圆圆工作室 内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 1 -20082008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：一、选择题：1 1 1 1～～8 8 8 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 4 4 分，共分，共 32323232 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， ， 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内. . . .（1）设，则的零点个数为（）2( )(1)(2)f xxxx=−−'( )fx01.23( )A( )B( )C()D（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（）( )yf x=[0, ]a 0( )atafx dx∫曲边梯形面积.( )AABCD梯形面积.( )BABCD曲边三角形面积.( )CACD三角形面积.()DACD（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（）123cos2sin2xyC eCxCx=++123,,C C C( )A''''''440yyyy+−−=( )B''''''440yyyy+++=( )C''''''440yyyy−−+=()D''''''440yyyy−+−=（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）( )f x(,)−∞ +∞{ }nx若收敛，则收敛.若单调，则收敛.( )A{ }nx{}()nf x( )B{ }nx{}()nf x若收敛，则收敛.若单调，则收敛.( )C{}()nf x{ }nx()D{}()nf x{ }nx（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则f2222()( , )uvDf xyF u vdxdy xy+= +∫∫uvDF u∂=∂( )A2()vf u( )B2()vf uu( )C( )vf u()D( )vf uu（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（）AnEn30A=不可逆，不可逆.不可逆，可逆.( )AEA−EA+( )BEA−EA+可逆，可逆.可逆，不可逆.( )CEA−EA+()DEA−EA+圆圆工作室 内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 2 -（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（）12 21A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠A..( )A21 12−⎛⎞ ⎜⎟−⎝⎠( )B21 12−⎛⎞ ⎜⎟−⎝⎠..( )C21 12⎛⎞ ⎜⎟⎝⎠()D12 21−⎛⎞ ⎜⎟−⎝⎠二、填空题：二、填空题：9-149-149-149-14 小题，每小题小题，每小题 4 4 4 4 分，共分，共 24242424 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上. . . .（9） 已知函数连续，且，则.( )f x201 cos[( )]lim1(1) ( )xxxf xef x→−=−(0)____f=（10）微分方程的通解是.2()0xyx edxxdy−+−=____y=（11）曲线在点处的切线方程为.()()sinlnxyyxx+−=()0,1 （12）曲线的拐点坐标为______.2 3(5)yxx=−（13）设，则.x yyzx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠(1,2)____z x∂=∂（14）设 3 阶矩阵的特征值为.若行列式，则.A2,3,λ248A= −___λ=三、解答题：三、解答题：15151515－－23232323 小题，共小题，共 94949494 分分. . . .请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上. . . .解答应写出文字说明、证明过程解答应写出文字说明、证明过程或或 演算步骤演算步骤. . . .(15)（本题满分 9 分）求极限.()40sinsin sinsinlim xxxxx→−⎡⎤⎣⎦(16)（本题满分 10 分）设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求( )yy x=20( )ln(1)txx tyu du=⎧⎪⎨=+⎪⎩∫( )x t0200xtdxtedt x−−⎧−=⎪⎨ ⎪=⎩.22y x∂ ∂(17)（本题满分 9 分）求积分.120arcsin1xxdxx−∫(18)（本题满分 11 分）圆圆工作室 内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 3 -求二重积分其中max(,1),Dxydxdy∫∫{( , ) 02,02}Dx yxy=≤≤≤≤(19)（本题满分 11 分）设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线( )f x[)0,+∞(0)1f=[)0,t∈+∞， 曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积0,xxt==( )yf x=xx在数值上等于其体积的 2 倍，求函数的表达式.( )f x(20)（本题满分 11 分）(1) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得( )f x[ , ]a b[ , ]a bη∈( )( )()baf x dxfbaη=−∫(2) 若函 数具有 二 阶 导 数 ， 且 满 足，证 明 至 少 存 在 一点( )xϕ32(2)(1), (2)( )x dxϕϕϕϕ>>∫(1,3),( )0ξϕ ξ′′∈( 1)6y−= −故曲线的拐点为( 1, 6)− −本题的难度值为 0.501.