关于彩票问题的数学模型

关于彩票问题的数学模型关于彩票问题的数学模型摘要：摘要： 本文对彩票问题从数学的角度进行了分析研究，对 29 种常见方案的合理性进行 了综合评价，设计了两种“更好”的方案 首先，计算出各类型彩票各奖项的中奖概率将中奖面和一等奖单注奖金的期望 值作为方案合理性的评价指标，建立了一双目标优化模型考虑到中奖面和一等奖单 注奖金的期望值处于不同的数量级，对它们进行了规一化处理，然后引入非负加权因 子，从而将双目标优化模型转化为单目标优化模型进行求解考虑到不同的彩民对中 奖面和一等奖单注奖金期望值的偏好程度不同，给出了适合于不同彩民的合理方案 我们分别设计了面向“保值型”彩民的“22 选 5”方案和面向“激进型”彩民的 双彩池摇奖方案，给出了相应的算法并对其可行性进行了分析对彩票管理部门提出 了设“积宝池” 、使用调节基金、采用“二次开奖”和“附加奖”等建议 最后，对模型进行了分析和评价，提出了模型的改进方向并给报纸写了一篇关 于合理选择彩票问题的文章1关于彩票问题的数学模型关于彩票问题的数学模型一、一、问题的提出：问题的提出： 巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统 型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10 选 6+1”方案，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及 顺序确定中奖等级（具体摇奖规则及中奖等级说明见附件一附件一） ；“乐透型”有多种不 同的形式，分为“m 选 n”型方案和“m 选 n+1”型方案，根据单注号码与中奖号码 相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序（具体摇奖规则及中奖等级的 说明见附件二附件二） 已知这两种类型彩票的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖现在常见的销售规则及相应的 奖金设置方案如附表三附表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖低项奖数 额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万元， 各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金 额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议3）给报纸写一篇短文，供彩民参考二、二、问题分析：问题分析： 问题的第一问要求对 29 种彩票方案进行综合分析并评价各方案的合理性，考虑 彩票发行人的获利情况和彩票方案对彩民的吸引力两个方面因素，分析彩票方案合理 性。

一套方案对彩民的吸引力越大，则它的销售总额也就越大；在销售规则不变的前 提下，发行人的获利就越多因此，方案对彩民的吸引力是影响彩票方案合理性的主 要因素 要评价方案的合理性关键在于确立关于方案合理性的评价指标根据“不确定条 件下消费者选择理论” ，中奖率低但中奖额高是影响吸引力的主要因素因此可以考 虑将彩票的中奖面和高等奖单注奖金的期望值作为评价指标，来衡量各方案的合理性由于一等奖占高等奖奖金的 60%以上，可以考虑用一等奖单注期望值代替高等奖 单注奖金期望值作为评价指标，这并不影响对方案合理性的分析由于一等奖单注奖 金的期望值和中奖面之间又存在相互制约的关系，可以考虑建立双目标优化模型对问 题进行研究不同类型的彩民对两者的偏好程度不一样，高风险倾向彩民主要偏向于 一等奖单注奖金的期望值，低风险倾向彩民主要偏向于中奖面根据实际情况，可以 引进偏好系数，考虑在不同偏好系数下，适合该类型彩民的合理性方案三、三、基本假设：基本假设： 1)彩票的摇奖过程是公正的，即能够保证基本号和特别号的产生是随机的 2)单注彩票若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖 3)各类型彩票的总奖金比例为其当期销售总额的 50%。

