第一章1 、设x〉0 , x的相对误差为b , 求 I n x 的误差［ 解］ 设x * > 0 为 x的近似值， 则有相对误差为£ ； ( x ) = 6 ,绝对误差为s\x )=a * ,从而 I n x 的误差为 f ( I n x ) = |( l n x *) ［ £ ( x *) =2 苏 =b ,相对误差为£ ： ( I n x ) =小挈=—1 oI n x I n x2、设 x的相对误差为2 % , 求 x 〃的相对误差［ 解］ 设X *为 X的近似值， 则有相对误差为£ ； ( x ) = 2 % ,绝对误差为£ *( x ) = 2%,*| ,从而 x " 的误差为 £ ( I n x ) = \(xn) ［ 『.£(x *) = 卜 ( x *) " T |2%|x *| = 2 n % •,相对误差为£ ； ( I n x ) = 一: 写 )=2〃 ％ o3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：%； = 1 . 1 0 21 , x ； = 0 . 0 31 , x ； = 38 5 . 6, x ； = 5 6. 430 , x ； = 7x 1 . 0 =［ 解］ x ； = 1 . 1 0 21 有 5位有效数字；x ； = 0 . 0 0 31 有 2 位有效数字；x ； = 38 5 . 6有 4位有效数字；X ； = 5 6. 430 有 5位有效数字； x ； = 7x 1 . 0 有 2 位有效数字。
4、利用公式( 3. 3) 求下列各近似值的误差限，其中x ； ,x ； ,x ； ,x ； 均为第3 题所给的数/ 1 、 * » »( I ) 尤］+尤2 +九4 ；e *( x ； + X ； +X ； ) = £ 枭 ［£ ( X ； ) = £ ( X ； ) + £ ( X ； ) + £ ( 》 ： )［ 解］ 人八次J ；= -x l 0-4 +-x l 0 -3 + 1 1 0 -3 = i 0 5 x 1 0 -32 2 2( 2) x ： x ； x ； ； £ ( x ： ) = ( ) £ ( %： ) + ( x ：光 ;) £ ( 无 ； ) + ( x ： x ；) £ ( %； )［ 解］= ( 0 . 0 31 x 38 5 . 6) ,x l ( r 4 +( i i 0 21 x 38 5 . 6) ,x l ( T 3+( ］ ］ O 21 x O . O 31 ) L x l ( r 3 ：2 2 2= 0 . 5 9768 x l O-3 +21 2. 48 48 8 x 1 O -3 + 0 . 0 1 70 8 25 5 x l O-3=21 3. 0 996425 5 x l O -3 = 0 . 21 30 996425 5( 3) x ； / x ；。
e *( x ； / x ： ) = Zk=l, )力⑹+ 号但)5 6 4 6 1 x l x l Q -3 « 0 . 8 8 65 4x l Q -5( 5 6. 430 )2 25、计算球体积要使相对误差限为1 % ,问度量半径R允许的相对误差是多少?4/("(A))［ 解］ 由 1 % = £ ； (—乃( R * ) 3 ) = T-------可知,3 * ) 3£ *( . 乃(R*)3) = l% xg 乃(R*)3 = g 乃(R*)3 £ *( 内) =4万 (7?*)2 X£*(R*),从而 £ *( R *) = 1 % X , R * ,故 £ ； ( / ?" ) = '(7，= 1 % X — = -^ ― o3 r R 3 30 06、设h=2 8,按递推公式％ = 工_1(〃 = 1 ,2/ -)计算到匕0 0,若取V 78 3 « 27. 98 2 ( 五位有效数字， )试问计算丫仙将有多大误差？［ 解］ 令］表示匕的近似值,e *(Yn) = Yn-Yn,则e *( y0 ) = O,并且由匕= 心X 27. 98 2,匕= 匕一— 焉X国 可 知 ，匕— 匕= ET—%T- 焉x ( 27. 98 2— 闹), 即e *( 匕) = / ( / „. ,) 一卷 x ( 27. 98 2- A/ 78 3) = e *( / „_2)一总乂 ( 27. 98 2- V 78 3) =…， 从而 e * ( Kl 0 0) = e *(乂) -( 27. 98 2 - /783 ) = 778 3 - 27. 98 2 , W |V 78 3-27. 98 2|<-x W3, 所以f *( ri oo) = -x l 0- 31)7、 求方程/ —5 6x + i = 0的两个根， 使它至少具有四位有效数字( V 78 3 « 27. 98 2 )［ 解］ 由x = 28 士 J丽 与 J丽a 27. 98 2 ( 五位有效数字) 可知，%1 = 28 + 778 3 = 28 + 27. 98 2 = 5 5 . 98 2 ( 五位有效数字) 。
而 / = 2 8 丽= 2 8 -27. 98 2 = 0 . 0 1 8 ,只有两位有效数字，不符合题意但是 x , = 28 -V 78 3 =——屋==—1— = 1 . 78 63 x ］ 0- 2o• 28 + V 78 3 5 5 . 98 28 、当 N充分大时，怎 样 求 「'一 二 d x ?入 1 + x2［ 解］ 因 为 P1―;d x = ar ct an ( N + l ) -ar ct an N , 当 N充分大时为两个相近数相1 + x2减，设 a = ar ct an ( N +1 ) , (3 = ar ct an N , 贝 ！J N + 1 = t an a , N = t an 夕，从而/ c、 t an - t an / ?t an ( « -/ ?) =-----------1 + t an cr t an °(N +1 ) — N _ 11 + N(N +1 ) - W + N + 1fr+ i 1 |-----d x = a - 0 = ar ct an —； -------l + x2 N2 + N + 19、正方形的边长大约为1 0 0 cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 c机2?［ 解 ］由 £ *( ( / *) 2) = | ［ ( / *) 2丫" ( / *) = 〃*£ *( / *) 可 知 ， 若 要 求 £ *( ( r ) 2) = 1 , 则£ *( / *)屋( ( 厂) 2) 12/ * - 2x 1 0 0—, 即边长应满足/ = 1 0 0 士° -。
20 0 20 01 0 、设 5=3 /2 , 假 定 g是准确的，而 对 t 的测量有±0 .1 秒的误差，证 明 当 t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少［ 证明］ 因为 £*(S ) = (―)* £*(， ) = g f *£*(f ) = O .lg r*，d t£； (5 )=三 学 = 罩 * 1 =至 2 = 与，所以得证S权()t 5t1 1 、序列｛ y〃 ｝ 满足递推关系- 1 ( 〃 = 1 ,2 ,…)，若 九 = & ' 1 .4 1 (三位有效数字)，计算到力 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ ［ 解］ 设歹“ 为 的 近 似 值 ，则由，y0 = ^ 2 与乂 =1 0 )' ,1一1V = ］ 4 1 1歹 二 区 " 可 知 ‘小 )=”产—小…八 即£*(> ,) = iO £*(y,T )= io"£*(y )，从而£*(必0 )= 1 01 0^ (y0) = 1 0,0x l x 1 0 - 2 = g x 1 ()8 ,因此计算过程不稳定1 2、计算/ =(四一1 )6 ,取& al . 4,利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？ ———，(3- 2扬3, - - - -9 9 - 7 0 7 2 o(V 2 +1 )6 (3 + 2 V 2 )3［ 解］ 因为 £*(/ )=g x l()T ,所以对于/ ,］(V 2 + 1 )6*(£)= / ' e *(1 .4 ) = -^ - x l x l O - ''1 (1 .4 + 1 )7 2= 6 .5 4 x 1 0 - 4 < lx io- 2 ,有一位有效数字;2对于£ =(3- 2扬3,e "(£)= K / (1 .4 ) = 6 (3- 2 x l.4 )2 x lx lO- 1 =0 .1 2 x l0 ' ' < | x l 0- 1 ,没有有效数字；, - 1对于人= - - - - - 尸Y，(3+ 2扬 3e *(A )=、e *(1 .4 ) = - - - - - - ——7 x 1 ()7 =2 .6 5 x 1 0 - 3 <1 0 〃， 有一位有效数3 3 (3 + 2 x l.4 )4 2 2字；对于£ = 99一7 0匹 ，e *(£)= £' e *(L4 ) = 7 0 x ；x l()T =35 x l()T <；x l(y ,没有有效数字。
1 3、/ (x ) = ln (x - 7 7 ^ T ),求/ (30 )的值若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一- 等价公式ln (x - 7 7二二， )计算， 求对数时误差有多大？［ 解］ 因 为 而7=1 = 屈 ^ = 2 9 .9 8 33 (六位有效数字)，£*(X) = LX1 0 -4 ,所以2 e *(力)=(/ J *e *(x )- - - - - -, x - x l O- 4( 30 - V 3O2 - 1 ) 2- - - - - - 5 - - - - - - x l x l O- 430 - 2 9 .9 8 33 2= 0 .2 9 9 4 x 1 0 - 26 *（ 32 ） = | （ 月） *卜 * =————x i x l O- 4x + yjx2 - 1 2- - - - - - - - - - - -x —x 1 0 430 + 2 9 .9 8 33 2= 0 .8 336 x 1 ()61 4、试用消元法解方程组占x 十+ 1IUO 1 0 Xr 2=- i1 Uo 1 0, 假定只有三位数计算，问结果是否X ］ + = 2可靠？in10 1 A10 _ 9［ 解 ］精确解为/= 弋一而二。
当 使 用 三 位 数 运 算 时 ， 得到1 0 ,°- 1 1 01 0- 1项=l,x2 = 1,结果可靠1 5、已知三角形面积$ = L y si ne,其 中c为弧度，0 -（X -X "T）1 Xx j,, xo匕（ X o， X ” 一1 X "T X ,3 •• •，证明匕（ x ）是n次多项式，它的1 X X2…xn, 一 ! ' 一 |匕（ X o， x ” … ,x ,i， x ） = 口 口 （ 匕- 勺） •口（ X - X j ）［ 证明］ 由 < =° > =° 7 =0 可得求证。
一 != % T（ X 0 ,X i「 、X "_ ） n （ X — X j ）j=02、当x = l,- 1 ,2时，/（ x ） = 0 - 3,4 ,求/（ x ）的二次插值多项式x - x 1 )(x - x2)4 (%)=% ； - - - - - -- - - - - - - - r + 必(%0 - %! )(XO f)(X - X o)(X - / )(七一X o)(X I - X2)(X - X o)(X - X |)(x2 - x0)(x2 - %,)［ 解］ =Ox(x + l)(x - 2 ) * * - N d )(1 + D (1 - 2 ) (- 1 - 1 )(- !- 2 )3、给出/ （ x ） = ln x的数值表用线性插值及二次插值计算In 0. 5 4的近似值X0. 40. 50. 60. 70. 8In x- 0. 9 16 2 9 1- 0. 6 9 3147- 0. 5 108 2 6 - 0. 35 776 5 - 0. 2 2 3144［ 解］ 若取 4 =0. 5 , %1 = 0. 6 ,则 为 =/( /) =/( 0. 5 ) = — 0. 6 9 3147 , = f (x j = /( 0. 6 ) = - 0. 5 108 2 6 ,则, , 、 X-X. X - Xn X - 0. 6 x - 0. 5L. ( x ) = y0- - - - - - + y .- - - - - - = - 0. 6 9 3147 x - - - - - - - - - - 0. 5 108 2 6 x- - - - - - - -'xa - x , ' X 1 - x0 0. 5 - 0. 6 0. 6 - 0. 5 ,= 6 . 9 3147( x - 0. 6 ) - 5 . 108 2 6 ( % - 0. 5 ) = 1. 8 2 32 lx - 1. 6 0475 2从而 L , ( 0. 5 4) = 1. 8 2 32 1 x 0. 5 4 -1. 6 0475 2 = 0. 9 8 45 334 - 1. 6 0475 2 = - 0. 6 2 02 18 6。
若取与=0 . 4 ,为 =0. 5 , x2 = 0. 6 ,则 凡 =/( /) = /( 0. 4) = - 0. 9 16 2 9 1,必= / ( x J = /( 0. 5 ) = — 0. 6 9 3147, y2 = /( x2) = /( 0. 6 ) = - 0. 5 108 2 6 ,则 L2M = y0( X - X j ) ( x - x2)( x0 - x ,) ( x0 - x2)( x - x0) ( x - x2)( X | 一 ％0) (占 一 刀2 )( x - X o ) ( x - X |)( x2 - x0) ( x2 - x j= -0.91629 lx(x — 0.5)(x — 0.6)(0.4-0.5)(0.4-0.6)+ (-0.693147) x(x — 0.4)(x — 0.6)(0.5 — 0.4)(0.5 — 0.6)+ (-0.510826) x(x — 0.4)(x — 0.5)(0.6-0.4)(0.6-0.5)=-45.81455 x (x2 -1 . lx + 0.3)+ 69.3147 x (x2 - x + 0.24)-2 5 .5 4 1 3 (/ -0 .9 x + 0.2)= -2 .0 4 1 15x2 + 4.0 6 8 4 7 5 x -2.217097从而L2(0.54) = -2 .0 4 115x 0.542 + 4.068475 x 0.54 - 2.217097=-0.59519934 + 2.1969765 - 2.217097 = -0.615319844、给出c o s x O W x 4 9 ( T的函数表，步长% = l ' = ( l/6 0)。
，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求c o s x近似值时的总误差界［ 解］ 设插值节点为X ( ) < X < X ］ =X o + % ,对 应 的c o s x值为，函数表值为歹0， % ,则由题意可知，瓦 - 焉K g x l O - 5 , M-% Kgxl O-5,近似线性插值多项式为乙) =歹 士 红 + 其 上 乱 ，所以总误差为了 一 七 七一乙R ( x ) = /( %) - 4 ( x ) = f ( x ) - 4 (x ) + L, (x )- L, ( x )_%) - “ _々_ . +( 乃 _ % )X X , 从而2 !xQ - X ] xx - x0c o s j/ 、 / 、 / _ 、X - X ] / _ x X-x0 匕 / \= 一 ——( x - x0) ( x - x1) + ( y0- y0) - - - - - -+ (% —% ) - - - - - - -， J e ( x o ， x j2 x0 - x} x} - x0|R ( x ) |w 3c o s J ( x - X o ) ( x —演) | +1 % 一 % | X , +|y , - y j a「 。
L X o 一 X ] 11 一 %/ 1/ 7 1 i n_5 X -X{ 1 i n_5 X -XoK — (x — xn )(x — x .) H - x 10 x ------------1 — x 10 x ----------2 2 x0 - X j 2 %j - x0<- - + -X 1 0-5 = - x —1 — 4 -lx lO-5 = -x 6 .9 4 x l0 -5 +-X 1O ^5 =3.47x10-52 4 2 2 14400 2 2 25、设 = % + 攵/ z , k = 1,2 ,3 ,求 m a x | Z2 ( x ) | max |/2(x)| = maxx^
2 )设 /(y ) = (y-X ) ” , 则左侧是/(y ) = (y - x)k的 n阶拉格朗日多项式， 令 y = x ,即得求证7、设/(x ) e 力力］ 且 /(a ) =/(/?) = 0 , 求证 m ax|/(x)|： — (b -a m ax/"(x)|a< x< b' 1 8 4 । 1 [ 解] 见补充题3 ,其中取/ m ) = / s ) = o即得8、在-4 WxW4上给出/* ) = " 的等距节点函数表，若用二次插值求/的近似值，要使截断误差不超过10Y ，问使用函数表的步长h应取多少？[ 解] 由题意可知，设X使用节点X X ] , X ] , £ = X [ + 力 进行二次插值，则R?(x ) = ( X - x0 ) ( x - X | ) ( x - x2)插值余项为 g 3- ,= — [x -(x , -h )] (x -xl)[x -(xi +/?)] , e ( x0,x2)6令/( x ) -[x -( X ] - h )] (x — x , ) [ x -( X ] + h )] - x3 - 3 xtx2 +( 3x ； - /?2) x + xl( xl2 - h2),则 : 。
) =3 / _ 6》 / + ( 3无 ； -心 ，从 而/( x )的极值 点 为 》 =用土、 〃，故I j.,、 ] V s , Vs a 7 2V3 3 而m a x / ( x ) = — — / ? • ( 1 + — —}h - ( 1——)h = — — h ,而1 3 3 3 9|R ,( x )区 或m a x |/( x心 色 空 〃 3 = ①〃3 ,要使其不超过i ( ) q 则有1 - 1 6 尾3 1 6 9 2 7<10- 6 ,即/2 M 0 2 ?r]0 -2 = 3.4863x 10一2 = 0. 472 x l0- 2o2 7e ? 7. 38 99、若y “ = 2 " ,求及贷治4 (4、 4△ ” = ( £ — /) 、 = E( - i )y . U4- >y „ = :(T» . y „+4 -j六 ⑺ ； =o ⑺[ 解] =( —l )°Qy“ +4 +( T )[ : 卜+3 +( 一1) ( ；卜2 +( 一[ ) [ ； 卜M +( T )4(:1 °= 2,,+4 — 4 x 2 "+3 + 6 x 2心2 _ 4 x 2,,+| + 2 "16 x 2 ” - 32 x 2 ” +2 4x 2 " - 8 x 2 " +2 " =2 " 办 “= （E；—建 ） 〜= 与 （ -1） ， （ ；归 ”， 官q= 火 （ -1）俳 巾"； = 0 \JJ 六 o 7）= （T） °（［O4 、 y“+2+（ -1） ［， 4J、y ”+i+ （ -1） 2 2 北 + （ 一1） 3， 43、 j " i + （ — "4（144、 ""2°=2"+2 -4 x 2"+' + 6X2" - 4X2"-' + 2"-2= 16x2"-2 -32x2"-1 + 24x22 - 8x2"-2 +2"-2 = 2"-210、如果/ *） 是m次多项式，记勺' （ 幻 = / 。