(13)【答案】2(ln2 1)2−【详解】设，则,yxuvxy==vzu=所以1 21()lnvvzzuzvyvuuuxuxvxxy−∂∂∂∂∂=⋅+⋅=−+⋅∂∂∂∂∂2ln11lnx y vvyuyyuuxyxyx⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−+=⋅− +⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠所以(1,2)2(ln2 1)2z x∂=−∂本题的难度值为 0.575. (14)【答案】-1【详解】|| 2 36Aλλ =× ×=Q3|2| 2 ||AA=圆圆工作室 内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 7 -32648λ∴ ×= −1λ⇒= −本题的难度值为 0.839. 三、解答题三、解答题 (15)【详解】方法一方法一：4300[sinsin(sin )]sinsinsin(sin )limlim xxxxxxx xx→→−−=22220001sincoscos(sin )cos1 cos(sin )12limlimlim3336xxxxxxxx xxx→→→−−====方法二方法二：331sin()6xxxo x =−+Q331sin(sin )sinsin(sin)6xxxox=−+4444400[sinsin(sin )]sinsin(sin)1limlim66xxxxxxox xxx→→⎡⎤−∴ =+=⎢⎥⎣⎦本题的难度值为 0.823. (16)【详解】方法一方法一：由得，积分并由条件得，即20xdxtedt−−=2xe dxtdt=0tx=21xet= +2ln(1)xt=+所以2 222ln(1) 2(1)ln(1)2 1dy dyttdtttdxtdx dtt+⋅===+++222222[(1)ln(1)]2 ln(1)2 2 1dttd yddytttdt dxtdxdxdx dtt++++⎛⎞===⎜⎟⎝⎠ +22(1)[ln(1) 1]tt=+++方法二方法二：由得，积分并由条件得，即20xdxtedt−−=2xe dxtdt=0tx=21xet= +2ln(1)xt=+所以2 222ln(1) 2(1)ln(1)2 1xdy dyttdttte xdxtdx dtt+⋅===++=+所以22(1)xd yexdx=+本题的难度值为 0.742. (17)【详解】方法一方法一：由于，故是反常积分.221arcsinlim 1xxxx−→= +∞ −2120arcsin1xxdxx−∫圆圆工作室 内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 8 -令，有，arcsinxt=sinxt=[0,2)tπ∈2212222 20000arcsinsincos2cossin()cos221xxtttttdxtdtttdtdttxπππ ===− −∫∫∫∫222222 00001sin21sin2sin2441644ttttdttdtπππππ=−=−+∫∫222011cos2168164tπ ππ=−=+方法二：方法二：2120arcsin1xxdxx−∫12201(arcsin )2x dx=∫121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28xxxxdxxxdxπ=−=−∫∫令，有，arcsinxt=sinxt=[0,2)tπ∈12222 00011(arcsin )sin2cos224xxdxtdtt dtππ == −∫∫∫2222 00111(cos2 )cos242164ttttdtπππ= −+=−∫故，原式21 164π=+本题的难度值为 0.631.(18)【详解】 曲线将区域分成两1xy=个区域和，为了便于计算继续对1D23DD+区域分割，最后为 ()max,1Dxydxdy∫∫123DDDxydxdydxdydxdy=++∫∫∫∫∫∫11222221110002211xxdxdydxdydxxydy=++∫∫∫∫∫∫1512ln2ln24= ++−19ln24=+本题的难度值为 0.524.O0.52x x x xD D D D1 1 1 1D D D D3 3 3 3D D D D2 2 2 2O0.52x x x xD D D D1 1 1 1D D D D3 3 3 3D D D D2 2 2 2圆圆工作室 内部版本：仅供学习，禁止传播！钻石卡高级系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100%- 9 -(19)【详解】旋转体的体积，侧面积，由题设条件知20( )tVfx dxπ=∫202( ) 1( )tSf xfx dxπ′=+∫2200( )( ) 1( )ttfx dxf xfx dx′=+∫∫上式两端对 求导得，即t22( )( ) 1( )ftf tft′=+21yy′ =−由分离变量法解得，即2 1ln(1)yytC+−= +21tyyCe+− =将代入知，故，(0)1y=1C=21tyye+− =1()2ttyee−=+于是所求函数为1( )()2xxyf xee−==+本题的难度值为 0.497.(20)【详解】(I) 设与是连续函数在上的最大值与最小值，即Mm( )f x[ , ]a b( )mf xM≤≤[ , ]xa b∈由定积分性质，有，即()( )()bam baf x dxM ba−≤≤−∫( )baf x dx mMba≤≤−∫由连续函数介值定理，至少存在一点，使得[ , ]a bη∈( ) ( )baf x dx fbaη=−∫即( )( )()baf x dxfbaη=−∫(II) 由(I)的结论可知至少存在一点，使[2,3]η∈32( )( )(32)( )x dxϕϕ ηϕ η=−=∫又由，知32(2)( )( )x dxϕϕϕ η>=∫23η−112ξ<<2( )(2)()02ϕ ηϕϕ ξη−′=<−123ξη<<≤在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有12[ ,]ξ ξ( )xϕ′2121()( )( )0ϕ ξ。