4)一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万元25)当期未中出的浮动奖奖金，或者超出头等奖单注封顶限额部分的奖金，考虑 自动滚动到下一期一等奖，直至中奖 6)不考虑中奖弃领的情况 7)只讨论“传统型”和“乐透型”两种类型 8)方案中没有设置奖金的奖项的中奖概率计为零 四、四、变量说明：变量说明： 1)k ：销售方案中设置的最低奖项的等级2)Pi (i=1,2,…,k) ：第 i 等奖出现的概率 3)qi (i=4,5,…,k) ：低项奖中第 i 等奖对应的固定奖金额 4)ti (i=1,2,3) ：高项奖中第 i 等奖对应的分配比例 5)N ：当期彩票的总投注数（单位：注） 6)Z ：一等奖奖金的期望值 7)P ：彩票的中奖面 8)m ：摇奖时的号码球总数 （单位：个） 9)n ：基本号码球个数 （单位：个）10)：29 种方案中奖面的平均值P11) P*：P 与的比值P12)：29 种方案一等奖单注奖金的平均期望值Z13) Z*：Z 与的比值Z14)：彩民对中奖面的偏好系数１15)：彩民对一等奖的偏好系数２五、五、模型的建立和求解：模型的建立和求解： （一）建模前的准备：（一）建模前的准备： 1、、 对彩票各奖项的中奖概率的讨论：对彩票各奖项的中奖概率的讨论： 通过对彩票的各种方案进行分析，发现彩票共可分为“传统型” 、 “乐透型”中的 “从 m 中选 n”和“从 m 中选 n+1”型。

为此，我们对这三种类型彩票各奖项的中奖 概率分别进行讨论：1)“传统型”彩票各奖项的中奖概率（以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概 率）： 一等奖：前 6 位数有 106种可能，,特别号码有 5 种可能，共有 106×5=5000000 种 选择，而一等奖号码只有一个因此，一注中一等奖的概率为：P 1= 1 /5000000 = 2×10-7= 0.0000002 二等奖：前 6 位数相同的，只有一种可能，故中二等奖的概率为 ： Ｐ2= 1 /1000000 = 10-6= 0.000001 ； 三等奖：有 18 个号码可以选择，故中三等奖的概率为： Ｐ3 = 18/ 1000000 = 0.000018 ； 四等奖：有 252 个号码可以选择，故中四等奖的概率为：3Ｐ4= 252/ 1000000 = 0.000252 ； 五等奖：有 3420 个号码可以选择，故中五等奖的概率为： Ｐ5= 3420/ 1000000 = 0.00342 ； 六等奖：由于其特殊性，考虑如下： ① 不考虑号的重复： abXXXX 是六等奖号，所以不能是 abXdef 型，就有 9103-9 个号 同理： XXXXef 也有 9103-9 个号其他类型号不存在这种情况，都有 92103个号 所以总的不重复的号有：42282 个号 ② 考虑重复的号的个数： 分析可发现重复号的类型有：abXcdX , XbcXef , abXXef,这三种类型每种 有 81 个号，所以重复的号的个数为：243 个③ 总的中奖号数目：42282-243=42039 故中六等奖的概率为： Ｐ6= 42039 / 1000000 = 0.042039。

合起来，每一注总的中奖率为： Ｐ =Ｐ1 +Ｐ2 +Ｐ3 +Ｐ4+Ｐ5+P6= 0.0457302 ≈ 4.6%， 这就是说，每 1000 注彩票，约有 46 注中奖 (包括一等奖到六等奖 )2)“乐透型”中“从 m 中选 n”型彩票各奖项的中奖概率（以一注为单位，计算 每一注彩票的中奖概率）： 此类型彩票开奖时从 m 个号码球中随机抽取 n+1 个号码球，前 n 个为基本号， 第 n+1 个为特别号码从排列组合的知识可以得出，从 m 个数码中随机抽取 n 个数 码组成一个中奖数组，而且与这 n 个数码的顺序无关，所以这是一个组合问题因此，从 m 个数码中随机抽取 n 个数码的组合数是nmC一等奖：一等奖号码只有一个因此，一注中一等奖的概率为：Ｐ1 = ；1nmC二等奖：二等奖 (n-1 个基本号码加一个特别数码)的组合数为1nnC三等奖：三等奖 (n-1 个基本号码)的组合数为111nnm nCC 四等奖：四等奖 (n-2 个基本号码加一个特别数码)的组合数为211nnm nCC 五等奖：五等奖 (n-2 个基本号码)的组合数为221nnm nCC 六等奖：六等奖 (n-3 个基本号码加一个特别数码)的组合数为。