〃 ） - / （ 幻 ，证明/ （ x）的k阶差分心 / 0 4攵〈机） 是用—人次多项式，并且N " " （ x） = O （ 1为正整数） ［ 证明］ 对k使用数学归纳法可证11、证明△（ 九g*） = "g*+i + f Z k［ 证明］△ （ f « g k） - f k+ \ 8 A + 1 —f k 8 k — fk+1 g k+ l —fk 81+| + / k g k+ l —fk 8 k=（fk+「fk）gk+i + —（ g"i -g * ） = Af*g*+i +ZtAg*n—l 〃 一 112、证明 £人品人. =fng „ -fogo- £ g k M = 0 k= 0［ 证明］ 因为， 一 ! ,一 ［ ， 一 ］E fZ k + £gk+ M = E（f M + gk+M）k=0 k=0 k=0 ，故得证 一 ! . 一 !='Xjlfk（8k+\ -g k）+ gk+i（fk+\ ~ fk） ］ = E（gk+ifk+i— fkg*）= fnSn -fngnk=0 k=Qn -l13、证明：^ A2y. = Ay„ -Ay0o六 。
一 ! ,一 ］［ 证明］Z x = Z （ Av * - △ ） '3） =一 △为>0 j=014、若/ （ x） = aa +qx + …+ a._］ X"T +%x"有n个不同实根为,4 ,…,x“，证明g x; _ JO, Q < k< n-2♦八x,） —1丁 , k = 〃 — l °［ 证明］ 由题意可设 / （ x） = a"（ x-X］ ） （ x-X2>・< x-x“） = % n（ x-Xj） ,故 f '(Xj) = 立( 勺- 七) ,再由差商的性质1和3可知:1 = 1t ^ - = t——-——M ’ xt x” …, x“ ] = L攵E,从而得证/=1H j1 5、证明n阶均差有下列性质：1 )若 F( x) = ( / ( x) ,则尸0 0 ，七, …,x. ]= 〃为用, …,x“ ]；2)若F( x) = / ( x) + g( x) ,则 F[ x0, xl, - - - , x„] = / [ x0, % , , - - - , x„] + g[ x0, % , , - - - , x„]o17r i S F(Xj) ( cf (Xj)f[ X o， X |, …, x“ ] = - - - - - - - -= - - - - - - - -川 立 ⑴ -a ) ， = ° n( X jf)i=0i=0[ 证明]1 ) ” ⑹ ⑴=c f “ "X ， )- = cf [x0,xi,---,x „]>on (x7. - x, . )i=0H j2 )网X o， X ” …， x,』二£ “ —> =° n( x； - x, )i=0H jf/ ( X j) + gQ j)网 立( X j f )i=0i巧/ / ( X j) / g( X j) 1r I= L-----：----+ L -- - - - -：- - - - =/ [ X o, / , •••, x,』+ g[ X o， X |,一 - ,x,』， = °力 ⑸ - 七 )>on (x7. - x, . )j= o 1=0Nj H j1 6、/ ( x) = x7+ x4+ 3 x + l ,求 /[ 2 °, 2 1、2 7], / [ 2 °, 2 ' , - , 28] = = 0oo! o![ 解]/ [ 2。
2,…2] =g产=1 = 1 , /[20,2 ',-,28]O1 7、证明两点三次埃尔米特插值余项是R . 3 ( x) = /< 4 )G) ( x -Xk)2(x -xk+t ) 2 / 4 !, J e ( x* , xk+}),并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限[ 解]见 P3 0 与 P3 3 ,误差限为 w( / z ) + — / ? maxi d o2 7 11 8、 X X X X X X X X X X .1 9、求一个次数不高于4次的多项式P ( x ) ,使它满足P( 0 ) = P( 0 ) = 0 ,p⑴ = p g ) = l , P( 2 ) = 1 o ［ 解］ 设 P( x) = a4x4 + a3x + a2x2 + a}x + a0 ,则 P'(x ) = 4 a4x3 + 3 a3x2 + 2 a2x + a) ,再由 P( 0 ) = P' ( 0 ) = 0 , P( 1 ) = P,( 1 ) = 1 , P( 2 ) = l 可得：0 = P( 0 ) = &0 = p( 0 ) = 6< 1 = P( l ) = % + % + & +。
］ + 旬1 = Pf(x ) = 4 % + 3 a 3 + 2 a 2 + /1 =尸⑵=1 6a 4 + 8 % + 4 a2 + 2 % + a00=« o0=94=2 °从而—32= %］_4=«4* 、 1 4 3 3 9 2 1 / 2 ( C、X2(X-3)2P(x ) = - x — x - \ — x — — ( x - 6 x + 9) =- - - - - - - - - o4 2 4 4 42 0、设/ ( x) eC ［ a, 6 ］ ,把［ a,可分为n等分， 试构造一个台阶形的零次分段插值函数化( x) ,并证明当"- > 8 时，化( x)在［ a, ］ 上一致收敛到了 (x)s u p f (x )+ inf / ( x)［ 解］ 令0( x) = ^ ^ ——, i = l , 2 , 3 , …,〃2 1、设/ a) = 1 / ( 1 + 马 ，在一5 W x V 5上取〃 = 1 0 ,按等距节点求分段线性插值函数〃(x ) ,计算各节点中点处的/ 〃 (x)与/ ( x)的值，并估计误差。
［ 解］ 由题意可知，h = l ,从而当x e卜时，1, zA x, ) =, f,, l . +, f, 1 x - xk+l 1 x - xkk+Jk+, =------7 ----------------- H ---------------------- ;-------------------\ + k- xk -xM l + (k + i y xk+i-xk11=) + …)2 2、求/ ( x) = /在［ a力］ 上的分段线性插值函数/ “ ( x) ,并估计误差［ 解］ 设 将 ［ ㈤ 划 分 为 长 度 为h的 小 区 间 =/《不<… W x “ =b ,则当x w ［ x« , x* + J, % = 0 , 1 , 2「、 加 一1时 , 2 Xf _ xl+l(x -xk) - x l(x - xk十xk+ l -X(XA + I ~ Xk)+ Xk+ \Xk ~Xk+ iXk _ , r \ _ r r—AvA* + i +" " —At + fAi tX4 + l -Xk从而误差为 / ? 2 ( X ) = ’ ,( X - xk ) ( x - X * + I ) = ( X - xk ) ( x - X « + ]) ,h?故 |的( x)| = |(x - X * )(x - x*|) K 彳 。
23、求/ （ x） = x4在［ a,以上的分段埃尔米特插值，并估计误差［ 解 ］ 设 将 以 划 分 为 长 度 为 h 的 小 区 间 a = x（） ＜ X ］ ＜…W x“ = b ,则当xe [9 ， 4+」，k =0,1,2,•••,«-1时 ,4(x )= fkak + 加 4 + i + fkPk + H +O+G )( xf ) + 4xL从而误差为 R2(X)= f JO)( X - X * ) 2 ( X - X * + 1 ) 2 = ( X - X « ) 2 ( X - X « + ] ) 2 ,故我2 （ x ） | = （ X - 々） 2 （ X - X “| ） 224、给定数据表如下：Xj0.250. 300. 390.450. 53X0. 50000.54770.62450.67080. 7280试求三次样条函数S （ X）,并满足条件:1) S'(0.25) = 1.0000, S'(0.53) = 0.6868 ；2) S"(0.25) = S〃 (0.53) = 0 [ 解]由％ =0.30 — 0.25 = 0.05, h} =0.39-0.30 = 0.09, h20.45-0.39 = 0.06, h% =0.53 —0.45 = 0 .0 8 ,及 ( 8. 1 0 )式 4 = ——) - -% + %hHhH + hJ可知，儿h\0.099144h20.062h} +/i2 0.09 + 0.06 54〃 3% + /?| 0.05 + 0.09Ai力 30.084h2 + 力3- 0.06 + 0.08 -7%0.055h0+ h\- 0.05 + 0.09 -- 14h20.063h2 + %- 0.06 + 0.08 --7〃 2%0.093/Z j + h, 0.09 + 0.06 5由 (8 .1 1 )式 gj =3(/17f+ (j = l,…〃 -1 )可知,gi = 3 ( 4 / [ XO， X |] + 〃J[ X |, X 2 ]) = 3 [9। 5 / ⑺- / 3 ) ]14 x, - x014 x2 -x .c /9 0.5477-0.50003x(—— x ---------------------14 0.30-0.25. , 9 477 5 768、3 x (— x ----- 1 ----- x ----- )14 500 14 9005 0.6245-0.5477+ 一x —14192790.39-0.3070002.7541)2 / (X2) - / (X,) ^ 3 / (X3) - / (X2)g2 =3(22/[x1,x2] + /z2/[x2,x3]) = 3[-- ---------------------------- 1 -------------------------------j532x0.6245-0.5477 + 3x0.6708-0.62455 0.39-0.30 5 0.45-0.393X( 2X%2)5 900 5 6004x256 + 3x463 _- Z.今 ID1000小 小、 一 ，—、 “ 4 /(x 3 ) —/ U ) , 3 / (X4) - / (X3)1g3 - 3( 4 / 屏2， %3] + 〃 3/ [》 3， 、 4]) - 3二 + ]7 x3 - x2 7 x4 - x3o z4 0.6708-0.6245 3 0.7280-0.6708.=3 x (— x---------------------+ —x ----------------------)7 0.45-0.39 7 0.53-0.45o 从而4 463 3 472、3 x (- x ------ 1 — x-----)7 600 7 8004x463 + 9x118 1457--------------------- = ------- = 2.08141400700251401）矩阵形式为:25235in 292.7541- - x 1.0000142.4132.11122.413，解得0472〃 ?332.0814 —— x 0.686871.7871 m2m30. 907 80. 8 2 7 8 ,从而 S ( x ) = / %( “ ) + 勺 £ / ( x ) l °0. 65 7 0 7 = 02)此为自然边界条件，故g0 = 3 2』= 3、/ 5 4 7 7 一 OS O。
、 乜 Z8 62 ；° 0 ' x , - x0 0. 30- 0, 2 5 5 00g“ = ， x “ 】 =3 x -2- - - - - - 人x “ Ft3 xa 7 2 8 0- 0：67 080. 5 3- 0. 455 7 2= 3x -= 2 . 145 ,8 001414矩 阵 形 式 为 ：m4m2加3- 2 . 8 62 -加02 . 7 5 41叫2 . 413，可 以 解 得机2, 从而2 . 08 14加32 . 145加429200050000252350047237m000472S ( x ) = 工 [兀 %( %) + 血 血 ( 》 ) ] j=o2 5 、若 / ( x ) e C2 [a , b ] , S ( x ) 是三次样条函数，证明1 )[[f "M ]2d x -[[S "(x )]2d x = f [f 'M -S \x )]2d x + S \ x ) [ f M -S "(x )] dX ；2 ) 若 J ( x J = S ( x J ( i = 0, 1, …, 〃 ) ， 和 玉为插值节点， 且 a = / < X] < …< x “ = 6贝 l j f S 〃( x ) [/ 〃 ( x ) -S \x )] d x = S \b)[f \b) -S '(b)] - S \a)[f '(a) - Sf( a ) ] 。
S "(x )]2d x + 2 ^ S "(x )[f "(x ) -S "(x )] d x=f r/ 7 x ) - 5f f( x ) ]2 + 2 S "M [f \x ) - S \x )] d x[解] 1 ) = f{ " " ( x ) — S " ( x ) ] + 2 S " ( x ) } " " ( x ) — S " ( x ) Mx=f" " ( x ) + S " ( x ) ] " 〃( x ) - S " ( x ) ] dx = [[f (x )]2-[S \x )]2d x=1 \ f \ x ^ d x - [ \ S \ x ^ d x2)由题意可知，S ” ( x ) = A, x e [a,b] ,所以 f s -S \x)]dx = {S"M [f'M -S 7x)1 } ： 一 f " '(x)-5 'M ]S\x)dx= S 〃 (b)" 0 ) - S W - 5 "⑷ " '⑷ — S '(a)] — A， " '(x) — S '(x)]dx= S"(R " 0 ) - S'S)] - S"(a)"'(a) - S'(a)] - A[f(x) 一 S(x)]：=S "(b)" 0 ) - S 0 )] - S 〃⑷" '⑷一 S '(a)]补充题：1、令x( ) =0, x, = 1 ,写出y(x) = e-，的一次插值多项式L /x ) ,并估计插值余项。
［ 解］ 由九= y(Xo) = e" = 1，% = y(X1) = e "可知，L] (x) = yX - X] x — X - 1 _I x — 00-------- + y{-------- = 1 x ------+ e x -------' /_再 X , -x0 0-1 1-0 ,=一 ( 九 一1) + e"x = 1 + (e" -l)x余项为 & (x)=义 筝(x — x0)(x — / ) = ?x(x -1), 火( 0,1),故园腐\Ie~^ I x max|x(x -1)| = - xlx —= -I । o
小幼 b -a［ 证］ 因为〃 ) + 必上父(x -a )是以a, b为插值节点的/(x )的线性插值多项b -a式，利用插值多项式的余项定理，得到：/ ( X ) - ［ /(«) + 二 / ⑷( X- a)］ = : / " e ) (x-«)( X — b ) ,从而b -a 2 ma x f (x )-[f \a) + 】 ma x / " ( J ) - ma x (x -a)(x -b)幼b — d 2 " " 幼 a<> x< ,bo=: ma x / " C) - J (b-a)2 = ： (b - a): ma x / " ( x )2 a< ^ < h 4 8 a< x < b4 、设 / ( x ) =1 + 5 / + 1 ,求 差 商 / [2 ° ， ] , / [2 °, 2 ', 22] , f [2 , 2 ] …, 2 ， ] 和/ [20, 2 ', - , 28] o[解] 因为 / ( 2 °) = / ( 1) = 7 , f (2 ' ) = /(2) = 27 +5X23 +1 = 169,/ ( 2 ?) = / ( 4) = 47 + 5 x 工 +1 = 167 05 , 月 以 / [2 ° , 2 '] = j ⑴= 169- 7 = 162 ,/ ⑵ , 2 2 ] = 当匕皿=坨吐吧= 8 2 68 ,4- 2 2”2 1卜 / ⑵ ， 土产] =8 2 68 - 162 =/ [2 °, 2), - , 27]== ^ = 1，f [2 ° ,2 ',-,2s] =g0o5 、给定数据表：i = 1, 2 , 3, 4, 5 ,12467/ ( X, )41011求 4 次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
［ 解］七/ 区 ）一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421- 340256611 _2247-60710,161- 12118 0由差商表可得4 次牛顿插值多项式为: 5 7N4 ( x ) = 4 - 3( x - 1) + ( x - l) ( x - 2 ) - (x - l) ( x - 2 ) ( x — 4)o o O+ o n ( ' - D ( 九 一 2 ) ( x - 4) ( % - 6)18 ,插值余项为=4 - 3( x - 1) + ( x - l) ( x - 2 ) - ( x - l) ( x - 2 ) ( x - 4)o 60+ ( x _ D ( x _ 2 ) ( x — 4) ( 尤 - 6)1 o O& ( X) =C( x - l) ( x - 2 )(x - 4) ( x - 6) ( x - 7 ) , J e ( 1, 7 ) 06、如下表给定函数：i = 0, l, 2 , 3, 4,01234/ （ 七）361118 2 7试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。
［ 解］ 构造差分表：王/ ,A2/ , A3/ , A "0332001652021172318942 7N*° +t h ) = f^A2/O+ -由差分表可得插值多项式为： _ 2= 3 + 3f + ^^x2 = 3 + 3f + fQ - l) = f2 + 2 f + 3 第三章函数逼近与计算1、( a ) 利用区间变换推出区间为［ a / ］ 的伯恩斯坦多项式;( b ) 对 “x ) = sin x 在 0 ,^上 求 1 次 和 3 次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较［ 解］( a ) 令x = a + ( Z?- a ) f, 贝 1 式 」 ］ , 从而伯恩斯坦多项式为纥( / ， x ) = £/(丝R ) A (X)，其中兄(X) =k=O n〃 、k,xk(b-a-x )'-ko( b ) 令 x =『 ，贝 h e［ o , l］ ，从而伯恩斯坦多项式为纥(i寺 鼻 他 其 中 "Hl*"8 "， x )=之 若 ) " )=/(0)］ ： 卜 信 - j +k=O ， I ， 73 77^83 (九 X )= Z / ( Z ) A ( X )k=0 6=/ 啕嗯3 +吗) 伊( 尹) 2+ 吗 ) ［ 犷e 2+ "D/"=s i n Ox f --x > l +s i n —x 3 x (--x )2 + s i n x 3 x2 (--% ) + s i n — x %3<2 J 6 2 3 2 23 71 2 3 6 2 /乃 、 3 3 7t2 2 3 、 3 73 H 2 3 3=X (---X ) d ---X (-------X )4 - X = —(------ X - 71X 4 - X ) H -----(— X —X ) 4 - X2 2 2 2 2 4 2 2=(x — 1% (2 —6口2 -1 (3A/ 3-5 )X32 、求证：( a ) 当加 < /(x ) < 〃 1 3寸 ，m < Bn(f ,x ) < M ；( b ) 当 /(x ) = x 时，B〃(f ,x ) = x。
