最详细的立方和公式最详细的立方和公式 a^3+b^3=(a+b) (a^2ab+b^2 ） 折叠立方差公式 a^3b^3=(ab) (a^2+ab+b^2 ） 折叠3 项立方和公式 a^3+b^3+c^33abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcac) 推导过程： a^3+b^3+c^33abc =(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3+c^3 ）（ 3abc+3a^2 b+3ab^2 ） =[(a+b)^3+c^3]3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+2abacbc+c^2 ） 3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab3abacbc) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcac) 文字表达 折叠立方和，差公式 两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差） 折叠3 项立方和公式 三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍 公式证明 ⒈ 迭代法： 我们知道： 0 次方和的求和公式 ΣN^0=N即 1^0+2^0+...+n^0=n 1 次方和的求和公式 ΣN^1=N(N+1 ） /2即 1^1+2^1+...+n^1=n(n+1 ） /2 2 次方和的求和公式 ΣN^2=N(N+1 ）（ 2N+1 ） /6即 1^2+2^2+…+n^2=n(n+1 ）（ 2n+1 ） /6—— 平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（ x+1 ） ^3x^3=3x^2+3x+1 ，迭代即得。
取公式：（ X+1 ） ^4X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1 系数可由杨辉三角形来确定 那么就得出： （ N+1 ） ^4N^4=4N^3+6N^2+4N+1………… ⑴ N^4(N1 ） ^4=4(N1 ） ^3+6(N1 ） ^2+4(N1 ） +1………… ⑵ （ N1 ） ^4(N2 ） ^4=4(N2 ） ^3+6(N2 ） ^2+4(N2 ） +1………… ⑶ 2^41^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1………… （ n). 于是 ⑴ + ⑵ + ⑶ +……+(n ）有 左边 =(N+1 ） ^41 右边 =4 （ 1^3+2^3+3^3+……+N^3 ） +6 （ 1^2+2^2+3^2+……+N^2 ） +4 （ 1+2+3+……+N)+N 所以呢 把以上这已经证得的三个公式代入 4 （ 1^3+2^3+3^3+……+N^3 ） +6 （ 1^2+2^2+3^2+……+N^2 ） +4 （ 1+2+3+……+N)+N=(N+1 ） ^41 得 4 （ 1^3+2^3+3^3+……+N^3 ） +N(N+1 ）（ 2N+1 ） +2N(N+1 ） +N=N^4+4N^3+6N^2+4N 移项后得1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4NN2N^22N2N^33N^2N) 等号右侧合并同类项后得1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2 ） 即 1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1 ） ]^2 1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1 ） ]^2 2.因式分解思想证明如下 ： a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3a^2×b =a^2(a+b)b(a^2b^2 ） =a^2(a+b)b(a+b)(ab) =(a+b)[a^2b(ab)]=(a+b)(a^2ab+b^2 ） 公式延伸 正整数范围中1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1 ）/ 2]^2= （ 1+2+……+n)^2 几何验证 透过绘立体的图像，也可验证立方和。
根据右图，设两个立方，总和为： x^3+y^3 把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到： （ x+y)^3 要得到 x ^3+y ^3 ，可使用（ x+y )^3 的空白位置该空白位置可分割为 3 个部分： ·x×y× （ x+y) ·x× （ x+y ） ×y · （ x+y ） ×x×y 把三个部分加在一起，便得： =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y) =3xy(x+y) 之后，把（ x+y )^3 减去它，便得： =(x+y)^33xy(x+y ）公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得： =(x+y)[(x+y)^23xy] （ x+y )^2 可透过和平方公式，得到： =( x+y )( x^2+ 2 xy+y ^23xy) =( x+y )( x^2−xy+y ^2 ） 这样便可证明： x^3+y^3=( x+y )( x ^2 −xy+y ^2 ） 关于因数 一般而言，任取一自然数 N ，他的因数有 1 ， n1,n2,n3 ， …… ， nk,N ，这些 因数的因数个数 分别为 1 ， m1,m2,m3 ， …… ， mk,k+2 ，则 1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2 ） ^3 = （ 1+m1+m2+m3+……+mk+k+2 ） ^2 我们发现，上述规律对素数 p 是永远成立的，因为素数 p 的因数只有 1 和 p ，因数的个数只有 1 和 2 ，所以成立。
合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明 比如 120 ，有因数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 15 ， 20 ， 24 ， 30 ， 40 ， 60 ， 120 ；它们的因数个数为1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 2 ， 4 ， 4 ， 4 ， 6 ， 4 ， 6 ， 8 ， 8 ， 8 ， 12 ， 16 1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100 （ 1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16 ） ^2=8100 第1页 /总页数 3 页。