数学（二）试题第 1 页 （共 13页）2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 (18 小题 , 每小题 4 分, 共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的 , 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .) (1) 函数xxfxxx111222的无穷间断点的个数为( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设yy,12是一阶线性非齐次微分方程yp x yq x的两个特解, 若常数，使yy12是该方程的解,yy12是该方程对应的齐次方程的解, 则( ) (A) 22,11. (B) 22,11. (C) 33,21. (D) 33,22. (3) 曲线yx2与曲线yax aln(0)相切 , 则a ( ) (A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e. (4) 设m n,是正整数 , 则反常积分xdxxnmln1012的收敛性 ( ) (A) 仅与m的取值有关 . (B) 仅与n的取值有关 . (C) 与m n,取值都有关 . (D) 与m n,取值都无关 . (5) 设 函 数zz x y( ,), 由 方 程x xFy z(,)0确 定 , 其 中F为 可 微 函 数 , 且F02, 则xyxyzz( ) (A) x. (B) z. (C) x. (D) z. (6) ninjnijnnnlim1122 ( ) (A) xydxdyx1110021. (B) xydxdyx111001. (C) xydxdy1110011. (D) xydxdy11100211. (7) 设向量组rI :,12可由向量组sII :,12线性表示 , 下列命题正确的是( ) (A) 若向量组I线性无关 ,则rs. (B) 若向量组I线性相关 , 则rs. 数学（二）试题第 2 页 （共 13页）(C) 若向量组II线性无关 , 则rs. (D) 若向量组II线性相关 , 则rs. (8) 设A为 4 阶实对称矩阵, 且AAO2, 若A的秩为 3, 则A相似于 ( ) (A) 0111. (B) 0111. (C) 0111. (D) 0111. 二、 填空题 (914 小题 , 每小题 4 分, 共 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置上 .) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程yyyy220的通解为y. (10) 曲线xyx1223的渐近线方程为. (11) 函数在yxxln 120处的n阶导数yn0=. (12) 当0时, 对数螺线re的弧长为. (13) 已知一个长方形的长l以 2cm/s的速率增加, 宽w以3cm/s的速率增加. 则当l12cmw5cm,时, 它的对角线增加的速率为. (14) 设A B,为 3 阶矩阵 , 且，ABAB32,21,则AB1=. 三、 解答题 (1523 小题 , 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)( 本题满分11 分) 求函数f xxt edtx( )()1222的单调区间与极值. (16)( 本题满分10 分) ( I ) 比较ttdtnlnln 101与tt dtnln01n1,2,的大小 , 说明理由；( II ) 记uttdtnnlnln 101n1,2, 求极限unnlim. (17)( 本题满分10 分) 设函数yf x( )由参数方程yttxtt( )(1)2,2所确定 , 其中t ( )具有 2 阶导数 , 且数学（二）试题第 3 页 （共 13页），2(1)(1)6.5已知dxtd y4(1),322求函数t ( ). (18)( 本题满分10 分) 一个高为l的柱体形贮油罐, 底面是长轴为a2, 短轴为b2的椭圆 . 现将贮油罐平放, 当油罐中油面高度为b23时( 如图 ), 计算油的质量 .( 长度单位为m,质量单位为kg, 油的密度为常数kg/m3) (19) (本题满分11 分) 设函数uf x y( ,)具有二阶连续偏导数, 且满足等式xx yyuuu4125022222, 确定a,b的值 , 使等式在变换xayxby,下化简为u02. (20)( 本题满分10 分) 计算二重积分IrrdrdDsin1cos222,其中Drr4,|0se. (21) (本题满分10 分) 设函数f x( )在闭区间0,1上连续 , 在开区间0,1内可导 , 且f (0)0,f3(1)1, 证明：存在2(0,)1,2(,1)1, 使得ff( )( )=.22(22)( 本题满分11 分) 设，Aba101111, 已知线性方程组Axb存在两个不同的解( I ) 求,a; ( II ) 求方程组Axb的通解 . (23)( 本题满分11 分) 数学（二）试题第 4 页 （共 13页）设0141340Aaa, 正 交 矩 阵Q使 得TQ AQ为 对 角 矩 阵 , 若Q的 第1 列 为1(1, 2,1)6T, 求,a Q. 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、 选择题(1) 【答案】 (B). 【解析】因为2221( )11xxf xxx有间断点0, 1x, 又因为22000(1)11lim ( )lim1lim1(1)(1)xxxx xf xxxxxx, 其中220011lim11,lim11xxxxxx, 所以0 x为跳跃间断点 . 显然112lim( )1 122xf x, 所以1x为连续点 . 