［ 证明］( a ) 由4 (/,x ) = £ / ( A ) 鼻(x )及他可知,A = 0 n 〃 * "(x ) < £m Pk(x ) < Bn (/,%)< ^ M Pk( x ) < M X Pk(x ) ,k= 0 & =0 k= 0 k= 0而 £& ( x) =£ (i -x )k= 0 k= 01化 J" M = [x + (1 — x )]“ = 1 , 从而得证 b ) 当 /(x ) = x l f j ,3 k « k (n \纥(£ x )= Z 〃—)居(x ) = Z / ㈠ —x )k = o n k = o n ykj〃 K"°x°q k x 〃 ！Mn ■(〃-% )!_xf (»-D!xA(l - X)“Y = V ------- -------------X/T (1- x )(-F Tt f (^-l )! [(n -l )-(^-l )]!x \l -x )(n -I W = x [x + (l —x )『 i = x3 、 在次数不超过6 的多项式中， 求 /(x ) = s i n 4x 在 ［ 0,2 句的最佳一致逼近多项式。
［ 解］ 由 s i n 4x ,x e ［ 0,2 乃 ］ 可 知 ， - 1 4 s i n 4 x W l , 从 而 最 小 偏 差 为 1 , 交错点为卫 = 肛 ？肛 ? 肛 ？肛［ 匹” 肛” "， 此 即 为 的 切 比 雪 夫 交 错 点 组 ， 从而8 8 8 8 8 8 8 8P (x )是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得P(x ) = 0 o4、假设/(x )在 ［ a,"上连续，求 /(x )的零次最佳一致逼近多项式［ 解］ 令根=i n f f (x ), M = s u p /(x ),则 /(x ) =" 土 ' 在 ［ a,”上具有最小偏差a" 幼 a< x < b 2" 二 巴 ，从而为零次最佳逼近一次多项式25、选择常数a , 使得ma x* —词 达到极小，又问这个解是否唯一？0
f ( hx _ x s i n - - s i n 0 ? ?[解]由 ％ =J- ----- = f \x2) = co sx2 =-----------=—可得 了 2 = ar cco s — ,从b — a - - 乃 _0 71 - 兀2 -而最佳一次逼近多项式为 八 2］ I 2 2 O + ar cco s 一y = c " (a) + /(X2)］ + a,(x - a ) = ［ s i n 0 + s i n (ar cco s )］ + (x ------ -—— —)2 2 2 71 71 2-4 2 z 1 2 、 2 J 万 2 -4 1 2=------- + — (x —— ar cco s —) = —% + ----------- ar cco s 一2 乃 4 2 71 71 2 乃〃 7V7、求 /(x ) =" 在 ［ 0,1］ 上的最佳一次逼近多项式［ 解］ 由％ = f( "f( a)= f '(x2) = * = = e - 1 可 得 超 =I n (e -l ),从而最b-a 1-0佳一次逼近多项式为y = —1 ［「/，(/^)、 + /r(z ^2 )X i］ + a\(z x----= ~le +1 er 0 ］I n+(e (T)e i- l )/ (x --~-- ---0- +-- l n-(-6 -—- -1))oe 1 e e — \=—+ (e — l )［ x —— l n (e - 1)］ = (e — l )x + ------- l n (e -1)2 2 2 28、如何选取r, 使 p (x ) = / + r在 ［ _口］ 上与零偏差最小？ r是否唯一？［ 解］ 由 m ax p (x ) = m ax (x2 + r ) = 1 + r , m i n p (x ) = m i n (x2 + r ) = r 可知当与零偏差最小时， l + r = r, 从而r = - L2另 解 ： 由 定 理 7可 知 ， 在 ［ - 1,1］ 上 与 零 偏 差 最 小 的 二 次 多 项 式 为—7\ (x ) = 一(2 x ~ -I ) — x ~---, 从而 v —— 。
2 2 2 29 、设在 ［ 0,1］ 上求三次最佳逼近多项式［ 解］ 设所求三次多项式为2 3 (外 ，则由定理7 可知f(x ) — P-^(x ) = —rTi(x ) — — (8x " — 8x ~ + l ) = x 4—x ~ + — > 从而I i gPy(X )— f(X )—(14 —/2 _ |--) — _ j_ 3 / _ ］ )_ (%4 — X~ + — ) — 3 x ' + 厂 ——o10、令T〃 (X) = 7； (2X — 1),X£［ 0』 ，求T； (X)、 T； (X)、 T； (X)> 工 ⑴ ［ 解］ 由 T,(x ) = T“ (2 x —可知，令 x = l + $ , r e ［ -1,1］ , 则T„( % + 1)= Tn (t ),t e ［ -1,1］ , 从而 T； (x )= < 11、试证｛T； (X)｝是在［ 0,1］上带权0 = 7 ^ =^的正交多项式y ］ x — x212、在［ - 1,1］上利用插值极小化求于(x ) = ar ct anx的三次近似最佳逼近多项式。
［ 解］ 由题意可知，插值节点为co s丝 」; (攵=1,2 ,3 )，8即 X 1 = C OS；肛 尤2 - C OS^-,X3 = co s |■ 肛 = COS鼻乃, 则可求得 L3(x ) o13、设/(x ) = e *在 上 的 插 值 极 小 化 近 似 最 佳 逼 近 多 项 式 为L ,,(x ),若有界，证明对任何”21 ,存在常数% ， 四 ，使得% % (x )| <| /(x ) - Ln(x )\< 闻 小 W | (-l ,此时误差为- + —x — « 7 . 986 x l Q -4 < 0 . 0 0 5 o7 ! 1 2 0 1 61 6 、/ (x )是［ -a ,a ］ 上 的 连 续 奇 (偶 )函 数 ，证明不管n是奇数或偶数， 〃x )的最佳逼近多项式工： (x)w”“ 也 是 奇 (偶 )函 数 。
［ 解］ f (x )的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的，再由切比雪夫多项式的性质4即得1 7 、求 a 、b使 f l / z x + b - s i n x ］ 2 d x 为最小，并 与 1题 及 6题的一次逼近多项式误差作比较K九 2 打 3 n［ 解］ 由 户1 工= 工， Px d x = — , x2d x = — , Jo = P s i n x Jx = 1 ,J ) 2 J) 8 A 2 4 」 )K £ KRxs i nx d x - (-x c o s x ) l j - P -c o s x Jx = 1 , 可得2 [b7i ~ 兀 3 aT 24Ja = — (4 -^ -) = 0 . 6 6 4 4, 解得 加Q6 = 令 ( 万-3 ) = 0 . 1 1 4 81 8、f (x ),g (x )e C'[a,b] ,定义(a ) (7 ,g )= f / ' (x )g ' (x )d x ； (b ) (/ ,g )= f / ' (x )g ' (x )d x +/ ⑷ g ⑷ 。
问它们是否构成内积？[解 ] ( a ) 因为 〃x ) = 0n( /J ) = f " ' (x )] 2 d x = 0 o / ' (x ) = 0, 但反之不成立,所以不构成内积 b ) 构成内积1 9、用许瓦兹不等式(4 . 5 )估计 的上界' 并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果0 . 1 96 1 因为上工上一< x6,x G [0 ,1 ] ,所以' ={— d x < f ——d x < f x6d x =—2 1 + x ! 」 1 4 」 )2 」 )l + x ] ) 72 0、选 择a ,使下列积分取最小值：^ (x -ax2)2d x , o[解 ]f (x -ax2)2d x = f (x2 -2 ax3 +a2x4)d x = - - — a + — a2 = — (a--)2 + — , 从」 ) 」 ) 3 2 5 5 4 4 8* 5if l j Q = o4当〃 = 0 时， [JX-QX?=( , 也 =j -x d x +[x d x = g + g = 1 ,当 时，由x -ax2 = 0,可得交点为x = — 9a1| x -t z x2| ^ / x = J (ax2 - x )d x + f (x -a x2)d x + [ (ax2 -x )d xa若 a > 1 ,贝U =一;/ ) ； +(~% 2 - 3奴3 )彳 — ,aA L 1 I I I I 2 1=(— a —— )+ —— -4 -—— -+ — a + —=——- + —a > I3 2 6a2 6a2 3 2 3 a2 3若 1 2 a > 0 ,贝 lj[Jx -a x 2 1 d x = j (x -a x 2 )d x + £( ^a x2 -x )d x = = 1。
同理可知当一 l Wa < 0 时，£ ,一 分2 1 d x = 1 ,当 Q <-1 时，£ | x -« x2| j x > 1 , Wf f 当时4 1时，积分取得最小2 1、设0 = s p a 〃{ l ,x } ,仍=S Pk卜0° ， ” } ，分别在外,仍上求一元素，使其为/EC[0,1]的最佳平方逼近，并比较其结果[解] 由[i d x = 1 ,M4卜卜可知,解 得 " = 一 % ,即 在 以 上 为b = l由2 0 1命 " =」-,b 2 0 2b 2 0 3f x1 0 0. x2Jx — , f x m -2 d x = - L 可知,1 0 3 1 0 4 即在外上为12 0 1112 0 21ah=11 0 31，解得•99x 2 0 1 x 2 0 2a =------------- x1 0 3 x 1 0 4, -98x 2 0 2 x 2 0 33 7 5 . 2 4 3b =---------------« -3 7 5 . 1 4 82 0 22 0 3 J[1 0 4」〔 1 0 4 x 1 0 3(3 7 5 . 2 4 3 -3 7 5 . 1 4 8)o2 2、/ (x ) = W在41 ,1 ］上，求在0 = 印即｛1 » 2 , / ｝上的最佳平方逼近。
[解] 由 \x \d x = ^ x d x = 1 , = £ - x3d x + 卜3 d x =—22325[ai1 5a - ---1 2 8， 产4 kl d x = x5d x + 卜 5 d x =；可知，232527=i2，解得＜, 210b =--- o1 2 8222LcJ11 0 5,579..3.c - -----1 2 8从而最佳平方逼近多项式为* )= 需+詈 /- 需-2 3、” ,,(了)= 包吗2警出是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系V l - x2wn +1(x ) = 2 j f w„ (% )-« „_ ! (x ) o[证明] 令％ =6,则一 , 、 , 、 c s i n [(n + l )a r c c o s x ] s i n (n a r c c o s x )2 x ” “ (x ) - « „. 1 (x ) = 2 x ------ - ==------------ —V l - X2 V l - x2_ 八 s i n [(〃 + l )8] s i n (〃6 ) 2 c o s 0 s i n [(n +1 )^ ] - s i n (n 0)s i n 6 s i n 0 s i n 6s i n (〃 + 2 )6 + s i n (〃e )-s i n (〃e ) s i n (« + 2 )0 , 、=~= w ,i (x )s i n 0 s i n 02 4、将" x ) = s i n g x在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。
[ 解] 若按照切比雪夫多项式展开s i n ^ =邑 + £ Q T ,(X)，其中2 2 k= iT s i n —c os 0,1 ,2 ,-；若按照勒让德多项式展开，71 J) 2s i n — = ^akPk(x ),其中% = 竺 出 ]s i n ' & (x)d x；从而2 k =o 2 1 2 劭 =2 " n ； Tdx= 2(- 2cos； ))| = 0 ；3 H JC 3 x H Y 3 ja, = — \ sin --xt/x = —[(-2xcos— )\ - \ -2cos —t/x] = — [(-4cos— ) + 4sin2 L 2 2 2 L 2 2 2= '[ (一4cosQ, + Ssin ]] = 12sin --6 co s —a2 =~ ^sin -^-(3x2 - l)dx = 0 ；a7. x 1 3 o x ,3= - J^ sin — —(5x* - 3x)ax= —{[-2x —(5x3 -3x)008— ]^ - £-2cos — —(15x2 -3)dx}2 2 ] 2 2= — [-4cos—+ f cos —(15x2 -3)dx]2 2^2= ( {-4cosg+ [2(15/ -3)sin ^]I_I - £2sin ^-30xJx}= -[-4 cos—+ 48sin - -60 f xsin-dx]2 2 2 27 1 i x 6 x= —{-4cos— + 48sin — + 60[(2xcos— )L)- ：2cos — dx]}2 2 2 2 ] 2= — [-4 cos —+ 48sin —4- 60(4 cos - -8sin — )]2 2 2 2 2= —(256 cos - - 432 sin — ) = 896 cos - -1512 sin —2 2 2 2 2从而三次最佳逼近多项式为x3sin — = y^akPk(x)= 〃 0(刈 + 巴乙(x)2 k= o= (12sin --6cos-)x + (896cos--1512sin -)-(5x3 - 3x)。
2 2 2 2 2= (2240cos- - 3780sin — )x3 + (2280 sin - -1340 cos — )x2 2 2 225、把 / ⑴ =arccosx在 上 展 成 切 比 雪 夫 级 数 ［ 解］ 若按照切比雪夫多项式展开arccosx = & + £ CtT, (x),其中2 & = iCA = — P arccos(cos^) cask 3d 0 = —= —[(—sin k )： -冗 )) 71 J) 7 T k2 1 9 2= - ( — cos^)；= [co s^-l] = - ^ [ ( - l)A--l]冗 K k~7T k 7 1( : sin ka/0] 从而arccosx = 一l］ /(x ) = ——£k=\ 戒 ~ 冗 k=\1(2 1 )2「（ X） 26、用最小二乘法求一个形如y = a + 法2的经验公式，使它与下列数据相拟合,并求均方误差1925313844%19. 032. 349. 073. 397.85［ 解］ 由 4 = 3(巧), /(巧))= X 力= 19.0 + 32.3 + 49.0 + 73.3+ 97.8 = 271.4 < >i=\5d2 = (^2(x.),/(x.)) = ^ y .x(2/=1= 19.0xl92 +32.3x252 +49.0x312 +73.3x382 +97.8x44?。
6859 + 20187.5 + 47089 +105845.2 + 189340.8 = 369321.55又(夕1(占), %(XJ )= Z 1 = 5 ,/=!出(七), 夕2(七))=£毛2 = 192 +252 +312 +382 +442i=\= 361 + 625 + 961 + 1444 + 1936 = 53275(< p2(X,.),(p2(X ,. )) = ^ x ^ = 194 + 254 + 314 + 384 + 444/=1= 130321 + 390625 + 923521 + 2085136 + 3748096 = 7277699故法方程为5 5327 T a5327 7277699J p求J解 珠 二 窝均方误差为士［ S (xj —= "+如2= 6.477025 + 2.732409 + 0.555025 + 0.729316 + 4.9729 = 15.46667527、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t （ 秒 ）00. 91.93. 03. 95. 0距 离 s （ 米 ）010305080110［ 解］ 设直线运动为二次多项式/(x ) = a + 必 + ex2, 则由6d［ = (/(七), /(巧))= Z % = 0 + 10 + 30 + 50 + 80 + 110 = 280 o/=i d? = M a） , / （ 巧） ） =Z y：xii= l= 0 x 0 + 1 0 x 0.9 + 3 0x 1.9 + 5 0x 3 + 80x 3 .9 + 110x 5 ,= 9 + 5 7 + 15 0 + 3 12 + 5 5 0 = 107 864 = M （ x, ） ， / （ x, ） ） = Z/ x ；/=1= 0 x 02 + 10X 0.92 + 3 0X 1.92 + 5 0 x 32 + 80X 3 .92 + 1 1 0 X 52。
8.1 + 108.3 + 4 5 0 +1216.8 + 27 5 0 = 4 5 3 3 .26又（ 例（ 3）用（ x, .） ） = Zl = 6,i= l6（ 9] （ x, .） ,（p2 （ x, ） ） = （ %（ 七） ， （ 七） ） = Z 七= 0 + 0 9 + 1 .9 + 3 + 3 .9 + 5 = 14 .7 ，/ = !（ P ] （ X , .） ,仍（巧） ） = （ 夕3 （ 玉） ,（p\（ X ,） ） = （ 夕2（ 演） ， 2（ X ,） ）6= 2 + 0.92 + 1.92 + 32 + 3 .92 + 52 =0.81 + 3 .61 + 9 + 15 .21 + 25 = 5 3 .63/ = 1632 （玉） , 3 （芭） ） = （93 （茗） ， % （4） ） = 2 ＞ ，3 = 03+ 0.93+ 1.93+ 33+ 3 .93+ 53i=l= 0.7 29 + 6.85 9 + 27 + 5 9.3 19 +125 = 218.9076（ 93 （天） , 夕3 （七） ） =1 ^： =°4 + 0.94 + 1.94 + 34 + 3 .94 + 54（ = 1= 0.65 61 +13 .03 21 + 81 + 23 1.3 4 4 1 + 625 = 95 1.03 23故 法 方 程 为14 .7 5 3 .635 3 .63 218.9076 14 .75 3 .63a- 280[a =- 0.5 83 7218.907 b=107 8，解得＜ b = 11.0814 o95 1.03 23 c4 5 3 3 .2_c = 2.24 88故直线运动为 /(%) = - 0.5 83 7 + 11.0814 x4 - 2.24 88/ 028- 3 1 略。
