第五讲 立体图形总复习【知识概述】一、熟练掌握一般不规则立体图形表面积及体积的解答方法二、掌握立体图形切割、打孔等操作后表面积及染色后的表面积问题【精选例题】（一）立方体表面积与体积【例1】用棱长是1厘米的立方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析】上下面：9*2=18cm² 左右面：7*2=14cm² 前后面：7*2=14cm²【例2】如图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【分析】水平切两刀，增加4个面，竖直切三刀，增加6个面，另外一个维度方向切四刀，增加8个面所以，一共增加4+6+8=18个面表面积总和：18+6=24㎡【例3】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？【分析】正方体只可能有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个 所以共有正方体 22＋4=26（个）由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。
例4】有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的1/2，乙的棱长是丙的棱长的2/3．如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块?【分析】丙是三种正方体中最大的一种，实际上8块丙就能拼成一个正方体，因为要其他2种也用到，就拿掉一块丙，换上一块乙，剩下的地方用甲填上 实际上是要我们用最少木块去拼一个正方体，体积只是尽可能小，而不一定是要最小所以，需要的正方体：甲19块，乙1块，丙7块，一共27块二）立方体染色问题【例6】有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个?【分析】一面涂红色有：4*5=20个 两面涂红色有：20*2=40个（选择对面） 三面涂红色有：40-4=36个（选择4*5两面和3*4一面） 四面涂红色有：36-4=32个（选择4*5两面和3*4两面） 五面涂红色有：32-5=27个 六面涂红色有：27-5=22个一共有：20+40+36+32+27+22=177个（三）立方体打孔问题【例7】如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为12厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为14厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?（题目数据好像有问题）【例8】如图，是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?【分析】孔没有打穿。
外表面积：（4*4-1*1）*6=90cm²内表面积：1*1*5*6=30cm²【例9】有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔，如下图所示，求这个立体图形的表面积分析】外表面积：（5*5-5）*6=120cm² 求内表面积时，由于内部结构十分复杂，我们可以将图形内部的面积映射到外表面来进行求解，如图内表面积：16*6=96cm²那么这个立体图形的表面积就为：96+120=216cm² 【例10】如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【分析】此题难在求内表面的面积，由于该题的映射情况不对称，但是对立面的映射情况是相同的，所以我们只需弄清楚前上和左面的映射情况就可以求出内表面的面积。
外表面积：易求得138下图为前后左右上下面对应的映射情况： 前后面映射 上下面映射 左右面映射 10*2=20 7*2=14 16*2=32则表面积为：138+20+14+32=204（四）圆柱体表面积与体积【例10】如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?【分析】（13 - 2×2）×（9 - 2×2）×2=90立方厘米【例11】张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析】题中已阐明要体积最大，而两次的围法都有两种，比较后发现：底面半径为前年的1.5倍，高为前年的2倍容积=1.5²*2=4.5倍（五）立方体展开图【例12】如图所示,剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折,沿实线粘).这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是 74 .【分析】从展开图可知，粘合后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面。
顶点总数9*2=18个在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条，每条虚线表表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以总棱数19+34÷2=36条综上：多面体的面数、顶点数和棱数的总和为：2+18+36=74关于多面体的顶点数，棱数，面数，数学家欧拉曾给出一个公式（欧拉公式）：顶点数+棱数-面数=2【例13】下图是正方体,四边形APQC是表示用平面截正方体的截面,截面的线表现在展开图的哪里呢?把大致的图形在右面展开图里画出来.【分析】把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形所在的平面就可容易画出考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象展开图折成立体图形，并在顶点上标出对应的符号，如图：根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在点和棱，以及四条边所在平面，顶点p在EF边上，Q在GF边上，边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线，需要注意的是，立体图上的A,C点在展开图上有三个，B,D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。
连好线的图形如上图课后作业】1．右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积9*2+7*2+8*2=48平方厘米2．某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?这个长方体包装箱的体积是1.08立方米 4．如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米?(π取3.14)（4.5+6）π=32.97m²5．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里,直立着一个长1米,底面为正方形,边长15厘米的四棱柱铁棍.这时容器里的水半米深,现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米,露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米?24.4cm6．一个长、宽和高分别为21厘米、15厘米和12厘米的长方体,现从它的上面尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,剩下的体积是多少立方厘米?12×12×12＝1728立方厘米9×9×9＝729立方厘米1728＋729＝2458立方厘米21×15×12＝3780立方厘米3780-2458＝1322立方厘米7．在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块,从正南方向看如下图(1),从正东方向看如下图(2),要摆出这样的图形至多能用多少块正方体木块？至少需要多少块正方体木块？至多20，至少68．一个长方形水箱,从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米。
原来水深10厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时水面高多少厘米?15（厘米）9．在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1分米的正方形（见左下图）求挖洞后木块的体积及表面积7210．把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形（右上图）用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（个）11．下图是由27块小正方体构成的 3 3 3的正方体如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？对于由n³块小正方体构成的nxnxn正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12x（n-2）块，一面涂有红色的有6x（n-2）²块，没有涂色的有（n-2）³块，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）³=8x8，解得n=6 。