而211(1)1lim( )lim1(1)(1)xxx xf xxxx, 所以1x为无穷间断点, 故答案选择B. (2) 【答案】 (A) 【解析】因12yy是0yP x y的解 , 故12120yyP xyy, 所以1122( )0yP x yyp x y, 而由已知1122,yP x yq xyP x yq x, 所以0q x, 又 由 于 一 阶 次 微 分 方 程是 非 齐 的 , 由 此 可 知0q x, 所 以数学（二）试题第 5 页 （共 13页）0由于12yy是非齐次微分方程yP x yq x的解 , 所以1212yyP xyyq x, 整理得1122yP x yyP x yq x, 即q xq x, 由0q x可知1, 由求解得12, 故应选 (A) (3) 【答案】 (C). 【解析】 因为曲线2yx与曲线相切 , 所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2axx, 即(0)2axx. 又因为两个曲线在切点的坐标是相同的, 所以在2yx上,当2ax时2ay；在lnyax上,2ax时, lnln222aaaya. 所以ln222aaa. 从而解得2ae. 故答案选择 (C). (4) 【答案】 (D). 【解析】0 x与1x都是瑕点 . 应分成22211121002ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx, 用比较判别法的极限形式,对于2120ln1mnxdxx, 由于121012ln (1)lim11mnxnmxxx. 显然 , 当1201nm, 则该反常积分收敛. 当120n m,1210ln (1)limmxnxx存在 , 此时2120ln1mnxdxx实际上不是反常积分, 故收敛. 故不论,m n是什么正整数,2120ln1mnxdxx总收敛 . 对于2112ln1mnxdxx, 取01, 不论,m n是什么正整数, 数学（二）试题第 6 页 （共 13页）1211211ln (1)limlim ln (1) (1)01(1)mnmxxxxxxx, 所以2112ln1mnxdxx收敛 , 故选 (D). (5) 【答案】 (B). 【解析】122212122221xzyzyzFFFFFyFzFzxxxxxFFxFFx, 112211yzFFFzxyFFFx, 1212222yFzFyFFzzzxyzxyFFF (6) 【答案】 (D). 【解析】222211111()nnnnijijnnninjninj22111()()nnjinnjni12220211111limlim,11( )nnnnjjndyjnjnyn1011111limlim,11 ()nnnniindxininxn2222111111limlim()()nnnnnnijjinnjnininj221(lim)nnjnnj1(lim)nninni1120011()()11dxdyxy11200111dxdyxy. (7) 【答案】 (A) 数学（二）试题第 7 页 （共 13页）【解析】由于向量组I能由向量组线性表示 , 所以(I)(II)rr, 即11(,)(,)rsrrs若 向 量 组I线 性 无 关 , 则1(,)rrr, 所 以11(,)(,)rsrrrs, 即rs, 选(A). (8) 【答案】 (D).【解析】：设为A的特征值 , 由于2AAO, 所以20, 即(1)0, 这样A的特 征 值 只 能 为 -1或0. 由 于A为 实 对 称 矩 阵 , 故A可 相 似 对 角 化 , 即A, ()()3r Ar, 因此 ,1110, 即1110A. 二、 填空题(9) 【答案】2123cossinxyCeCxCx. 【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为32220, 因式分解得2222210, 解得特征根为2,i, 所以通解为2123cossinxyC eCxCx. (10) 【答案】2yx. 【解析】因为3221lim2xxxx, 所以函数存在斜渐近线, 又因为333222222lim2lim011xxxxxxxxx, 所以斜渐近线方程为2yx. (11) 【答案】21 !nn. 【解析】由高阶导数公式可知( )ln(1)nx1(1)!( 1)(1)nnnx, 所以( )1(1)!(1)!ln12( 1)22(1 2 )(1 2 )nnnnnnnnxxx, 即( )(1)!(0)22 (1)!(1 2 0)nnnnnyn. 数学（二）试题第 8 页 （共 13页）(12) 【答案】21e. 【解析】因为0, 所以对数螺线re的极坐标弧长公式为220eed=02 e d=21e. (13) 【答案】 3cm/s. 【解析】设( ),( )lx twy t, 由题意知, 在0tt时刻00()12, ()5x ty t, 且0( )2,x t0()3y t, 设该对角线长为( )S t, 则22( )( )( )S txtyt, 所以22( )( )( )( )( )( )( )x t x ty t y tS txty t. 所以00000222200( )( )( )( )12 25 3( )3( )( )125x tx ty ty tS tx ty t. (14) 【答案】 3.【解析】由于1111()()A AB BEAB BBA, 所以11111()ABA AB BA AB B因为2B, 所以1112BB, 因此11113232ABA AB B. 三、 解答题【解析】因为22222222111( )()xxxtttf xxt edtxedttedt, 所以2224423311( )2222xxtxxtfxxedtx ex exedt,令( )0fx,则0,1xx. 又22421( )24xtxfxedtx e, 则201(0)20tfedt, 所以221011011(0)(0)(1)22ttft edtee是极大值 . 而1( 1)40fe, 所以( 1)0f为极小值 . 又因为当1x时 ,( )0fx；01x时 ,( )0fx；10 x时 ,( )0fx；1x时 ,( )0fx, 所以( )fx的单调递减区间为(, 1)(0,1),( )f x的单调递增区数学（二）试题第 9 页 （共 13页）间为( 1,0)(1,). (16) 【解析】 (I)当01x时0ln(1)xx, 故ln(1)nntt, 所以lnln(1)lnnnttt t, 则1100lnln(1)lnnnttdt。