2 图形的全等 【【知识再现知识再现】】三角形中三条重要线段三角形中三条重要线段, ,分别为三角形的分别为三角形的__________________(3(3条条) )、三角形的、三角形的_____________(3_____________(3条条) )、三角形的、三角形的_________(3_________(3条条). ). 中线中线角平分线角平分线高线高线 【【新知预习新知预习】】阅读教材阅读教材P92-P96,P92-P96,归纳结论归纳结论: :1.1.图形的全等定义图形的全等定义(1)(1)能够能够__________________________的两个图形叫做全等图形的两个图形叫做全等图形. . 完全重合完全重合 (2)(2)全等三角形全等三角形: :能够能够__________________________的两个三角形叫做的两个三角形叫做全等三角形全等三角形. . 三角形全等的符号三角形全等的符号: :““全等全等””用符号用符号““_______”_______”表示表示. .注意注意: :在记两个三角在记两个三角形全等时形全等时, ,通常把对应顶点写在对应位置上通常把对应顶点写在对应位置上. . 完全重合完全重合≌≌ 2.2.全等三角形的性质全等三角形的性质(1)(1)性质性质1:1:全等三角形的全等三角形的______________________相等相等. . (2)(2)性质性质2:2:全等三角形的全等三角形的______________________相等相等. . 对应边对应边对应角对应角 说明说明:①:①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线角的平分线_________; _________; ②②全等三角形的周长全等三角形的周长_________,_________,面积面积_________; _________; ③③平移、翻折、旋转前后的图形平移、翻折、旋转前后的图形_________. _________. 相等相等相等相等相等相等全等全等 【【基础小练基础小练】】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧! !1.1.已知图中的两个三角形全等已知图中的两个三角形全等, ,则则∠∠1 1等于等于( )( )A.72°A.72° B.60°B.60°C.50°C.50°D.58°D.58°D D 2.2.如图如图,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30°,,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30°,则则∠∠ACA′ACA′的度数为的度数为_________. _________. 30°30° 知识点一知识点一 全等图形的概念及性质全等图形的概念及性质(P93“(P93“议一议议一议””) )【【典例典例1 1】】如图所示的图形是全等图形的是如图所示的图形是全等图形的是( )( )B B 【【学霸提醒学霸提醒】】全等图形的两要素全等图形的两要素: :①①形状相同形状相同; ;②②大小一致大小一致. . 【【题组训练题组训练】】1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是( )( )A.A.两个面积相等的图形一定是全等图形两个面积相等的图形一定是全等图形B.B.两个长方形是全等图形两个长方形是全等图形C.C.两个全等图形形状一定相同两个全等图形形状一定相同D.D.两个正方形一定是全等图形两个正方形一定是全等图形C C ★2.★2.如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD与四边形与四边形D′C′B′A′D′C′B′A′全等全等, ,则则∠∠A′=_________,∠A=_______,B′C′=______,ADA′=_________,∠A=_______,B′C′=______,AD=______. =______. 120°120°70°70°12126 6 ★★3.★★3.下列说法正确的是下列说法正确的是世纪金榜导学号世纪金榜导学号( )( )①①用一张相纸冲洗出来的用一张相纸冲洗出来的1010张张1 1寸相片是全等图形寸相片是全等图形; ;②②我国国旗上的我国国旗上的4 4颗小五角星是全等图形颗小五角星是全等图形;③;③所有的正所有的正方形是全等图形方形是全等图形;④;④全等图形的面积一定相等全等图形的面积一定相等;⑤;⑤周长周长相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等. .A.1A.1个 个 B.2B.2个 个 C.3C.3个 个 D.4D.4个个C C 知识点二知识点二 全等三角形及其对应元素全等三角形及其对应元素(P93(P93引例引例) )【【典例典例2 2】】如图如图, ,已知已知△△ABC≌△DEF,ABC≌△DEF,找出找出△△ABCABC和和△△DEFDEF中的三对对应边与三对对应角中的三对对应边与三对对应角. . 