补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表:IA， 2A.......U%U]4.......U.试用最小二乘原理确定电阻R的大小［ 解］ 电流、电阻与电压之间满足如下关系：U = I R0应用最小二乘原理，求R使得然R ) = £(/, R — U , )2达到最小 对夕(R )求导得到：/ ⑻= 2 £ ( / / -UJ小/ = ! / = 1 令d (R ) = O,得到电阻R为R =上- - - -oEA2i=l2、对于某个长度测量了 n次，得 到n个近似值玉, 马, …,x“ ，通常取平均值x ^ - ( xt+ x2 +… + x“ )作为所求长度，请说明理由n［ 解］ 令9(x) = f( x -x ： )2 ,求X使得夕(X )达 到 最 小 对9(x)求 导 得 到 ：/=1(p \x ) = 2V (x-x, )，令0'(x) = O,得到％ = 工 £ 七 ，这说明取平均值X = L ( X ］ + X , +… + X " )在最小二乘意义下误差达到最小n3、有函数如下表，要求用公式丁 = " + 匕/拟合所给数据，试确定拟合公式中的a和b oXi- 3- 2- 10123%- 1. 7 60. 4 21. 201. 3 4 1. 4 3 2. 25 4 . 3 8[ 解] 取 *0(X )= 1，则663 o(x), %(x)) = Zl = 7，@ (X)， 9 ](X)) = 3 (X),*O(X) ) = ZX； = 0,i=0 i=0.63 i (x),( p \ (x)) = Z 坪 =15 88 ,而i=066(°o(x), y(x)) = Z% =9.26 , (x), y(x)) = x . yt = 180.65 0故法方程为f=0 z=0" 7 0 / 4( 9 . 2 6 ) [ a = 1.3 229| | = | ,解得《 o0 15 88」 ( 刈(180.65 ) [ b = 0.113 7 64、在某个低温过程中，函数y依赖于温度6 » CC)的实验数据为仇1234y ；0. 81 . 5 1 . 8 2. 0 已知经验公式的形式为y = 是用最小二乘法求出a和 b 。
［ 解］ 取 % （ e ） = e , 9阳 =心 ,则44（ 仰（ 夕 ） ， 仰 ⑹ ） =Z ' ： = 3 0,（ 0 ⑻ ， 夕 1 （ 8 ） ） =（ 夕 1 （ 8 ） ， 00（ 8 ） ） = £ 毋 =1 00，/=1 /=14® S ) M ( e ) ) = Z/=354 ,而1 = 14 4（ 生（ ） , ＞ （ 6 ） ） =工仇、=1 7 . 2, （ 0 （ ） , ） ，（ 6 ） ） =工 年 〉 , =5 5 故法方程为i=\ i=\3 0 1 00 何)(1 7 . 2、 , „/ a a = 0. 9 49 7= ,解得《1 00 3 5 4 [b J (5 5 ) b = - 0. 1 1 295 、单原子波函数的形式为y = a e ” ,试按照最小二乘法决定参数a和 b,已知数据如下:X0124y2. 01 01 . 21 00. 7 400. 45 0［ 解］ 对 y = a e " " 两边取对数得I n y = I na - b x ,令 Y = lny , A -\n a ,则拟合函数变为Y = A - 云 ，所给数据转化为X0124y0. 6 9 8 1 0. 1 9 06 - 0. 3 01 1 - 0. 7 9 8 5取 G 0（ X ） = 1 , （P\（ X ） = X ,则443 o (X ) , % (x ) ) = £ 1 = 4 , @(X ) , 必(x ) ) = 3 (x ) , % (x ) ) = Z 玉=7 ,/=1i=\4(°i(x ) M (x ) ) = Zx： =2 1,而1 = 14 4(°o (x ) , y (x ) ) = Z% = - 0. 21 09 , 3 i(x ) , y (x ) ) =工七兄=- 3 . 6 05 6 。
故法方程为/ = ! i = l4 7 忖_1 - 0. 21 09 、7 2 1k厂 [ - 3 . 6 05 6 ,A = 0. 5 9 46工 = - 0. 3 6 9 9解 得因 而 拟 合 函 数 为Y = 0. 5 9 46 - 0. 3 6 9 9 x ,原拟合函数为 y = e0-5 9 46- ° -3 6 9 9 j t = l. SnSe- 0-3 6 9 9-1 0 第四章数值积分与数值微分1 、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度1)£ f (x )d x X 4 "( 一 力 ) + 4/ (0) + A) (力) ;J - h［ 解］ 分别取 小 )=1 , 了 , ，代入得至|」 :A_ i + A + A = [ j d x = 2 hA _t (-/?) + An - 0 + A}h -1 产 d x = 0A_1(- / / )2+ AO- O2+ AI/ /2 = j x 2d x =33A_ 1 + A0 + At= 2 hA- i = A1A_ i + a = ?， 明4 = 2 / ?3A = - h1 6, 即又因为当 / (x ) = 1 时，A ] (T ? ) 3 + A) - o3 + 4 " = -: / + = o = 3 d x ；当 / (x ) = /时 - ，A +AO,04 +A，4 =J_h5 +J_k5 =lh5 力 5 =6 6 3 5 4从而此求积公式最高具有3次代数精度。
c 、 f i h2 ) [ f (x )d x « 4 J ( — % ) + A>/ (0) + A J (〃) ;J-2/tA —1. + Ah + A . = 4 hU 1A_ 1 = A, “ 1 6 ,A ] + A = —hT 1 3即4[ 解]分别取/ (x ) = l, x , / 代入得到：A hA_ 1 + A0 + A1 = L/ 公 = 4/ i< 4_ ](一 〃 ) +& • () +4 人=f x d x = 0J-2//41 (_ 力 ) 2 + A0 - 02 + A/ 2 = J ： 产2d x = y / l3]A"t 34解得《Ao = — h ,0 3“ 8 ,A . - -h'3又因为当/ (x ) = x 3 时，A_ I (—+ = — |肥 + |〃 3 = 0 = g /dx；当 / (x ) = /时， A ](— 人 ) 4 +4 + 4 力 4 = §川+ § / = 3 % 5 R 空 / ? 5 = 1/dT ° 1 3 3 3 5 "从而此求积公式最高具有3次代数精度。
3 ) £ / (x ) J x «[ / (- I ) + 2/ (x , ) + 3 / (X2) ]/ 3 ； ［ 解］ 分别取”了 ) = 乂/ 代入得至|」 :(一1 + 2为 + 3 /)/3 = [xdx = 0 ⑵ । + 3x, = 1・ 9)即 2 2[(-I)2 + 2x； + 3x； ]/3 = 0 2dx = - 〔2玉 +3X2 = 1X ] =解得＜32 =2-37271 + 2V27又因为当/ Of时，= [ 一1 + 2*8-36& + *4吟3]+ 6行 + 24 + 哈343 343二一36-11 吟…343 L[(— 1)3+23 (+ 33]/3r, c 8 + 36痣 + 108 + 54痣 J - 6直 + 24-16@[- 1 + 2 x----------------------------+ 3------------------------- ] ,343 343-36 + 114及 文343 人从而此求积公式最高具有2次代数精度4) f f(x)dx « M/(0) + /(//)］ / 2 + ah2［f'(Q) - 。
［ 解］ 分别取/(x) = 一代入得到：/z(0 + r ) /2 +加(_2/7) = ；〃3 ,所以又因为当 〃x) = x3时，//(0 + 〃 3) /2 + A / /2(— 3〃 2) = ( 〃，当/ “ )=%4时， 力(0 + / ) /2 + _L "2(_4力3) = 1 〃 5中2力5 ,所以此求积公式最高12 6 5具有3次代数精度2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： [ 解]1 / V 8 A 1= 1 6 4 + 弓25 6 + / +?+ 2 ( 2 + 色 + 4 + 2 + & + " +色"]25 7 6 5 26 5 1 7 28 1 7 3 3 05 5« 0. 1 1 1 40心 7 7s8=-[ / (« ) + 4 X / ( x , ) + 2 £ / ( x J + / 3 ) ]° k=0 22A + 1 k" + 4之一―r + 2 ^— ^ + 14 8 4 台 4 + (誓)-4 + (1 ] 5J I 1柠 1 6 (2 左+ 1 )48 4 £ 1 024 + (24 + 1 ) 2+2t^ h 4)« 0. 1 1 1 5 7精确值为 f —- - ln(4 + x2) l' = - ln- » 0. 1 1 1 5 7。
A4 + X2 2 2 42 )fa工y d x , H=I O；略 )x3)(y f x d x , 〃 = 4 ；3[ 解 ](略) ，精确值为 ^dx = -x ^ l ^ = - (27 - l) = — o」 3 3 34) r/ 6- J - s in2(p d (p , 〃 = 6；略 ) 3、直接验证柯特斯公式(2. 4)具有5次代数精度[ 证明]显然节点为网幼, i ,空致力，分别取7(x ) = l ,x ,x 2,x 3,x \ x 5 ,x 6代4 2 4入得至 I」 ：^^[7 + 32 + 12 + 32 + 7] = 6 —〃= f l d x ,-b- -- -a [e7a + 3c2c(,-3-a- -+- b)、 + 12(--+--b,) + 32(--+-- 3-Z ?)X + l b],90 4 2 4h b — a 力^^ - [ l a + 32(a +b) + 6(a + b) + l b ] ^ -= J902x d x b-a[7a^+ 32 产 + 行 +12=+:)2 + 32(" + 3b )2 + 7 g90 4 2 4=h~ ^ [ 7a2 + 2(9a2 + 6ab + b2) + 3 (a2 + 2 ab + b2) + 2(a2 + 6ab + 9b2) + 7b2]= "一"(3002+30帅 + 30b 2 ) = " 一/ = (x2d x90 30 Lb _ Cl r _ 3 CC/ 3〃+Z 7、3 …» / 。
+ 3力 \ 3- - 7«3 +32 — — )3 +12 - - 3 +32 — — )3 +76390 4 2 4= ^ ^ ■[ 7/ +^ (2 7^ + 2 7a2b + 9ab2 +b3) + ^a3 + 3 a2b + 3 ah2 +b3)+ g (q3 +9a2b + 2 7ab2 + 2 7b3) + 7b3]= -b- —- c i( —4 5c i 3 4 --4-5 c i 2b1 + —4 5 ub. 2 H--4-5b1 3 ) =-b- —- -a (a + b.) (a 2 — ct b» 4 ~ b, 2 + ab心)、90 2 2 2 2 44 Lb-a 口 4 c c / 3a +A\ 4 +〃、 4 ”/ + 3氏4 r ,4 \----[ 7(24 +32(-----)+12(---- )+32(-----) +7 4 ]90 4 2 4= " 々 7 4 + 」 (81 4 +108/ /? + 5 4 2 /72 +12 加 +/ )90 83 1+ ] ( 4 +4 38 + 6。
2匕 2 +4 83 +/ / )+ — ( 4 +124 3^ + 5 4 2b 2 +108 ＞ 3 +8 必 4 ) + 7/ / ]^ ^ —^^ai+\8a3h + l S a2b2 + \S ah3 + \S h4^^—^ -(a4+a3b + a2h2 +ab3+b4)90 5^ ^ [ 7 a5 + 3 2 ( ^ ^ )5 +12(^ ^ )5 + 3 2 ( ^ ^ )5+7&5]90 4 2 4= 吐々7&5 + — (24 3a5 + 4 05 a 4h + 2 70a yb2 +90a2/ 73 + 15 « &4 +Z ?5)90 32+ -3( 5 +5 4 b + 10 2 +] 04 2匕 3 +5 “ 匕 4 + / )8+ — (a5 +1 5a4h + 90a3h2 +2 70a2h3 +4 05ah4 +2 4 3 h5) + 7h5]32= ^ ^ ( 1 5 5 +1 5a4h + 1 5a3b2 +1 5a2b3 +1 5ab4 +1 5h5)90=-—— (a + b)(a4 + 2 a2 b2 +b4) = -- - = ( x5d x6 6 L b~a [ 7a6 + 32产 + ° )6 + + 与 + 3 2 (« + 3。
尸 + 7b6]90 4 2 4= b~a[7a6 + 1 (729a6 + 14 5 8a5/ ? + 1215 a4/ 72 + 5 4 0a3/ ?3 + 135 a2/ 74 +18a &5 + &6)90 1283+ (a6 + 6a5b + 15 a4/ ?2 + 20a3b3 + 15 a2/ ?4 + 6ab5 + b6)16+ 1 G ? + L + 135 a %2 + 5 4 0 / / + ] 215 a 2 /+] 4 5 8加+729^ 6) + 786]128b -a z82590 1b1 - a1*6a646 + 4 05汽+ 1 7 1 % / + 195 1 3 + 1 7 1 % / + 45加+82532 128 16 128 32 64= J xbdx从而此求积公式最高具有5次代数精度4、用 辛 普 森 公 式 求 积 分 并 估 计 误 差 [解]S° = -b^ —- a[ /[ c( /n )、 + 4 / 1 I + f,(“h)']I =-1 ^-- °[ /r，(/0八)、 + 4 / 1 + I + /1(/I八)]】i . 1 i=-(e -°+4 e 2 +e -1) = -(l + 2. 4 2612 + 0. 36788)工 0. 632336 6Rsb -a (b -a1804尸4 )()= _ t2J _ e f ,从而凤| 4 L - L = 3. 4 72x 10-4。
2180 16 1 5 1 180 165、推导下列三种矩形求积公式： ( f(x)dx = f(a)(b-a)+ ^ - ^ \b - a )2 ；L 2f于 (x)dx = f(b )(b -a )-?(b-a)2； (f(x)dx = /( 驾)S -a) + (b-a)3L 2 * 2 24［ 解］ 由微分中值定理有:f(x) = /(«) + fX q X x-a ), 从而f / (x )d x = f "(a ) + - a)]dx = "(a )x + (x - a )」 ：=f (a )S- a ) + / (b-a)再由微分中值定理有：f(x )- f(b) + f '(7 j)(x-b ),从而f fW d x = f " 3 ) + :① )(x - b)]dx = " 3 ) x + 等(x - b l ] ：o=f (b)(b - a) - ' ?)(6-a )2由微分中值定理有：/ (x ) = /( * ) + / '(也) ( x- * ) + /3 ( x- 9吆)2,从2 2 2 2 2 F t /、 “ 代r / / a +0、 r ， /(i + b、 / a + b. a + b、2、，［f M d x = ］ ［ / (--) + / (— -)(x - - ) + (x - - - - Y ］ d x乙 乙 乙 乙 乙而 二 ⑺ 胃 口 + /4^—产+ 华^一噂) 比^2 2 Z Z o 2=/ (空 与 s - ) +纥4=f ( 4 ) ( b _。
)+ 汇 丝 3 _ 4J 2 6 4 2 246、 证明梯形公式(2. 9)与辛普森公式(2. 11)当〃- 8 时收敛到积分，/ (x )d x［ 证明］ 由［ 一，■ 用 ""(〃)= —/ "⑺⑺与12 12 V « J 12〃f =需自小杆一鬻七斗⑹⑺=-■尸4 ）①） 可得求证7、用复化梯形公式求积分f / （ x ） d x ,问要将积分区间除“分成多少等分，才能保 证 误 差 不 超 过 £ （ 设不计舍入误差）？（j、［2 八〃） = - 生 半3八 〃 ） 可知，令n ） ⑵例 =股 邓 〃 ⑸ ，则| / “ 心崎竺< £,从而n >8、用龙贝格方法计算积分2^ e ~xd x ,要求误差不超过10一显［ 解］ 由7；（ 力） =4 3闾-1二 电 ㈤ 及 % ㈤ = （ 叱 钊 ） 可得 参 见954 - 1 V Z y 4 — 1页）9、卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是S这里a是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心（ 椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，/ ? = 6371公里为地球半径， 则a = （ 2R + " + / z ） /2 ,c =（ ” -力） /2。
我国第一颗人造卫星近地点距离h = 4 3 9公里, 远地点距离为2 3 84公里，试求卫星轨道的周长 2 R + H +h 2 x 63 71 + 2 3 84 + 4 3 9 u［ 解］ 由 a =---------=------------------= 7782 .5 ，22H -h2 3 84 -4 3 922= 9 72 .5可得 3 510、证明等式〃s i n — =万一/ ^d ---- -----，试依据〃s i n工（ 〃 =3 , 6, 12 ）的值，用n 3 ! / 5 ! 〃4 n外推算法求万的近似值［ 证明］ 因为 T o ⑶ =3s i n工=2 .5 9 8， T0（ 6） = 6 s i n - = 3 ,To( 12 ) = 12 s i n ^ = 1 2 ^ ( 1 - y - ) = 3 . 1 0 5 8 ,由4 ’" I h \ 1T ，，，也 )=不 “ I 5 一病—[ Il如可得,4 1 4 17] ( 6) = — " ( 3 ) -一 八( 6) = — x 2 .5 9 8 一 一 x 3 = 2 .4 64 ,4 1 4 1TI( 12 ) = -7； ( 6) --7； ( 12 ) = - x 3 - - x 3 . 1 0 5 8 = 2 .9 64 7,T , ( 12 ) = — T .( 6) -— 7' , ( 12 ) = — x 2 .4 64 - -x 2 .9 64 7 = 2 .4 3 062。
15 15 15 1511、用下列方法计算积分/生，并比较结果1）龙贝格方法；（ 2 ）三点及五点高斯公式；3 ）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式[解]，虫 = l n y l ： = l n 3 = 1.09 8612、用三点公式和五点公式求/ （ x ） = J了 在x = 1.0, l .l和1.2处的导数值，并估计误差，/ （ x ）的值由下表给出:X1. 01. 11. 21. 31. 4/ （ X） 0. 2 5 000.2 2 680. 2 0660.189 00. 173 61fl2［ 解］ 由三点公 式 小 ） =正 ~3小 ） + ” 区 ） —+ 7/纭 ） ,1h2/ （ 项） = 五5（ ' ） + 〃， ］ 一 不 八 》 1h2/ ^2)= [/(X0) - 4 /(X,) + 3 /(X2)]+ 尸 ( J ) 可知,2h 3/“ ( x ° ) = 5^ [一 3X 0, 2 5 + 4x0 226 8- 0.2 066] = -0.2 4 7 ,误差为M ( x 0) | =0.12 -2 4--- x -------3 。
