系统的特定构造在通常情况下，可采用集合、有向图 和矩阵等三种相互对应的方式来表达系统的某种构造1、系统构造的集合表达设系统由n（n > 2）个要素（S1 , S2,…，Sn）所组成，其集合为S,那么有：S={S1, S2,…，Sn}系统的诸多要素有机地联系在一起，并且一般都是以两个要素之间的二元关 系为根底的所谓二元关系是根据系统的性质和研究的目的所约定的一种需要讨 论的、存在于系统中的两个要素（Si、Sj）之间的关系Rij（简记为R）通常有影响 关系、因果关系、包含关系、隶属关系以及各种可以比拟的关系 （如大小、先后、轻重、优劣等)二元关系是构造分析中所要讨论的系统构成要素间的根本关系，一般有以下三种情形：Si与Sj间有某种二元关系R,即SiRSj ；Si与Sj间无某种二元关系R,即Si RSj ；Si与Sj间的某种二元关系R不明，即Si RSj在通常情况下，二元关系具有传递性，即：假设 SiRSj、SjRSk，那么有SiRSk(Si、Sj、Sk为系统的任意构成要素)传递性二元关系反映两个要素的间 接联系，可记作R (t为传递次数)，如何将SiRSk记作SiR2Sk。
有时，对系统的任意构成要素Si和Sj来说，既有SiRSj，又有SjRSi，这种相互 关联的二元关系叫强连接关系具有强连接关系的各要素之间存在替换性以系统要素集合S及二元关系的概念为根底，为便于表达所有要素间的关联 方式，我们把系统构成要素中满足其种二元关系 R的要素Si、Sj的要素对(Si，Sj)的集合，称为S上的二元关系集合，记作 Rb,即有：Rb={(Si,Sj)|Si 、Sj € S,SiRSj,i、j=1,2,…,n}且在一般情况下，(Si,Sj)和(Sj,Si)表示不同的要素对这样“要素Si和Sj之间是否具有某种二元关系 R',也就等价于“要素对(Si,Sj) 是否属于S上的二兀关系集合Rb"至此，我们就可以用系统的构成要素集合 S和在S上确定的某种二元关系集合Rb来共同表示系统的某种根本构造例4— 1某系统由七个要素(S1、S2、…S7)组成经过两两判断认为：S2影响S1、 S3影响S4 S4影响S5 S7影响S2、S4和S6相互影响这样，该系统的根本构 造可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中：S={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7} Rb={(S2,S1),(S3,S4),(S4,S5),(S7,S2),(S4,S6),(S6,S4)}图4—4例4— 1有向图〖TS)〗2、系统构有向图(D)由节点和连接各节点的有向弧(箭线)组成，可用来表达系统的构造。
具 体方法是：用节点表示系统的各构成要素，用有向弧表示要素之间的二元关系从节点i(Si)至到 j(Sj)的最小(少)的有向弧数称为D中节点间通路长度(路长)，也 即要素Si与Sj间二元关系的传递次数在有向图中，从某节点出发，沿着有向 弧通过其它某些节点各一次可回到该节点时，在 D中形成回路呈强连接关系的要素节点间具有双向回路表达例4 — 1给出的系统要素及其二兀关系的有向图如图 4—4所示其中S3 到S5 S3到S6和S7到S1的路长均为2另外，S4和S6间具有强连接关系，S4 和S6相互到达，在其间形成双向回路3、系统构造的矩阵表达(1)邻接矩阵邻接矩阵(A)是表示系统要素间根本二元关系或直接联系情况的方阵假设A=(aij)n x n，那么其定义式为：aij= 1,SiRSj 或(Si,Sj) € Rb(Si 对 Sj 有某种二元关系)0,Si RSj或(Si,Sj) € Rb(Si对Sj没有某种二元关系)有了表达系统构造的集合 (S,R b)或有向图(D)，就可很容易地将A写出，反之亦然与例4—1和图4—4对应的邻接矩阵如下：S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7S10000000S21000000S30001000A=S40000110S50000000S6S700010000100000很明显，A中“T的个数与例4— 1中Rb所包含的要素对数目和图4—4中有向 弧的条数相等，均为6。