【【自主解答自主解答】】因为因为△△ABC≌△DEF,ABC≌△DEF,所以对应边有所以对应边有: :ABAB与与DE,ACDE,AC与与DF,BCDF,BC与与EF;EF;对应角有对应角有:∠A:∠A与与∠∠D,∠BD,∠B与与∠∠DEF,∠ACBDEF,∠ACB与与∠∠F.F. 【【学霸提醒学霸提醒】】确定对应角、对应边的方法确定对应角、对应边的方法找找对应边找找对应角角确确定定方方法法(1)(1)有公共有公共边的的, ,公共公共边一定是一定是对应边(1)(1)有有对顶角的角的, ,对顶角角一定是一定是对应角角(2)(2)全等三角形全等三角形对应角所角所对的的边是是对应边(2)(2)全等三角形全等三角形对应边所所对的角是的角是对应角角 找找对应边找找对应角角确确定定方方法法(3)(3)两个两个对应角所角所夹的的边是是对应边(3)(3)两个两个对应边所所夹的的角是角是对应角角(4)(4)两个全等的三角形中两个全等的三角形中, ,一一对最最长的的边是是对应边, ,一一对最短的最短的边也是也是对应边(4)(4)两个全等的三角形两个全等的三角形中中, ,一一对最大的角是最大的角是对应角角, ,一一对最小的角也最小的角也是是对应角角 【【题组训练题组训练】】1.1.如图如图,△ABC≌△CDA,,△ABC≌△CDA,并且点并且点A A与点与点C C是对应顶点是对应顶点, ,点点B B与点与点D D是对应顶点是对应顶点, ,那么下列结论错误的是那么下列结论错误的是( )( )A.∠1A.∠1与与∠∠2 2是对应角是对应角B.ACB.AC与与CACA是对应边是对应边C.∠DC.∠D与与∠∠B B是对应角是对应角D.ACD.AC与与BCBC是对应边是对应边D D ★2.★2.如图如图,D,E,D,E分别是分别是AB,ACAB,AC上一点上一点,△ABE≌△ACD.,△ABE≌△ACD.若若点点B B和和C C对应对应, ,则则ABAB对应边对应边_______,AD_______,AD对应边对应边_______,_______,∠A∠A对应角对应角________,________,则则∠∠AEB=__________,EB=______. AEB=__________,EB=______. ACACAEAE∠A∠A∠ADC∠ADCDCDC ★★3.★★3.已知已知△△ABC≌△A′C′B′,∠BABC≌△A′C′B′,∠B与与∠∠C′,∠CC′,∠C与与∠∠B′B′是对应角是对应角, ,有下列有下列4 4个结论个结论:①BC=C′B′;:①BC=C′B′;②AC=A′B′;③AB=A′B′;④∠ACB=∠A′B′C′,②AC=A′B′;③AB=A′B′;④∠ACB=∠A′B′C′,其中正确的结论有其中正确的结论有世纪金榜导学号世纪金榜导学号( )( )A.1A.1个 个 B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个C C 知识点三知识点三 全等三角形的性质全等三角形的性质(P94“(P94“议一议议一议””) )【【典例典例3 3】】如图所示如图所示,D,A,E,D,A,E在同一条直线上在同一条直线上,BD⊥DE,BD⊥DE于于点点D,CE⊥DED,CE⊥DE于点于点E,E,且且△△ABD≌△CAE,AD=2 cm,BD=4 ABD≌△CAE,AD=2 cm,BD=4 cm,cm,求求: :(1)DE(1)DE的长的长. .(2)∠BAC(2)∠BAC的度数的度数. . 【【尝试解答尝试解答】】(1)(1)因为因为△△ABD≌△CAE,AD=2 cm,BD=ABD≌△CAE,AD=2 cm,BD=4 cm,4 cm,所以所以AE=BD=4 cm,AE=BD=4 cm, ………………全等三角形的性质全等三角形的性质所以所以DE=AD+AE=6 cm.DE=AD+AE=6 cm. ………………等式性质等式性质(2)(2)因为因为BD⊥DE,BD⊥DE,所以所以∠∠D=_________, D=_________, ………………垂直的定义垂直的定义90°90° 所以所以∠∠DBA+__________=90°,DBA+__________=90°,………等量代换等量代换 因为因为△△ABD≌△CAE,ABD≌△CAE,所以所以∠∠DBA=__________,DBA=__________,………全等三角形的性质全等三角形的性质 所以所以∠∠BAD+∠CAE=_________, BAD+∠CAE=_________, ………………直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余所以所以∠∠BAC=_________.BAC=_________. ………平角定义平角定义 ∠BAD∠BAD∠CAE∠CAE90°90°90°90° 【【学霸提醒学霸提醒】】全等三角形性质的两点应用全等三角形性质的两点应用1.1.