& ) 50 I2< —x 2 4 = 0.08；3尸[ )=—[-0.2 5 + 0.2 066] = -0.2 17, 误差为2 x 0.10.12 -2 4--- x -------6 ( 1 + 厅| M ( x , ) |0 I2<^ - x24 = 0.04 ,6f '(x2) = ^[0.2 5 -4 x 0.2 2 68 + 3 x 0.2 066] = 0.1870.12 -2 4--- x -------3 ( 1 + 厅误差为| " ( 》 2 ) | =0 I2<^ - x24 = 0.08o3由五点公式可知/,( x0) = -- - [-2 5 x 0.2 5 +4 8 x 0.2 2 68-3 6x 0.2 066 + 16x 0.189 -3 x 0.173 6]12 x 0.1= = [-6.2 5 + 10.8864 - 7.4 3 76 + 3 .02 4 - 0.5 2 08] = -0.2 4 83尸( 修) =—1— [-3 x 0.2 5 -10 x 0.2 2 68 + 18x 0.2 066-6x 0.189 + 0.173 6]12 x 0.1=A [-°-75 - 2 , 2 6 8 + 3 .7188-1.13 4 + 0.173 6] = -0.2 163f '(x2) = --- [0.2 5 -8x 0.2 2 68 + 8x 0.189 -0.173 6]12 x 0.1= [0.2 5 - 1.814 4 + 1.5 12 - 0.173 6] = -0.18831、计算[-1, 1]上的积分I = £ /( x ) d x 的两点求积公式£ f (x )d x ~ g /( x 0) + 幼/( X| ) o［ 解］ 求积公式的代数精度不超过2 /1 + 1 = 3 , 将求积公式x0, x , 和求积系数00, 助作为 4个待定系数，依次取被积函数/( x ) 为 代 入 求 积 公 式 ，得到方程组: = 1= 1= _ 也 ，从而求积公式为3-Tg助0)Q + 691 = 2+ 例演=0< 2 2 2 ,可以解得+s X] = 3gx； + 0| X： - 0"(x3/ (—争 + / 咛 ) 。
2、 直 接 验 证 梯 形 公 式ff (x )d x ^ —[f (a) + f (b)]与 中 矩 形 公 式上 2f / ( X ) d x a S - .) /(审)具 有 一 次 代 数 精 度 ， 而 辛 普 生 公 式[ f (x )d x « ^ [ / («) + 4 /(等) + /⑸]具有三次代数精度[证明 ]⑴ 依次将y ( x ) = i , x , x 2代入梯形公式中, 得到：b — a b — a ， )"⑷ + / ⑶ ] == ( 1 + 1) = b - a = 11代2 2 4b — a f £ /、 b — a . . x b~ - ci ~ ~.+ /(/?)] = — — (a + b) = ---= x d x ；2 2 2 口b — a r r/, b — a 2 1 2 \ b' —ab? +cr b — a, b ， — a' p 2 ；+ f (b)] = ~ ^(a + 力) = ------- -------- ---=[d x ,从而梯形公式具有一次代数精度。
2 )依次将/( x ) = l , x , /代入中矩形公式中，得到：3 - = ( b - a ) x l = b - a = j I d x ；(b - = ( 6 - a) x = b 7 = £ x t /x ；…个打… X ( 用= "咛" / 勺i = f x 2丸从而中矩形公式具有一次代数精度3)依次将/* ) = 1 , % / ,一 »4代入辛普生公式中，得 至U： 6 " "⑷ + 4 /[" ；"1 /S ) ] = ' 6 " * 6 = 6 - a = f I d x ；^ [ / («) + 4 /f 彳] + /⑸]=T匕 + 4乂 胃 + 切oy 1 J o 2.f2 2 'b — a b~ — a' p=----x 3 (a + /? ) = —— -—— =J x d x—b _ a r[ /r(/ a)、 + 4A /rl( —4 + 、l + //(/^7)、]1 = -b — C l [«2- + 4A x l( — I +b, '9]b - a c , 2 I > 2 x / — a， 2J- x 2 (a +ab + h ) = = x d x6------------------ 3b-a f a + b\ ..... b- a { 3 . (a + b\^ . 3 1-^-[/( « ) + 4 /1 + /( & ) ] = + 4x +b ]»=- - -x —( a3 + a2b + ab2 + / ) = - = I* x3J x6 2 ， 4 J ,b-a r . .(a + by ,z, X1 b-a t 4 〃 (a + b \ , 4 1-^-[/( « ) + 4 /l -y - + /( /? ) ] = -^-[a4+4 x 1I + / ]f=-~— x ( —a4 + a3b + — a2b2 + ab' + —b4) w ——— — = f x4d x6 4 2 4 4从而辛普生公式具有三次代数精度。
3、求近似求积公式+ 2 /( } ]的代数精度[解 ]依次将〃x ) = l , x , x 2 , x 3 , x 4代入求积公式中，得到：— /( g ) + 2 /( 1) ] = 1( 2 -l + 2 ) = l = p J x;|[ 2/ (1 )- / (1 ) + 2 / ( | ) ] = 1 (2xl- lx| + 2 x i = 1 = [ xdx；J * 1 4 * 1 J 4 , 1 4/ 2 / ( ； ) -/( 1) + 2 /( 1] = #2X ,)2 _ 1 X (f 2 + 2 x ( | ) 2 ] = ； = ] ，d x ；-/( 1) + 2 /( 1) ] = | r 2 x 5 _ 1 x ( 1)3+ 2 x ( 1)3] = g = f x3d x ；I心- 这+ 2 /亭亭心4一 吗 、2甲号卜卜尢因此所给求积公式具有三次代数精度4、 求 三 个 不 同 的 节 点 不3 3和 常 数C,使 求 积 公 式£/( x) jx = c r/( x0) +/ 区 )+ / 。
2)]具有尽可能高的代数精度［ 解］依次将〃X ) = l , X , x 2 , x 3 , x 4代入求积公式中，得到: C(1 + 1 + 1) = 3C = 2=L .2c =2C(x] + x2 + x3) = 0= ^ x d xc ——3Y -_ _ V22 7 ， 2 f . 9C(X[ + ^ 2 + X3) =多=J x ~d x即.匹+ 々+ 尤3 = ° ,解得.X\ ~- 一三X j - + X； + X； — 1起 二= 0C(x ,3 + 只 + X： ) = 0 =卜"% ： + ^2 + 工 ； = 0x3一也此时求积公式为£ / (x )dx = | [ / (- * ) + / (()) + / (¥ )] ,具 有3次代数精度令/ (x ) = /代入求积公式中，得到:- [ / (- - ) + / (0) + / (— ) ] = )4 + 04+ ( - )4] = -[- + -] = - ^ - = fx4d x3 2 2 3 2 2 3 4 4 3 5 匕所以此求积公式的代数精度只有3次。
5、用三个 节 点(〃 =2 )的G au s s求积公式计算积分/ = (y Ldx (= 2% )[ 解] 三个节点的G au s s求积公式为[Xf {x }d x+ 1/ (0) + 初半)，所以, f 4 , 5 4 8 . 5 4I = I - - -Z - d x =- - - - - - -- - - H - x 4 H - - - - - - - -- - - -% + x 9 (岳 丫 9 9 (岳 丫1 +- - - - 1+ ——5 5 \ 7 \ /25 32 25 19 ,18 9 18 36、 试确定常数A, B, C和a， 使得数值积分公式[j(x )d x = A f (-a) + ”(0) + Q (a)为G au s s型公式[ 解] 要使数值积分公式J ； f (x )dx = 4/ (- a) + " (0)+ (0为G au s s型公式，则其具有2〃 +1= 5次代数精度依次将/ (x ) = l, x , / , x 3, x 4, x 5代入都应精确成立， A + B + C = 4 = ^ \d xA(- a) + 8x 0 + Ca = (C — A )a = 0 = 口 ” ，故有A(—+ 5 x 02 + C a2 = (A + C)a2 若=^ x2d xA(- 疗 + BXO3 + Ca3 = (C- A )a3 = 0= ^ xyd xA(- a)4 + 5x 04+ C a4 = (A + C)a4 = y = £ x4J xA (-a)5 + Bx O5 + C a5 = (C-A )a5 = 0= [xbd xA + B + C = 4C = AW C a2= - '解 ^3A =12,B = 26 10 29 9 9 57、 试确定常数A, B, C 和四， 使得数值求积公式1f (x )d x « 4/ (0) + Bf (x 、) + (7(1)具有尽可能高的代数精度。
此时的代数精度是多少？它是否是G au s s 型公式？［ 解］ 依次将/ (x ) = l, x , x 2, 一代入求积公式，得至 I J ：A + B + C = l = ^ \d xA x 0 + Bx ( + C x 1 = Bxt + C = — =，x d x2 / ,，即，A x O2 + Bx f +Cx {2 = Bx ^ + C = -= ^ x2d xA x '+ Bx ： + Cx l3 = 8町 + 卜 3dxA + 8 + C = 1Bx , + C - -1 2, 1 ，解得＜+ C = §+ C = -1 41-22-31-6=--王BC1-6A-从而求积公式为f f (x )d x « 1/ (0) + 1 / 4 ) + 77(- 1)，令/ (x ) = /代入得到：山 6 3 2 6- x O4+ - x f i Y+lx l4=A ^l=卜 公 ， 从而求积公式只具有3 次代数精度,6 3 ⑶ 6 24 5 A不是G au s s 型公式 第五章常微分方程数值解法1、就初值问题y' = ax +。
，y(0) = 0分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式，并与准确解y = ga d+法相比较[解] 由欧拉公式可知yn+[ = yn + h(axn +力 ), 即yn+1 -y„ = h(axn +b), 从而y“ + i 一 汽=Z " (监 + b) = > ? 7[心0 + 助 + 们*= 0 k=0 , 即=Z+ kah2) + bh] - ah(n + l)x0 + < " ah2 + (n + l)bhA= 0 2y“ = % + a h * + " 而 + nbh , 又因为% = 0 , x0 = 0 ,所以y 〃 =" 与D ah? + nbh再由乙= 泌 ，可知误差为y(X“ )一 九=g ax ； + bxn - [” “ ； D 加 + 制 121a n 2h, 2 + b, n,h ---n--(-n-----l-) ahl 2 - no.n, =-n--a-h----2 22K+i = +h(axn +b)h由改进的欧拉公式可知, y" + i = y“ + / [ (ax “ + 6) + (ax “ + | + b)] ,ah . . , ,^y„+ —(xn+xn+l) + bh即 yn+i - = y a ” + x “ + i)+附 ，从而y” + i - 汽 = £ [ 半(4 + / + 1)+ 6句= 力{竽 [ /+ (2% + 1)川+6/ 1}k=0 L k=l L=-ah(n + 1)乙 x(1 + 2n + l)(n + 1) ah2 13rl0+ - - - - - - -片- - - - - + (n + \)bh , 即=-ah(Gn ~+ 1)- x( 〃 + l)2 ,2 / 1X, ,0+ -一ah + (n + \)bhyn+\ = yo +~~~xo + ^-ah2 + nbh , 又因为汽=0, x0 = 0 ,所以2y“ + i =*ah。
nbh再由xn = nh , 可知误差为 y(xlt) - yn = ； ax： -\-bxn - ah2 -\-nbh] = ； an2h2 +bnh 一; ah2 -nbh = 02、用改进的欧拉方法求解初值问题［ v = x + y ' 0
3. 42816169 32164489 05082050781253、用 改 进 的 欧 拉 方 法 解 卜 '= '+ ” 一匕取步长人=0. 1计算y(0. 5),并与准确解b ( o ) = o 'y = -e ~x + / — 次 +1 相比较[ 解] 由改进的欧拉公式可知歹“ +1 = 先 + 人(X； +x ,,-yn)< 打+1 = yn+ - { ^ , + Xn - yn+ + x ,t+ l -[ y„ + h (x ；, + x „ - y, , )}，又由 =0 ，Z 1. h ~. h (\-h ) , 2 、 h, ， 、=(1 一 〃 + —)y„ + - - -(X" + xj + - (x ,1+| + xn +l)> 0= 0, h = 0 A,可得 y“ + ] = 0. 9 05y“ + 0. 045(x ；+ x “ )+ 0. 05(x ； + i+ x “ + ] ),从而X = 0. 9 05 x 0 + 0. 045 x (02 + O ) + O . O 5x (O . l2 + 0. 1) = 0. 0055 ；y2 = 0. 9 05 x 0. 0055 + 0. 045 x (0. 12 + 0. 1) + 0. 05 x (0. 22 + 0. 2)=0. 0049 775 + 0. 0049 5 + 0. 012 = 0. 0219 275% = 0. 9 05 x 0. 0219 275 + 0. 045 x (0. 22 + 0. 2) + 0. 05 x (O . 32 + 0. 3)=0. 019 8443875 + 0. 0108 + 0. 019 5 = 0. 0501443875y4 = 0. 9 05 x 0. 0501443875 + 0. 045 x (0. 32 + 0. 3) + 0. 05 x (0. 42 + 0. 4)=0. 0453806706875 + 0. 01755 + 0. 028 = 0. 09 09 304706875% = 0. 9 05 x 0. 09 09 304706875 + 0. 045 x (0. 42 + 0. 4) + 0. 05 x (0. 52 + 0. 5)= 0. 08229 22569 721875 + 0. 0252 + 0. 0375 = 0. 1449 9 22569 72187554、用梯形方法解初值问题厂‘ = 证 明 其 近 似 解 为 并 证 明 当1> '(0) = 1 {2 + h Jh f 0时: 它收敛于原初值问题的准确解y =。
［ 解］ 由梯形公式可知，以川)，从而(1 + 々 加 =( >畀 “ ，即2 - h% + 1=丁7打 ，从 而 尤 =2 + h2- hX2 + h ,%,又 由 汽 =1可知， limyn= lim = lim 1 - = limJT O 力 -O1 2 + h J ，T O( 2 + h ) 力 -o2nhx -(—+D 2/,+12h1 一十2 h J5、利用欧拉方法计算积分工J d f 在点x = 0. 5, l, L5, 2的近似值f _ x2［ 解］ 令 》=\e '2d t ,则 ) ' = ',从而令〃 =0. 5, 利用欧拉方法得到:J ) ［ y(0) = 0yn +\ = y ,. + hf (xn ^ yn) = yn+ » 又 由 儿 = ，得到：必 =Vo + 0. 5 x e ° = 0 + 0. 5 x 1 = 0. 5 ；% = 弘 + 0. 5x e05： = 0. 5 + 0. 5 x e025 = 1. 1420127；为 = % + 0. 5x J = 1. 1420127 + 0. 5e = 2. 5011536；L = 为 + 0. 5x / W = 2. 5011536+ 0. 5e225 = 7. 2450215。
6、取 / ? = 0. 2, 用四阶经典的龙格- 库塔方法求解下列初值问题：| Y = x + y , 0 < X < 11 ) < ;b' ( o ) = i［ 解］ 由四阶经典的龙格- 库塔方法可知， 储 =/( X” , 斗) = X “ + y ” ，“ " h h 〃、 h h 〃 h 八 h 、 , 、K? = + 5, 也 + 5 &) = x “ + 5 +》 “ +5 储 = 5 + ( 1 + 5) ( % 0 + y „) ；„ r / h h . . . h h j .K3 = f (x “ +/ ， 九 + - ^ 2 ) = xn + 2 + y" + 5 K 2h hrh h 、 , 、 ］ h h2 h h2. z 、= 5 +/ + y “ +-［ - + 0 + - ) U„ + y „ ) ］ = -+— + ( i + - + — ) U„ +K)乙 乙 乙 乙 乙 I 乙 )K4 = f (xn +h ,yn + h K3) = xn +h + yn + h K3h h2 h h2=% + x “ + + h ［ - + — + 0 + - + 7) ( x “ + y “ ) ］ 。
h2 h3 h2 h3= ( / / + — + — ) + ( 1 + / / + — + — ) ( x „+ y „)2 4 2 4 hyn + l=yn+ ( K]+2 K2 +2 Ki + K Joh«/ 、 J h、 / 、 、 … h 62、 八 h h2 x z .=%+ 久{( x 〃+ y 〃) + 2 [ + ( 1+ ) ( x 〃 + y 〃 ) ] + 2 [ ( + ) + ( 1+ + ) ( x 〃+ y “ ) ]O Z Z Z 4 Z 4h2 h3 h2 h3+ ( 力+ 2 + 4 ) + ( 1+ 力+ 2 + / (居 + % ) }hh2 h2=兑 +/[ ( X"+ y “ ) + / ? + ( 2 + /?) (猫 + >“ ) + ( 〃+ ) + ( 2 + % + ) ( x “ +y“ )O Z Zh2 h3 h2 h3+ ( h + 2 + 彳) + ( 1 + /?+ 2 + 4) ( x “ + y ” ) ]hh3 h3= yn+ . [ ( 3/1 + h2 + ) + ( 6 + 3〃 + 力2 + , ) ( x “ + y j]6 4 4又c i由 人 = 0 .2可知，y力„用= y几n +—30[ 0 .6 42 + 6 .6 42 ( x „ + y „) ]=yn + 0 .0 2 14 + 0 .2 2 14( x „ + y „) = 0 .2 2 14x „ + 1.2 2 14y „ + 0 .0 2 14从而由 x 0 = o , y 0 = 1 可得：y , = 0 .2 2 14x0 + 1.2 2 14x 1 + 0 .0 2 14 = 1.2 42 8 ;% =0 .2 2 14x 0 .2 + 1.2 2 14x 1.2 42 8 + 0 .0 2 14 = 0 .0 442 8 + 1.51795592 = 1.58 36 3592 ；y3 = 0 .2 2 14 x 0 .4 +1.2 2 14 x 1.58 36 3592 + 0 .0 2 14=0 .0 8 8 56 +1.9342 52 912 6 8 8 + 0 .0 2 14 = 2 .0 442 12 912 6 8 8 ,% = 0 .2 2 14 x 0 .6 +1.2 2 14 x 2 .0 442 12 912 6 8 8 + 0 .0 2 14=0 .132 8 4 + 2 .496 8 0 16 5155712 32 + 0 .0 2 14 = 2 .6 510 416 5155712 32 '% = 0 .2 2 14x 0 .8 + 1.2 2 14x 2 .6 510 416 5155712 32 + 0 .0 2 14= 0 .17712 + 3.2 3798 2 2 732 118 70 2 76 48 + 0 .0 2 14 = 3.436 5 °精确解为y = 2 e * —x — l。