在邻接矩阵中，假设有一列(如第j 列)元素全为0,那么 Sj是系统的输入要素，如图4—4中的S3和S7;假设有一行(如第i行)元素全为 0,那么Si是系统的输出要素，如图4—4中的S1和S5o(2)可达矩阵假设在要素Si和Sj间存在着某种传递性二元关系，或在有向图上存在着由 节点i至j的有向通路时，称Si是可以到达Sj的，或者说Sj是Si可以到达的 所谓可达矩阵(M)，就是表示系统要素之间任意次传递性二元关系或有向图上两个 节点之间通过任意长的路径可以到达情况的方阵假设 M=(mij)n x n，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为r，即有Ow t < r，那么可达矩阵的定义式为：mij= 1 ，SiR'Sj (存在着i至j的路长最大为r的通路)_ O,Si R'Sj (不存在i至j的通路)当t=1时，表示根本的二元关系，M即为A；当t=0时，表示Si自身到达， 或SiRSi，也称反射性二元关系；当t > 2时，表示传递性二元关系矩阵A和M的元素均为“ T或“ 0〃，是nxn阶0— 1矩阵，且符合布尔代数的 运算规那么，即: 0+0=0,0+ 仁1,1+0=1,1+1=1,0 x 0=0,0 x 1=0,1 x 0=0,1 x 1=1。
通 过对邻接矩阵A的运算，可求出系统要素的可达矩阵 M其计算公式为：M=(A+I)r (4 — 1)其中I为与A同阶次的单位矩阵(即其主对角线元素全为“ T,其余元素为 “0〃)，反映要素自身到达；最大传递次数(路长)r根据下式确定：(A+I)工(A+I) 2工(A+I) 3工…工(A+I) r-1 工(A+I) r=(A+I) r+1=- =(A+I) n (4 — 2)以与例4—1和图4—4对应的邻接矩阵为例有：S1 S2 S3 S4 S5 S6 S71000000S11100001S20011000S3A+I= S40001110S50000100S60001010S70100001其中主对角线上的1〃表示诸要素通过零步(自身)到达情况(单位矩阵I)，其余1〃表示要素间通过一步(直接)到达情况(邻接矩阵A)S1 S2 S3 S4 S5 S6 S71000000S11100000S20011 '02 2 S3(A+I) 2=A2+A+I= S40001110S50000100S6000110S7100001其中带圆圈的“1〞表示要素间通过两步 (间接)到达情况(矩阵 A2) 按照前述布尔 代数的运算规那么，在原式(A+I) 2的展开中利用了 A+A=A£关系。
进一步计算发现： (A+I) 3=(A+I) 2由(4 —2)式即有 r=2这样，根据 (4—1)式，与例 4—1和图 4—4对应的可达矩阵为：S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7S110000001100000S22 S30011110M=(A+I)2= S40001110S50000100S60001110S71100001(3) 其它矩阵在邻接矩阵和可达矩阵的根底上，还有其它表达系统构造并有助于实现系统 构造模型化的矩阵形式，如缩减矩阵、骨架矩阵等①缩减矩阵根据强连接要素的可替换性，在已有的可达矩阵 M中，将具有强连接关系的 一组要素看作一个要素，保存其中的某个代表要素，删除掉其余要素及其在 M中的行和列，即得到该可达矩阵M的缩减矩阵M 0如原例可达矩阵的缩减矩阵为：S1 S2 S3 S4 S5 S7S1100000S2110000S3001110M =S4000110S5000010S7110001②骨架矩阵对于给定系统，A的可达矩阵M是唯一的，但实现某一可达矩阵 M的邻接矩 阵A可以具有多个我们把实现某一可达矩阵 M具有最小二元关系个数（“T 元素最少 ） 的邻接矩阵叫 M 的最小实现二元关系矩阵，或称之为骨架矩阵，记作 A'。
系统构造的三种根本表达方式相互对应，各有特色用集合来表达系统构造 概念清楚，在各种表达方式中处于根底地位；有向图形式较为直观、易于理解； 矩阵形式便于通过逻辑运算，用数学方法对系统构造进展分析处理以它们为根 底和工具，通过采用各种技术，可实现复杂系统构造的模型化 三） 常用系统构造模型化技术 系统构造模型化技术是以各种创造性技术为根底的系统整体构造的决定技 术它们通过探寻系统构成要素、定义要素间关联的意义、给出要素间以二元关 系为根底的具体关系，并且将其整理成图、矩阵等较为直观、易于理解和便于处 理的形式，逐步建立起复杂系统的构造模型常用的系统构造模型。