321nnm nCC 七等奖：七等奖 (n-3 个基本号码)的组合数为331nnm nCC 故“乐透型”中“从 m 中选 n”型彩票各奖项的中奖概率为：4Ｐ1 = ；Ｐ2 = ；Ｐ3 = ；Ｐ4 = ；1nmC1nn nmC C111nnm n nmCC C 211nnm n nmCC C Ｐ5= ；Ｐ6=；P7=221nnm n nmCC C 321nnm n nmCC C 331nnm n nmCC C 3)“乐透型”中“从 m 中选 n+1”型彩票各奖项的中奖概率（以一注为单位，计 算每一注彩票的中奖概率）： 采取类似于 2)的分析方法，可以求出“从 m 中选 n+1”型彩票各奖项的中奖概率 为：Ｐ1 = ；Ｐ2 = ；Ｐ3 = ；Ｐ4 = ；11nmC11 1m n nmC C  111 1nnm n nmCC C  121 1nnm n nmCC C  Ｐ5= ；Ｐ6=；P7=221 1nnm n nmCC C  231 1nnm n nmCC C  331 1nnm n nmCC C  4）第 23 种方案：此方案属于“35 选 7”的特殊“乐透型” ，但是此方案中没有 设置特别号码。

各奖项中奖概率如下计算：第 i 等奖中奖概率为：（i=1,2…5） 711 728 7 35iiCC C 具体所提供的 29 种方案各奖项的中奖概率（即各种奖项出现的可能性）见附表附表 四四（各奖项的中奖概率分布表） 2、、 对各方案影响因素的讨论：对各方案影响因素的讨论： 彩票的方案是否合理受到多种因素的共同影响，我们考虑将中奖面和一等奖单 注奖金的期望值作为评价的两个指标，对各方案的合理性进行评价中奖面越广， 一等奖单注奖金的期望值越高，对彩民的吸引力也就越大对彩民吸引力增大，必 然导致彩票销售总额的增加，从而方案也就越合理下面对各目标函数分别进行讨 论： 1)彩票的中奖面彩票的中奖面 P：： 中奖面为中奖的彩票总数与该期彩票的总投注数的比值彩票中奖面的大小与 彩民的直接利益息息相关，如果中奖面广，单注的中奖概率就增大，对于彩民来说 他购买彩票能够中奖的机率也就增加因此，中奖面是衡量方案合理性的重要因素 之一在此，我们用各获奖项的概率之和作为彩票中奖面大小的衡量指标，即：中奖面 (i=1,2,…,k)；1ki iPP（Pi为第 i 等奖出现的概率）2)一等奖单注奖金的期望值一等奖单注奖金的期望值 Z：： 通过对彩票业的良好现状及大量的资料进行分析，发现彩票的“巨额诱惑”是 导致“彩民”数急剧增大，彩票业蓬勃发展的重要因素之一。

也就是说当前大多数5彩民对一等奖的关注程度远远超过了对其他奖项的关注程度，一等奖单注奖金的期 望值的高低决定着对彩民的吸引力的大小因此，一等奖单注奖金的期望值也是衡 量方案合理性的重要因素之一一等奖单注奖金的期望值 Z 为：Z = = 1 411(2)2kii iNNPqtNP 1 41(1)kii iPqtP（变量说明：变量说明：N 为当期彩票的总投注数；Pi (i=1,2,…,k) 为第 i 等奖出现的概率；qi (i=4,5,…,k) 为低项奖中第 i 等奖对应的固定奖金额；t1 方案中一等奖对应的分配比 例 ）３、对各约束条件的讨论：、对。