3y /( l + x ) , 0< x< l/ ) Vb' ( o ) = i精确解为y = ( l + x ) 37、证明对任意参数t,下列龙格- 库塔公式是二阶的打+1 = " + ^ ( 吗 +%)；= /( x , , y “ ) ； oK[ = f (x „ + t h , yn + % &);K 3 = / ( X “ + ( l T M , y . + ( l T ) 〃 & ) [ 证明]因为 K । = / “，K2= fn +thDfn +^ D2fn+ - ,K3 =于 “ + Q T）hDf“ + 口 一 ； ）” 「D2f所以h6 = % + 5 (监 + / )= y„ +y{/„ +thDf“ + ^ - D2f„ +(l-t)hDf„ +口 } D?f” +•••}= K +^[2f„+hDf„ +(2〃 ― ； + 1 ) / 》 /" +…]=K +hf“+ ^D九 + “ — ； +城〃 / …_ j， J ? " J、y.+i = y„ + hy” +— yn+— y„+---而 ， 26 ，比较系数可知， 所给龙格- 库塔公h2 〃 3=yn + ,tfn + K Df“ + — {D 'f + f、Df), +-••2 o式是二阶精度的。
8、证明下列两种龙格- 库塔方法是三阶的:yn +ih= % ,+ 1 (3 + 3K3)y“+ ih= y"+X( 2 储+3陷 +4格)K”K\ =(1) .K广， / h 〃 “、 ；=/ ( x“ + q ， y“ + §K |)(2)
尤 "+ 4 一Xipqs = —9、分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列问题：y' = l-y, y(0) = 0 , 取力=0.2,方 =0,y =0.181 计算 y(l.O), 并与准确解y = l — * * 相比较［ 解］ 由 % =0.2可知，当使用二阶显式亚当姆斯方法时，hyn+\ =y« + 2(3/" 一 力 1 ) = 以 + 0- 1［ 3(1 - 方) 一 (1 一 y“ _1)］ 从而，= % +0.1(2-3y“ +y,i ) = 0.7%, +0-2% = 0.7y, + 0.ly0 + 0.2 = 0.7 x 0.181 + 0.1 x 0 + 0.2 = 0.3267 ,为 =0.7乃 +0.1y, +0.2 = 0.7x0.3267 + 0.1x0.181 + 0.2= 0.22869 + 0.0181 + 0.2 = 0.44679y4 = 0.7% + 0.1y2 + 0.2 = 0.7 x 0.44679 + 0.1x 0.3267 + 0.2= 0.312753 + 0.03267 + 0.2 = 0.545423% = 0.7y4 + 0.1% + 0.2 = 0.7 x 0.545423 + 0.1x 0.44679 + 0.2= 0.3817961 + 0.044679 + 0.2 = 0.6264751 当使用二阶隐式亚当姆斯方法时，hyn +i- yn+ -( 3工 ， - 3) = % + 0 .1[ ( l - y „) + ( l - yn + 1) ] = y “ + 0 .1( 2 - y „- y „+ 1) ，即9 ?l .i yn +i = 0 .9y „+ 0 .2, 从而 故当 二92+—— =119 2 3 6 2 91 Q 1 70 .-n1111112 ， 1 J / / ，V, 二2Vn+ —2 =9X0 .32 99 + —2 =4… 96 9九1= 0 .451736 ；0 1「9打丁9%=1r4精确解为1112+—— =112+—— =11—1-e =11 119 2— X0 .451736 + —11 1139x 0 .55142 +2 — =11 11= 0 .6 32 1 o11= 6.065624 = 0 55]42116 .96 2 78 八 /cccc= - - - - - - - =0 .6 32 98 o111 h10 、证明解 y ' = f (x ,y )的下列差分公式 y , “ | = - ( y „ + y „_1) + - ( 4/1+ l - y 'n + 3y ；, _1)是二阶的，并求出截断误差的首项。
仔 人3[ 证明]因为 yf l + l = y “ + h y 'n + 一2 6y ,i = y “ —h y ； +，h2 力 _h ^3 ) ，： +… ，» 川 =力 + 如:+h，2婚 +… ，2 o 2yL = y ： - 林 ： +gy： +…，所以1h5( y 〃 + yn-\) + -( 4y *+i - y 'n + 3工 ”)1h2 h3= 5( y “ + y 〃 -h y 'n + - y" - — y ^ +---)h h2 h2 _+ /4( y ： + h ynn +万 y ； ' +…) - 力 + 3( y ： -/iy ； + 万 " + …) ] , 从而比较系数可1h2 h3 h l h2= - ( 2 y „ -h y 'n + — y " - - ^ ~ 嬉 +…) + , ( 6 y ： +h y " +-- y ™ + •••)Z Z O 4 Z得差分公式具有二阶精度，并 且 截 断 误 差 首 项 为h3: y ； -1卷Q/13 “' = - ；5y ：； 11、导出具有下列形式的三阶方法：九+1 = 他 先 +。
2 %一2 + 近d6 + d y：- i +/ yL） 力2 b3 刀4[ 解]因为 y „+ I = y „ +h y 'n +丁 y ： + 三 町 + 五火4' +… ，2 o 2 4”-2〃 ， 工( 2 /7) 2 ( 2 6 ) 3 ( 2 /7) 4打 一2 伙 + — — K 一一— y „ + …Z o 2 4y „ - 2 h y ： +2 h2y "-等 y ： + 婷)+…以2 = % - 2 仪:+平片-半端+…=力 一 2 如:+ 2/ 嬉 一 亭 婷 ； … ，2 o 3& 儿 + % %T +2 y “ 一2 + 〃( 为" + d y ：i + % 力 -2)A2 人3 方4= & y “ + 」 北 -hy 'n + — y '',--y "+— y ^ + - - - ]八 4〃3 o /,4+ 的〔 , “ _2 ky ： + 2 力— y ™ + ―/,4> + , •■ ]1 . 2 M所以 + h {boy 'n + 以 匕-h y "n +， x ： +2媪 +-]2 o4〃3+b2[y 'n-2 h y ：+2 h2y ： - ^- y^ +-] }h2 ,=( a。
+— + c i2)yn + ( 一 — - 2 a 2 + % + 4 + b2 }h y [ + ( % + 4a2 — 2 bl — 4 b2) —+ ( — 〃 ] — 8 a2 + 3 Z ? j 4- 1 2 b2) — + (a1 + 16 % + 4&f -3 2 b2)— y ^) +•••o 2 4Q + % + O , 2 = 1从而若公式具有三阶精度，则必须有：卜 一 20+%+? +62=1 a} + 4 % - 2瓦 - 4 b2 = 1—I — 8 a 2 + 3 b] + 12 b 2 = 112 、将下列方程化为一阶方程组：1) y " - 3y ' +2 y = 0 , y ( 0 ) = l , yz( 0 ) = 1 ；yf = . n V( 0 ) = 1[ 解]令 y ' = p，则 p ' - 3p + 2 y = 0 , p ( 0 ) = l ,从 而 有 卜 ， ， <' ,P = 3 p - 2 y [ p ( 0 ) = l 再令T( 0 1、 W则初值问题为『 = y , y ( o ) =( 3 -2 ) ⑴［ 精确解为y ( x ) = e ， ］2 ) yf f- 0 .1( l - y2) y, + y = 0 , y ( 0 ) = 1, <( 0 ) = 0。
y = n［ 解］ 令 y ' = p， 则 p ' - 0 .1( 1 - V )p+ y = 0 , p ( 0 ) = 0，从 而 有 'P = 0 .1( l - y ) p - yy ( 0 ) = lP ( 0 ) = 03 )/ " ) = - 彳 , < ) = - 与 " ="+ y 2 , x ( o ) = 0 .4, xf( 0 ) = 0 , y ( 0 ) = 0 , <( ( ) ) = 2X = py=q［ 解］ 令 x ， ( t ) = p , y ， ( x ) = q,则 p ' = --q =一 -y ,从而有
= 1.36 14814、对方程y " = /( x , y )可建立差分公式力用= ,2 yn- yn_l + h2f (xn,yn) ,试用这一公式求解初值问题y" = l> (0 ) =刈=0 'V-2 _ V验证计算解恒等于准确解y(x ) = 土 于'- 2 / i［ 解］ 由差分格式可建立方程组 '1 -2h)［yn-J1 丫 必 、- 2 / 2 1 y21 5、M X A = 0 . 2 ,用差分方法解边值问题＜(1 + x2)yn - x y '-3 y = 6x -3y(0 ) — y'(0 ) = l , y⑴ = 2［ 解］ 显然”=5 , y5 =2,令 y ； = >也- 2 2 + 0 及 工 =" 出 一 *曰(〃 =t 2 3, 4 ) ,h 2 h代入得到：(1 +嫡 y,M _续 + “ _ X」" +匚" I _ 3 % = 6 x “ - 3 ,即h " 2 h(2 + 2 x ； -姐,) y用 一(4 + 4 x ； + 6/) y, + (2 + h x „ + 2嫡％1 = 6h \2 xn - 1 ) ,又 由 汽 - 上 也= 1可得(力+ 1 )方 - 必= / 7 ,从而由人=0 . 2得方程组为:h1 . 2- 1000X/ 、y。
‘ 0 . 2 、y0= 1 . 0 1 4 872 . 1 2 - 4 . 4 2 . 0 400- 0 . 1 4 4y. == 1 . 0 1 78502 . 4 - 4 . 882 . 2 40为=- 0 . 0 4 8,可以解得，>2= 1 . 0 70 1 0 o002 . 84 - 5 . 6 82 . 60 . 0 4 8= 1 . 2 1 9300003. 4 4 - 6 . 87、 一 6 . 0 96 ,)4= 1 . 5 1 32 9 第六章方程求根阅读材料： 一般的n次多项式方程a “ x " + a “ _ H'T +…+ % % + 即= 0称为n次代数方程对于3次、4次的方程，虽然也可以在数学手册上查到求解公式，但是太复杂 至于5次以上的方程就没有现成的求解公式了 代数方程可以说是最简单的非线性方程，因为虽然不能很好地算出它的根，但是总可以知道，n次方程一般具有n个根一般由实际问题归结得到的方程还常常含有三角函数、 指数函数、 对数函数等超越函数，如s in x , e， , l n x ,这样的方程叫做超越方程求解超越方程不仅没有一般的公式，而且若只依据方程本身，那么连是否有根、有几个根，也都难以判断。
超越方程与“2 2次代数方程一起统称为非线性方程，记作/ (x ) = 0,其中/ (X )是一个单变量的初等函数，它可以是多项式函数、超越函数等形式或者它们的组合形式所谓方程求根，就是寻找一个X * ,使得/ (x * ) = 0成立，这样的x *叫做方程/ (x ) = 0的 根 (解 ) ，也叫做函数/ (幻的零点若 存 在 正 整 数m,使得/ (x ) = (x - x * ) " g (x ) ,月 一 0 < |g (x * ) |<+ 8 ,则称 x '为/ (x ) = 0 的 m 重根当 〃 ? = 1时，x *又称为单根，这时X *满足〃x * ) = 0 , /V)*0o对于一般的非线性方程/ (x ) = 0,用直接方法得到它的精确解是很困难的，例如e- - x = 0 非线性方程的求解就是研究方程/ (x ) = 0在给定初值的条件下，如何利用计算机运算得到方程真解x *的近似值x ,使得对任意给定的精度£ 〉0 ,满足卜1 ，此时称X关于£ 是精确的对于具体的问题，首先要对函数/ ( X )加以初步的研究，判断出方程的根的个数和大概位置，才能较好地选择有根区间。
如果选取得好，还可以把方程的根逐个分离，找出相应的有根区间二分法的特点是当/ ( 尤) =0有单根时具有收敛快的特点 然而对方程有重根或复根的情况，二分法公式有时失效1、用二分法求方程/ 一、 _1 = 0的正根，要求误差< 0 . 0 5m^f( x) = x2- x - l ,则/ ( 0 ) = - 1 , 42) = 1 ,所以有根区间为( 0 , 2) ； 又因为/ ⑴=-1,所以有根区间为( 1 , 2) ；/ ( 1 . 5 ) = 1 了 — 1 . 5 — 1 = - 0 . 25 ,所以有根区间为( 1 . 5 , 2) ；/ ( 1 . 7 5 ) = 1 . 7 52 - 1 . 7 5 - 1 = — >0,所以有根区间为( 1 . 5 , 1 . 7 5 ) ；1 6/ ( 1 . 6 25 ) = 1 . 6 252 - 1 . 6 25 — 1 = ' > 0,所以有根区间为( 1 . 5 , 1 . 6 25 ) ；/ ( I —) = ( 1 —- )2 - 1 - ^ - 1 = - - — < 0,所以有根区间为 f l — , 1 . 6 25 ^ 1 ；1 6 1 6 1 6 25 6 1 1 6 J1 Q 5 1Q取 X * = —( 1 3+ 1 _ ) = 1一 = 1 . 5 9 37 5 ,2 1 6 8 321 a 1这时它与精确解的距离<- ( 1 . 6 25 - 1 — ) = — < 0 . 0 5 o2 1 6 322、 用比例求根法求/ ( x ) = l - x s i n x = 0在区间［ 0 , 1 ］的一个根， 直到近似根血满足精度| / ( / ) | < 0 - 0 0 5终止计算。
3、 为求方程》3一 》2_ 1 = 在x 0 = L 5附近的一个根， 设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：1 ) x = l + l / * 2,迭代公式尤* + ］ = l + l / x ； ； 2) X3 = l + x2,迭代 公 式= #1 + ］ ；3) / = —!一，迭代公式 4+ 1 = 1 / J x * -1 ； 4) x2 = x3 - 1, 迭代公式xk+l = J x ； - 1 ox — \试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值［ 解］1)设 9 ( X ) = l + ，~ , 贝= — 彳 ，从而同( 1 . 5 ) | = - ［ y =捺 < 1 ,所以迭代方法局部收敛 _ _ _ _ ° _ 22 )设夕( 工) = 弱二口，则' ( X ) = §］ ( 1 + X 2) 3 ,从而W ( 1 . 5 ) | = | x 1 . 5 ( 1 + 1 . 5 2尸 = 不 需 <1,所以迭代方法局部收敛1 1 _ 2 1 _ 2_3 )设(p (x ) = 丁 , 则(p \x ) - — ( X — 1 ) 2, Wu | ^ ?r( 1 . 5 ) | = — x ( 0 . 5 ) 2 = V 2 > 1 ,V x - 1 2 2所以迭代方法发散。
4 )设= 则 d ( x ) = 5尤2 ( / - 1 ) 2,从而 3 io|^ (1 .5 )|--x l.5 (— ) 22 o= > 1 ,所以迭代方法发散V 384、比较求/+10》 -2 = 0的根到三位小数所需的计算量:1)在区间［ 0 , 1 ］内用二分法；2 )用 迭 代 法= ( 2 - e % ) / 1 0 ,取 初 值 %=0［ 解］1)使用二分法，令/ ( x ) = e * + 1 0 x —2 ,则Z ( O ) = - 1 , / ⑴ = e + 8,有根区间为［ 0 , 1 ］ ；/ ( 0 . 5 ) = e ° s +3 >0,有根区间为［ 0 , 0 . 5 ］ ；/ ( 0 . 25 ) = e0 25 + 0 . 5 > 0 ,有根区间为［ 0 , 0 . 25 ］ ；/ ( O . 1 25 ) = e0 1 25 - 0 . 7 5 > 0 ,有根区间为［ 0 , 0 . 1 25 1 ；~ 1 3Q 1OC-----------8- 0 . 5 6 0 5 < 0,有根区间为 —1 6 8/ J3 = e 3-2 - L1L732 1 61 70 . 0 35 7 8 > 0 ,有根区间为 一, 一1 6 325 - 39/J = e 6 4 _ 二 <6 4 320,有 根 区 间 为 —；6 4 321 1 1 1/ ( —) = £>1 281 287 3- - <0,有 根 区 间 为 —；6 4 … 1 28 32/ ( 々23 ) = e2—5625 61 41- - <0,有 根 区 间 为 —；1 2825 6 3247 47/ ( —) = e5 1 25 1 2227777 八 士珀 1 - 7 - I ' - i 4 23 47- - - - -> 0,白 根 区 间 为 - - - - , - - -；2 … 5 6 25 6 5 1 29 3 9/(WL) = 〃0241 0 24559八 七4 23 9 3- - - - -> 0 , 有根区间为 ——, - - - - - ；… 25 6 1 0 245 5 95 1 29 3” g * 1 / 23从而X = —(------- F2 25 6 1 0 241 QC)=- ^ = 0 . 0 9 0 332 ,共二分 1 0 次。
20 482 )使用迭代法2 —则为=±2 ±一 ° = 0 . 12-e1 01 01 0=0 . 0 8 9 48 29 , 00894829 2—P 00906391x3, = 10 = 0.0906391, x44 = -...1..0.........= 0.0905126 ,即X * =》 4 =0.0905126,共迭代4 次5、给定函数/ ( x ) ,设对一切x, /'(x )存在且0< m W/'(x) W 〃 ，证明对于范围0 < X < 2 /M 内的任意定数2 , 迭代过程X i = X * -财( 4)均收敛于/ W 的根x*［ 证明］ 由X *+ 1 = 4 一时( 与) 可知, 令夕(x )= x -〃( x ) ,则d(x) = 1- 矿 ( X ) , 又因2为0 < m< / '( X ) W A 7 , 0 < Z < — » 所以1 > e'(x) > -1 , 即帆' ⑸< 1 , 从而迭代格式收敛6、已知x = e ( x)在区间［ 〃㈤内只有一根，而当a A - > 1 , 试问如何将x = °(x)化为适于迭代的格式？化为适于迭代的格式，并求x = 4.5 ( 弧度) 附近的根。