求线段求线段: :全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等, ,可以直接确定对可以直接确定对应边的数量关系应边的数量关系, ,也可以间接求解相关线段的长度等也可以间接求解相关线段的长度等. .2.2.求角求角: :全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等, ,可以直接确定对应可以直接确定对应角的数量关系角的数量关系, ,也可以间接求解相关角的大小等也可以间接求解相关角的大小等. . 【【题组训练题组训练】】1.1.如图如图, ,点点E,FE,F段段BCBC上上,△ABF,△ABF与与△△DCEDCE全等全等, ,点点A A与与点点D,D,点点B B与点与点C C是对应顶点是对应顶点,AF,AF与与DEDE交于点交于点M,M,则则∠∠DCE=DCE=( )( )A.∠BA.∠B B.∠AB.∠A C.∠EMFC.∠EMFD.∠AFBD.∠AFBA A ★2.★2.如图如图, ,将将△△ABCABC绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转, ,使点使点B B落在落在ABAB边边上点上点B′B′处处, ,此时此时, ,点点A A的对应点的对应点A′A′恰好落在恰好落在BCBC边的延边的延长线上长线上, ,下列结论错误的是下列结论错误的是( )( )A.∠BCB′=∠ACA′A.∠BCB′=∠ACA′ B.∠ACB=2∠BB.∠ACB=2∠BC.∠B′CA=∠B′ACC.∠B′CA=∠B′ACD.B′CD.B′C平分平分∠∠BB′A′BB′A′C C ★★3.★★3.如图如图, ,将长方形纸片将长方形纸片ABCDABCD沿沿BDBD折叠折叠, ,得到得到△△BC′D,BC′D,C′DC′D与与ABAB交于点交于点E.E.若若∠∠1=35°,1=35°,则则∠∠2 2的度数为的度数为 ( )( )A.20°A.20°B.30°B.30°C.35°C.35°D.55°D.55°A A 【【火眼金睛火眼金睛】】如图如图,AD∥BC,AC∥BD,,AD∥BC,AC∥BD,图中两个三角形全等图中两个三角形全等, ,请写出它请写出它们的对应边们的对应边. . 【【正解正解】】因为因为AD∥BC,AD∥BC,所以所以 ∠ ∠DAB=∠ABC,DAB=∠ABC,所以所以BDBD与与ACAC是对应边是对应边( (相等的角所对的边是对应边相等的角所对的边是对应边),),同理同理,AD,AD与与BCBC是对应边是对应边, ,因为因为ABAB是公共边是公共边, ,所以所以ABAB与与BABA是对应边是对应边. . 【【一题多变一题多变】】如图如图, ,已知已知Rt△ABC≌Rt△ABC≌Rt△CDE,∠B=∠D=90°,Rt△CDE,∠B=∠D=90°,且且B,C,DB,C,D三点共线三点共线. .试说明试说明:∠ACE=90°.:∠ACE=90°.解解: :略略 【【母题变式母题变式】】【【变式一变式一】】如图所示如图所示,Rt△ABE≌Rt△ECD,,Rt△ABE≌Rt△ECD,点点B,E,CB,E,C在在同一直线上同一直线上, ,则结论则结论:①AE=ED;②AE⊥DE;③BC=AB+CD;:①AE=ED;②AE⊥DE;③BC=AB+CD;④AB∥DC④AB∥DC中成立的是中成立的是( )( )A.A.仅仅①①B.B.仅仅①③①③C.C.仅仅①③④①③④D.①②③④D.①②③④D D 【【变式二变式二】】如图所示如图所示, ,把两个大小完全一样的长方形拼成把两个大小完全一样的长方形拼成““L”L”形形图案图案, ,判断判断△△AFCAFC的形状的形状. . 解解: :由已知由已知△△AFG≌△CAB,AFG≌△CAB,所以所以∠∠AFG=∠CAB,AF=AC,AFG=∠CAB,AF=AC,因为因为∠∠AFG+∠FAG=90AFG+∠FAG=90°°, ,所以所以∠∠CAB+∠FAG=90CAB+∠FAG=90°°, ,所以所以∠∠FAC=90FAC=90°°. .又因为又因为AF=AC,AF=AC,所以所以∠∠FCA=(180FCA=(180°°-90-90°°) )×× =45 =45°°, ,所以所以△△AFCAFC是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . 。