［ 解］ 将 x = 9( x )两边取反函数，得到 x = e T ( x ) ,而 ［ /T(x)］ ' = — —，从而9 ( x)| ［ / ( 刈［ =I— < -< 1 ，故迭代公式a ” = 6 ' (xQ收敛P (x) k令 夕( 工) =ta n x ,则(p'(x) = sec2 x , 从而同(4.5)| = sec2 4.5 = 22.5 , 将迭代公式改变为 Z+i = a rc ta n ,这时，(p \x)=—二 ，从而,'(4.5)| = —— 一 = 0.047 , 迭1 + x 1 + 4.5代格式收敛 取 / = 4.5 , X］ = arctan x0 = 4.49372 , x' = x2 = arctan x［ = 4.4934247 、用 下 列 方 法 求 〃x) = 1 — 3x-l = 0 在 x 0 = 2 附 近 的 根 根的准确值x* =1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字1)用牛顿法; 2)用弦截法, 取% = 2,xx = 1.9 ； 3)用抛物线法, 取xQ = l,x, = 3,X2 = 2［ 解］ 1)xk+i = xk/(x*) _ r _ x； -3x* 7 = 2x； +1f'(xk) ~ k _ _ 3 x " 3 - 3x”3x0 = 2,2x23 +13x22 — 317一 = 1.888889,9X］2(二) “^7^105555616= 1.87945 , 迭代停止。
% =/ 一2 )H产f)x* — 3 x« — 1，XQ = 2 ,/ _ \ _ Z - J ( Z + 4 -1 )+ 1-+ 3M+或 「 3x} = 1 . 9 , x21 . 9 x2 x( 1 . 9 + 2 ) + l 1 5 . 8 2 1 5 8 21 . 92 + 1 . 9 x2 + 22 - 3 8 . 4 18 4 11 . 8 8 1 0 9 41 5 8 2 , 八 J5 8 2 , c 、 ,- - - - xl . 9 x ( - - - -+ 1 . 9 ) + 1「8 4 1 8 4 1- 1 5 8 2 1582X1 9 + 1 92 _38 4 1 8 4 19 5 5 8 1 4 3 . 4 2 + 8 4 12 1 0 2 6 5 4 2 4 4 2 ,…- - - - ； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - =- - - - - - - - - - - =1 . 8 7 9 4 1 11 5 8 2 2 + 1 5 8 2 xl . 9 x8 4 1 + 0 . 6 1 x8 4 / 5 4 6 2 0 4 3 2 1,迭代停止。
3)X i = x * - - - - - -1 ,… ，其中co = f [xk,] + f [xk,xk_t,Xk_2] (xk -xk_ j),尤 o = 1 , 无 1 = 3 , 无 2 =2,故/ ( x0 ) = — 3 ，/5) = 1 7 ,/⑺=1,小 小]=也工2 = 5 = ] 0 ,x, -x0 3 - 1月 ％2 ，再1. / •( x2) - / ( x, ) _ _ 1 - 1 7% 2 — % ] 2 — 3〃/ ， 为 ， 占] = &臼二 " 勺 *J = = 6 , 6 9 = 1 6 + 6 ( 2 - 3 ) = 1 0 ,x2 -x0 2 -1X3= 2---------, 1 =2- - - - - ? - = = 1 . 9 4 6 5 7 4 5 , TB & o1 0 + V 1 02 - 4 x1 x6 1 0 + V 7 68 、分别用二分法和牛顿法求x - t a n x = 0的最小正根［ 解］ 参见第 6 题，x* = 4 . 4 9 3 4 2 4 。
9>研 究 求 五 的 牛 顿 公 式 x* + 1 + 幺 ） ， x0 > 0 ,证明对一切％= 1 , 2 , … ，2 4xk > 4a且序列再, 4, …是递减的［ 证明］ 显然，与 > 0,又因为/+1_& =）（ 4+巴 ） _笈 =（ / 一布）220,所以2 4 2 xk12xk > 4 a, k = 1 , 2 , - - - , 又 x* + ］ - 勾 = 一 （ 4 + 幺 ） 一4―< 0 ,所以序列是递2 Xk 2 xk 减的1 0 、对于/ ( x) = 0 的牛顿公式X g =4 -/ ( x* ) / / ' ( x* ) ,证明氏= ( / 一XJ)/(XJ r. 2 ) 2 收敛至I J —— " ( x* ) / ( 2 / ' ( x* ) ) ，这里 X * 为 / ( x) = 0 的根1 1 、试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度x > 0x < 0［ 解］ 1)由夕( x) = x -£： = % - △ 、 = - X 可知”( 为 = - 1,故牛顿法不收敛2 ^ l ~x. /、 f (x ) M x22 ) 由 9 ( x) = x --- - - = x ----- -ffM 2 4—x 3=- 工X 可知d ( x) = - L w 0 , 故牛顿法一阶收敛。
2 21 2 、应用牛顿法于方程/ 一4 = ( ) , 导出求立方根五的迭代公式，并讨论其收敛性［ 解］ 令 / ( x) = x3 - a 9 贝 ij 々- I = xkf (xk) _ x l - a _ 2 x l + a _ 2 afg=X k - 3 x； = 3 城=］占 + 玩1 3 、应用牛顿法于方程/ ( x) = l -==0,导出求正的迭代公式，并求v n?的X值［ 解］ 令 g ( x) = x2 - a ,贝 U xk+l = xk - = x ~ - = X " +" = —xk +-^ — o 余(p \xk) 2 xk 2 xk 2 2 xk见例8 o1 4 、应用牛顿法于方程/ ( x) = x" - a = 0 和 / ( x) = l - = =0,分别导出求标的迭代公式，并求 - xk+x)/(y ［ a -xk)2［ 解］ % =/f (xk) _ x； - a _ 1 ) 其 +a _ n - i af '(Xk) k n x ^{ n k l i m& T 0 0‘后 _ X k + l西 -4)2l i m」〃二段匕山i s - 2 ( V a - xk ) «X j'-n ( « -1 ) % ^* 1 , . ( n - 1 )2 a 一如1 5、证明迭代公式4』=% (X； + 3”) 是计算8的三阶方法。
假定初值与充分靠3 xk + Q近x* , 求 l i m( V a -xk+x) / ( V a -xk)2 o& T8府 x” ( x； + 3 a )y [a -x ... 3 x r + a V a ( 3 x? + a ) -x, ( x? + 3 a)l i m—, = ——= l i m- - - -j= - - - = l i m- - - - -芦 ---- - - --------[ 解] " 一8 (笈一4 ) 3 l o o -Xk) 1 0 ° ( 后 -% ) 3( 3% ； + 〃) Ol i m ( 八 7 "— = lim/—j 8( 7^- 4) 3( 3x ； + a) J 8 3x ； + a补充题1、判断下列方程有几个实根，并指出其有根区间:1 ) 1- 6 x —5 = 0； 2) x = 2 —C[解]1 )设/ (X) = X3—6X — 5 ,则 /'(X) = 3X2 - 6 ,当忖< /时 ，f '(x )< 0, f (x )为减函数； 当国 > 正0寸 ，fr(x )>0, / ( x )为增函数。
又因为/ ( - 拒) = 4行-5〉0 ,/ ( V 2) = - 4V 2- 5< 0 , / ( - 2) = - 1 , / ⑶ =4 ,所以可知/ ( x ) = 0有三个根，有l i m - - - - - -产-------- - - - - - - =l i m - - - -m----- -----i s - 2 n [n '4 ax '^ - ( n + 1)x(]2 [n \a - ( n + l ) xA. ]( n -1 ) _ 1 - n2 [n '4 a - ( n + l ) V a] 2后f (xk) x [ x '^ -axk ( 〃 + l ) ax * - x广-；- - -= X* - - - - - - -= xk-----------=---------------f ( x * ) n」L n a n ax Vl„/~ (» + ^ )a xk - xk+'. . 'y f a - Xk+l n a n a'4 a -(n + 1 )axk + Xj+ Il i m ―尸 ——= l i m - - - - - -产 ~ —------= l i m - - - - - - - - -产 -i s ( 4a—x * y 1 8 ( V a - x j2 i n a(\a - x j2..- ( 〃 + l ) a + ( 〃 + l ) x f ( n + l ) ( Xj - a) ( n + \)n x '^-l i m - - - - - - - - - =- - - - - - - = l i m - - - - - - -芦- - - - - =h m - - - - - - - - - - 。
J 8 _ 2 n a^ a - xk) k^ -2 n a('\l a -xk) … 2 n an -1_ ( n + l )a n + 11 13( V «)2 +a 4 a 根区间分别为（ -2, -⑸（ - 夜, 0 ）屹342）将原方程改写为2- x = e- ， ，作函数力（ x ） = 2 - x与的图像，由图像可知两个函数有两个交点，其横坐标位于区间（ -2, - 1 ）与（ 1 , 2） ,因而所给方程有两个根2、 证明迭代格式4华=3 +工 ，女= 0 1 , 2,…产生的序列对于x 0 21均收敛于五2 Xk［ 证明］ 设/ （ X） = ^ + L 则 d （ X） = '- - y o2 x 2 x当 x N l 时，^（ x ） = - + ->2 J^ = V2 >l,并且帆口） | =卜 -5rp< 1 ,由迭2 x v 2 x 1 2 x I 2代格式产生的序列收敛于方程x = - + -的唯一正根X* =艮2 x3、利用适当的迭代格式证明l i m , 2+ 收 二 + & = 2k - K C s- - - - - - - - - - - - - - - /kXo = 0f -［证 明 ］考 虑 迭 代 格 式 ,- - - - - ，贝I」用=痣，4+ 1 = J 2 + % k = 0 , 1 , 2, …% 2 =，. . .，—J 2 + J 2 + • • , + o令 9 ( x ) = J 2 + X，贝I j(p '(x ) = —J o 当 X E [0 , 2]时,叭X)e [0 ( 0 ) 4( 2) ] =牌, 2] u [0 , 2] ,并且因而迭代格式产生的序列收敛于方程x = V 2 + 7在［ 0 , 2］内的唯一根X* = 2。
4、设a为正整数，试建立一个求’的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有a除法运算，并考虑公式的收敛性［ 解］ 考虑方程/ （ 幻 =L- =0,则L为以上方程的根 （ 幻 = -3,用牛顿迭x a x1----c i代公式 xk+i = xk _ / 区 ）=Xk 一项 ［=Xk（ 2 -aXk） , k = 0 , 1 , 2,… 迭代函数f （ x . ） 1 M x ) = x ( 2- ax ) 中不含有除法运算由 l - ax * + i = 1 - axk (2 - axk) = ( 1 - axk )2, k = 0 , 1 , 2, …递推得到\-axk+} = ( l - ax0)2",攵= 0 , 1 , 2, … ，解 得 / = 匕 1 —( 1 —%)"】 ， 左= 0 , 1 , 2, … ，a1&2l i mxk = — < = > l i m ( l - 6t x0)2 = 0 < = > - 1 < {-ax ^ < 1 o 0 < x0 < —,所以当1 8 a 1 0 a90
a 第七章解线性方程组的直接方法2、( a ) 设 A是对称阵且许声0,经过高斯消去法一步后，A约 化 为 ""0'，［ o A2_证 明 & 是 对 称 矩 阵 O . 6428X1 + 0 . 3475^2 - 0 . 8466x3 = 0 . 41 27( b ) 用高斯消去法解对称方程组：< 0 . 3475X, + 1 . 8423X2 + 0 . 4759X3 = 1 . 7321 0 . 8466x , + 0 . 4759 》 2 + L 21 479 = - 0 . 8621［ 证明］( a) A 2中的元素满足说d / = 2, 箝- , 〃) ，又因为A是对称%］阵，满 足 % = 〃户，= …， "，所以 a% = %—= — j ］_ = 呢 ，即 &aw aw是对称矩阵 b ) 略4、设 A为 n阶非奇异矩阵且有分解式A = LU , 其 中 L是单位下三角阵，U 为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零1 o 、 (1 1 U \［ 证明］ 将 L与 U 分块，L = M , u = I * * g ) , 其、 L(” -k)x k ^ (n -k)x (n -k)) 、 °(“ -/ : )乂 4 (n -k)x (n -k))中乙媒.为k阶单位下三角阵，U g为k阶上三角阵，则 A的 k阶顺序主子式为\Lkx kUkx k\,显然非奇异。
7 、设 A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约 化 为 即 端 ，其中0 A2A -(ai j)n > & =⑷；证明：( 1 ) A的对角元素% > 0 ( / - = 1 ,2 ,•••,» ) ； ( 2 ) 4 是对称正定矩阵；( 3 ) 婿 ) < % ( i = 2 ,3,…,〃) ；( 4) A的绝对值最大的元素必在对角线上；( 5 ) max a';2 ) < max 6 /J ；2 < i , j < n l 1 । 2 <； , / < n l 71( 6 ) 从 ( 2 ) 、( 3) 、( 5 ) 推出，如 果 同 < 1, 则对所有k, 卜,川< 1 ［ 证明］( 1 ) 依次取项= ( 0,0,…,0,1 ,0,…,0) ,， i = l,2 ,…,〃，则因为A是对称正定i矩阵，所以有7x7 A x > 0 o ( 2 ) 42 中的元素满足 俨a,j = 2 ,3「、 〃 ) ，又因为A是对称正定« i i矩 阵 ,满 足 % = % , i , j = 1, 2, , 所以 a/ = % — """" = a/ -即 " ，= 喈,« n即为是对称矩阵。
2( 3) 因为心〉 0 , 所以力刀=4 一 2 = 0" 一包4 %«11 «!1( 4 ) 以下略2 1 -3 -1 -3 1 0 71 2 、用高斯-约当方法求A的逆阵：- 124 - 210 - 15OOO1- -3OOO2-2 -22OOOOOOOO242OOO242OOOO5OOOOOOO23OOOOO12_3~2~2-020001 - 9 - -1 73 -2 00->02 -22 12-2 -2-021 00~ 225 -2- - 0201OOOOO38OOOOO2OOO±251-57一25一8-5OO一OOOO- 4311 OOO1-23-21-21-2-271- -3-1-2221-281-2211-259-211-2211-28403-1-2-11-221-2一O3OOO9-254OOOOO 16 4 2 31 0005 25 5 25n13 12 1 90 105 25 5 25T8 7 1 10 c1 —05 25 5 25c 17 3 1 40 c0 -15 25 5 25 J-, 、, 、 4 18 2316]1 00 0- -85 85 8517八 八 33 6 214130 1( ) 0 —— 、85 17 42517「 19 5 380 c1 0 -85 17 85173 1 450 c0 1 — —-85 17 85174 18 23 16'85 85 85 1733 6 214 13故I =85 17 425 17o19 5 3 885 17 85 173 1 4 585 17 85 171 0 016 4 2 3 八5 25 5 2513 12 1 90 1 0- 5 25 — 5 258 7 11c0 0 1- 05 25 5 250 0 0I 3 1 4 5一 85 - 17 85 17.- 2 - 1 0 0 0-1- 1 2 - 1 0 0013、用追赶法解三对角方程组Ax = b , 其中A = 0 - 1 2 - 1 0,b = 00 0 - 1 2 - 100 0 0 -1 20 ［ 解］ 因为1 1 1 2所以夕 5 =£， = 4 =£， 6 3 = 不， = 2 =£， 自0 3 2 3-214、用改进的平方根法解方程组-11［ 解］ —1 9 ' 9523V1 5 、下列矩阵能否分解为L U分解，那么分解是否唯一。
其 中 L为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能1 2 3A= 2 4 14 6 71 1 18 = 2 2 13 3 11 2 6C = 2 5 156 15 46［ 解］ 因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1 , 0, -1 0,所 以 A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1 , 0, 0 , 所 以 B不能分解为三角阵的 乘积因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1, 5, 1 ,所 以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的16、试画出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组18、设4= ''，计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数0.1 0.3［ 解=max{0.6 + 0.5,0.1 + 0.3} = LI, ||A|, = max{0.6 + 0.1,0.5 + 0.3} = 0.8 ,0.37 0.33-0.33 0.34J'2 _ n 37 - 0 33R — A Z |= = (2 - 0.37)(2 - 0.34) - 0.332 = 22 - 0.7U + 0.0169,0.33 0.34因为“ A0.6 0.10.5 0.30.6 0.5,0.71±A/0.712 -0.132 711271218z = -------------------------- = ----------------，2 200从而 114 =俨=0.839。
ML = V0.62 +0.52 +0.12 +0.32 = V0?7T = 0.842619、求证：(a) (B) ;MIF 引 胤 引 矶 y jn( a)IWL =喋5 K IM = Z k 14 〃 max|x,.| = 〃| 比i= l⑻ M ： = , ?i g20、设尸e /T "且非奇异，又 设 同 为R"上一向量范数，定 义 | 叱 =归刈试证明| 也是瞪上向量的一种范数［ 证明］ 显 然 风 =|网＞ 0，叫=||M = \CM =郦Ip、 X1 + x2 ,= P （ xt + x2） = Pxt + Px2 < Px{ + Pxz = X1 , + 犬 2 J 从而 I M 是 R "上向量的一种范数I2 1 、设 A e R "x" 为对称正定，定义I k L =（ A x ,x ） " 试证明卜 .是 瞪 上向量的一种范数[证明]因为A对称正定，所以HA = （ A r,》 ） '=> 0,网 h = （ACX9CX）2 = y c2xT A x = | c| V xr A x = 胤 比 ，I k i + 々 I ： =（ 4 （ 匹 + % 2 ） ， （ X] + ） ） =（ X] + X2 y 4 匹 + X2 ）=x [A x] + x [A x2 + x ； A X] + x [AX2 ，从而卜| | 八是 H " 上 向量的< x f A x] + x [ AX2 + 2 ^ A x}x I A x2 = （ | 周1 + | | x2| | ^）2一种范数。
2 2 、设x e R " , x =（ 不,》 2 ,…,X" ） ， ，求证 li m向丁:郎, 卜凡[证明]因为I ' L = S k ， | =仰 钞 犷 < 金>>< 旭 （ 曙 同 尸 =% max | x ,.| =% | x 『,而 li m底 = 1 ,所以由夹逼性可知， l i m j = kL 2 3 、证明：当且仅当x 和 y 线性相关，且 /” 0 时，才 有 人 + ） 山=卜| | 2 + 帆 2 [ 证明] 当x 和 y 线性相关，且 『y 2 0 时，不妨设y = c x, c N0, 则卜 + 犬 = （ x + JO ' （ x + y） = /x + / y + y 0 + y T y = | x| ； + | | y| ； + 2 xT y= I WI 2 + H 2 + 2 / c x = I WI 2 + c 2 11c xe + 2c x ， x = WI 2 + 因同： + Z WI ；，从而= （ i + c ） 2M = （ M + c M ） 2= （ M + 网 ） 2| X+ > 1 TM2+N 2。
若 1b + 切2 =国 2 + 帆 2,则 有 一 = 同 2 / 12 A 并且令4 x + a 2 y = 0 ,则0 = @ x + 5 % x + % y ） = W | 玳 + 2 门 + 阖 加 ，即 卜1M= 涮 玳 +2 四％| | 比网+ a 小 J； = （ % | 比 + % 帆 尸即存在不全为零的四, 2,从而 x 和 y 线性相关 2 4 、分 别 描 述 心 中 ( 画 图 ) S , , = { x I W L = l , x e 斤} ( v = l , 2 , o o ) □［ 解］ 闻= £闻：以原点为中心，以( 1, 0) , ( 0, 1) , ( - 1, 0) , ( 0, - 1) 为顶点的、边长为企1=1的正方形1司2= 1 2匕『：以原点为圆心，半 径 为 1 的圆 x|y - m a x| x, .| ：以原点为中心，以( 1, 1) , ( —1, 1) ( —— 1) , ( 1, — 1) 为顶点的、边 长 为 2的正方形2 5 、令| ・ | 是R "( 或C")上的任意一种范数，而 P是 任 一 奇 异 实 ( 或 复 ) 矩 阵 ，定义范数卜| =俨乂| , 证明M l =| P AP 斗2 6、设 同 、 、M l , 为 上 任 意 两 种 矩 阵 算 子 范 数 ，证 明 存 在 常 数 弓 £ 〉0 ,使对一切 Ac满 足 " 矶 < | | A | | , 4 c 2 M I , 0［ 证明］ 由范数的等价性，存在常数G和 。
2,使 得 GH s(W , 2H , ，则有a M矶 < \\A x i < c 2 1 M L ，并且品^喘《品^，从而月G | | 不1 ' < EGM M L < 不MM「 _一w网 - m a x{ 2 2 + / 1, 1 + 1}= ( | ： + 2 ) . m a x{ 3 | 2 | , 2 }又当囚6时,心| ,max川, 2 } = 2，从而cond(A)x( | j | + 2 ) - m a x { 3 风, 2 } > ( 1 + 2 ) - 2 = 7o当网 4时，m a x利4 2 } = 3囚 ，从而c o 〃d (A)8 = (| j | + 2 )- m a x { 3 | / l | , 2 ) = ( 1 + 2 )- 3冈 =3 + 6冈 > 7综上所述，c o 〃d (A)8 =7时最小, 这时风2 即4 = ± ±2333 1、设A为对称正定矩阵，且其分解为A = LOZ Z ,其 中 卬 = "2厂 ，求证(a ) cond(A)2 =[cond(W)2]2 ； (b ) cond(A)2 = cond(W)2cond(W1 )2 o[ 证明] 由人= 七。
1 /二W,W 可知，2 (A) = 22(t V ), =4 ((W T )T ) = "( W T 尸) ="w T ) ,从而 A(A 1 ) = 不(W T ) ,故得(A | | , = | | W "小1 4 TM% Kl=l叫，1铲 尸1 2 T M%,(a ) c o 〃d (A)2 = 团 | 』 矶= | | w 1 ；| w | ； =[||W-|| |2H2]2=[^(IV)212；⑹ c , 〃火4 ) 2 = | 4七 | 矶 = | | 「 』 > | | ； k- 1||2M2) (l l('vTr，ll2kT||2) = condOV)2cond(Wr)2 °3 2、设 A1 0 0 9999 98计算A的条件数cond(A)r (v = 2 , 8)[ 解] 由A =1 0 0 9999 98可知,- 98 9999 - 1 0 0从而(A-1)r(A-1) =- 98 99 - 98 9999 - 1 0 0 1 99 - 1 0 01 94 0 5 - 1 96 0 2- 1 96 0 2 1 980 1 由 同 一 俗 - 了 " ) | =1/1-19405 1960219602 2-19801= 22 — 392064 + 1 = 0,100 99T100 9999 98 J|_99 9819801196021960219405由陷-ATA\ =2-19801-19602-196022-19405= 22 -392062 + 1 = 0 ,可得 口 山 ， =J, = "19603 +屈4277608 ,从而co〃 d(A)2 =|A T|,M，= 19603 + )384277608。
39206 199，M |, = 199，从而 co〃 d(A)8 = JA|, = 199x199 39601o33、证明：如果A是正交阵，则co"d(A)2 = 1［ 证明］ 若A是正交阵，则AT = " ,从而A『A = / ,缶- 了人一：网2 = | „ = L ” 〃 d⑷ 2 = 旧 明 网= 134、设A,Be R"*"且M为晓、 " 上矩阵的算子范数，证明M = /，故cond(AB) < cond(A)cond(B) o［ 证明］c 回 幽= ||(码Ilk心忸网 < 上1归 忸 ||同= ( |A[]|那 (忸 [忸|) = cond(A)cond(B)补充题1、用Gauss消去法求解方程组:(1)12Cq1 - 1、 代x2\/14、、0； (2)<3 -11 1(2 1 -’12 -3-18 32 丫演、1 x21"3 4-1 --13-4<-3>尢 、X ,-1-2323、(3)(5)[ 解]0Jq2C： 1)1 24 I22-3对 系 乡% 2、 》3,1 ]3oj殷矩/'X 1 )x2阵 白813,w♦’0、32广⑷o矩阵进行初等1 1、3 1行变换,—1 11 17LkX4 >’1 5、-1562 , ♦ 1 -1 3 ] (\2 -1 3 0- 0「1 - 2 1 - 5)10- 3 5 - 6-1 0 —2,X] = 1故 « 尤2 = 2。
X3 ~ 0( 2 )对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换,/、/(3 -1 2 - 3、3 - 1 2- 33 - 1 2- 3八 4 1八 4 11 1 1 - 4 ->0 --- 3->0 ---33 33 321- 1- 3八5 7C , 、 11110 - ——-10 0——1 3 311 47 ,( 3 )对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换,1 2 3 14‘1 2 3 1 4、% 1 — 10 1 2 80 1 2 8,故 ，X) = 2 o2 4 1 13；、0 0 - 5 -1 5?X3 - 3( 4 )对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换,’12 - 3 3 4 1 5、<12- 3 3 4 151()3 7 s 1 5-1 8 3 -1 -1 -1 52 2 2八 5 3 2 19111160 ----4 4 3 4<31 -1 1 2>八7 7八 7匹=1< 4 4 4 ；,故«x2 = 2'12 - 3 3 4 15'12 - 3 3 4 15X/ = 3A3 7 < 15八 3 7 「 15尤4 = 00 - - - 5 —2 2 22 2 2T八 八11 29c 八 11 290 0 — — 110 0 — — 113 63 6八 八7 35c c c 9 1 c0 0 - — 70 0 0 — 01 3 61 337(5 )对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换,’122 1 0 ] <12 3 3 f o2 1- 2 1-1 101 13- 02 1 0- 2 1 3Xj = 1故 , 冗2 = -1。
X3 = 1- 3 0 2) 102、用列主元G auss消去法求解下列方程组: ⑷ (2’ 1 2 3 、/*\’ 1 4 、(1 )0 1 2X2=83417□(-32 6 1' 4 、(3 )1 0 - 70=71 5—15 JkX3>q" 2 3 5 、、(5 ](5 )3 4 7x:=60J33 ;\x:(2 )’ 1 2 - 3- 1 8 33 4 、- 1 - 1/ \王Xy' 1 5 、- 1 51 1、 3 1q - i 1 、1 11 1/ \Zx3kX4 >46[ 2 ;(4 )5 - 4、 2 131X2—- 1 2 oJ I >' 1 2 3[ 解] ⑴0 1 22 4 18 - 0旬1 14 11 22 31 3 、81 4 J204 1 1 31 2 80 05 1 5X 1 = 1故 <= 2 3 = 3(2 )’ 1 2 - 3- 1 8 31 1、 3 1’ - 1 80- 00' - 1 80- )00341 5 ]<- 1 8 3- 11- 13- 17- 111- 1731 7- 1 562)- 1 -W 531 7 31 2 - 3— >1 1131i 5 ] r - i s0632332001 8_76- 1_765 02 71 4Vo1 8 656 21J- 1 - 1 5 、 8* - 1 06 2A 5 0 o2 7 9生H o9 3 J I2 2)- 1 - 1—1 5 ]3 41 51 16- 1 12)3 - 1 - 1 - 1 5 )3 7512 6 627 1 71 73 16 1 81 8671 0- 1 一53313 - 1 - 1 T 5 )3 7512 6 62= 1。
”85 0，故 ＜X2= 22 72 79X3= 30 0910也= 02 51 3、用矩阵的直接三角分解法求解方程组:［ 解］ 由可知，求解100012120400、13%101012101 011人01、 2 0、0 12 12 ,101012110丫月、乃为队 ”’ 531 7、可得V7H = 5%=3,痫乃= 6= 41 012020、112 人’ 5、36、4 ,可得VX ] = 1= 1x3 — 2A =24、用平方根法（ Cho l e s k y分解）求解方程组:(1 )勺2 3、2 2 0为、X2伊、3(2 )3 0 1 2人》3 ,［ 解］ 由系数矩阵的对称正定性,(1 ) 2、3220、 阳3、n 2A/3 V 6u = - - -- - - -⑵ V 33 - V36\、（ 4 2 2丫再2 1 0 12 1 2可令& = ,' 3、62其 中L为下三角阵小 递 6 、3近-V63V3 V3/求解逆必3 3V3 -V6为V37%伊、3可得＜ 为%%求解7/ \ 王= 1为= y2 可得 < x2 = o、 为, 1 (2 )’ 42,221 01212、， 21273013八101、27。
求 解 1 3,1 0求解令、%「 3、=6可得V1 人 >3) G必乃为323225 、用改进的平方根法（ LOZ； 分解）求解方程组:、求解1求解11532113 、321仅乃17不、X2X3>3" 1 01 6302、7可得23 >%1 06 ,43、y乃当，T321可得《 X2 = -1 9 = 277 111-211-L2-\\7212o1-211-2o解求711-21-12o\7I23yyyzr7362得可必=3/1为>32 ,求解22221J201x2kX3>76、用追赶法求解三对角方程组:⑴ 42X] + x2 -3X ] + 2^2 — — — 393% 2 — 7% 3 + 4% — — 102X3 + 5X4 = 2(49%乃芈 ,34\_212,4可得x2222⑵ 42x1 - x2 = 0— X ] + — — 0—xo + 2 犬3—七 + 2X4一4 =0=5⑶ V2X] + £ = 1X ] + 3X2 + x3 =2x2+x3+ x4 = 22% 3 + % = 0［ 解］ 依追赶法对其增广矩阵进行初等变换,0-3-7"211 203W0r200、00043、-3-1020132300-300-74J ° )I。
0 2 51 0 0 3、'2 1 03_, 93 八--3 0 ——0 - -32 2-»20 - 1 4 - 10 0 - 10 2 5 2 ,0 0 00042-113 0 J39~2-102、73、9，回代得到：x4 = 0X 3 — 1x2 = -15i =2 % 4 = 4回代得到： 七 =3x2 =2x\ = 1" 2 - 1 0 00、「 2 - 1 0 00、12-1000 - - 1 0 0- >20 -12-100 -12-10、0 0-12 5 ,1 °0 — 1 2 5 ,(2 )"2 - 1 0 0 0、「 2-10 0 0 1一 3 一〜()一一1 0 00 - - 1 0 0224一 4 一0 0 - - 1 00 ( ) 一 — 1 0335、 0 0-125)0 0 0 -5141(3 )r2l o o p， 2 10 0 1、ro13 10 20- 1 0 -— >2 2011120 1112、00 12 0 ,、 00 1 2 0 ?工 4 二 2"21001、'21001 、,回代得到：■工 3 = - 1553% 2 = 130-100-102222内 = 0- >37- >0八 0-3170 0-1—55557 1 4、 0 0 1 2o j0 0 0 - -- - - -77、设x = (3 , — 1 , 5 , 8尸，求I M ，H L ，凡 。
［ 解］ W , = | 3 | + 1 7 +1 5 | + | 8| = 1 7 叱 =r n a x { | 3 | , | - 1 | , | 5 | , | 8 | } = 8 H2 = 732+ (- 1 )2 + 52 + 82 =回=3 万 8、证明：1 ) | 叱 引 或 4 Hx i 8 ； 2 ) | | x L <| | x | |2 <7^1 1 ^0［ 证明］i ) M=匿 , 同 《M = £ 同 ＜ 〃 瞟 =胭L1 = 1l l x l l = m a x l x J = /(m a x l x . l )2)1 1 l l o° i业3 " v 1= H L 4 J 〃(覆2 k | 尸=G m a x | x , . | = 9、分别求下列矩阵的M b M L ，I /［ 解］(1) Ml =m a x { 4 + |- 1| , |一3 | + 6} = 9, M L =m a x { 4 + |- 3| ,卜 1 | + 6} = 7 ,因为=4 -1 4 -1-3 6 -3 617 - 18- 18 45由2- 1 7 18 =22- 62 2 + 441 = 0,11 18 2 - 452 = 62 ±J62 2 - 4x 441 =3i ±2 闹,2从而 | | 川2 = 仁 工 行 瓦 =7 31 + 2 7 130 =V2 6 + V5 o(2 ) R M =m a x { 2 + |- 1| , 1 + 4} = 5 , | 同 ［=m a x { 2 + l , | — 1 | + 4} = 5 ,j _ 5 20 -A Z | = " =22 - 2 2 2 + 8 1 = 0 ,解得11 2 2 - 17人坐叵三画=11±2阿2从而 M b = A Mm a x S " ) = g + 2 回=V10 + l o‘ 1 1 1 1、- 1 1 - 1 110、求矩阵。
的 磔 ，血，口一I — 1 1 1J - 1 - 1 I［ 解］| | 产4, | Q | L=4,因为 Q 7 Q = 4 / ,所以I1 = 2 第八章解线性方程组的迭代法寻求能够保持大型稀疏矩阵的稀疏性的有效数值解法是我们线性代数方程组数值解法的一个非常重要的课题 使用迭代法的好处在于它只需要存储析数矩阵的非零元素和方程的右端项，因而对于大型稀疏矩阵，具有存储量小、 程序结构简单的优点由于迭代格式的收敛性和收敛速度与方程组的系数矩阵密切相关，因此迭代格式的选择和迭代的收敛性将成为讨论的中心问题［ 定义］ 迭代= Bx(k) + f的平均收敛速度定义为Rk (B) = m忸 * I ok［ 定义］ 迭代= Bx(k) + f的渐近收敛速度定义为R(B) = l i m Rk (B ) = - Inp (B)值得注意的是，渐近收敛速度与所使用的范数无关因此，有时也把渐近收敛速度简称为收敛速度5 x j + 2 x? + 七= - 121 > 设方程组 < - X ］ + 4X2 + 2X3 = 2 0 ,2 xl -3X2 + 10x3 = 3(a )考察用雅可比迭代法，高斯- 赛德尔迭代法解此方程组的收敛性；( b) 用 雅 可 比 迭 代 法 及 高 斯 - 赛 德 尔 迭 代 法 解 此 方 程 组 ，要求当卜(川)一 < ］ 0~ 4时迭代终止。
" 5 2 1、［ 解］( a ) 由系数矩阵- 1 4 2 为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高、 2 - 3 10,斯- 赛德尔迭代法求解此方程组均收敛［ 精确解为阳=- 4, / =3/3 = 2 ］(b )使用雅可比迭代法:x( *+i )= D-\L + U)x(k) +D'h] 、] 、( 2 1)0 --「 上 、5① 2 1、5' - 12 、5 55-1 0 222 0——--0 - 心)+ 5444 22 - 3 0331\ 71\ 71 3 八15 10 J<10 >使用高斯- 赛德尔迭代法: 心+1)= (O 一 L)- ' Ux *> +(D - L)-1 b<5 0 0 、Y 7 o20 0 Y Y - 12 ^00120- 1512 04- 3小 ） +- 1, 24- 3140251101434012 015112 018I10>\’ 00, 0x(i ,+1512 01-4043402、设A2 03 ,、110>112、2 03 ,[12一 52 252 1JO,证明：即使M ILM L> 1,级数I + A + A2 +--- + Ak + …也收0e00、09000200r2000/0000200”) +7、7敛。
02000 02 0［证 明 ］显 然|K = M L = 2〉1 ,又 因 为 屋=0 ,所 以M = 0 （ ^ > 2 ） ,级数的值就为/ +A1 02 13、证明对于任意选择的A ,序列# , # , 《儿 …收敛于零［ 证明］ 设/ I为A的任意一个特征值，x是对应的特征向量，则1- Anx = — x- ^Q,从而得证n \ n \4、设方程组a}ix] + ai 2x2 = bt 谗4八叶出迭代公式为巴内 + a2 2X2 = "2琛 ） - -（ 仇- / 2尤厂” ）伏= 1, 2 ,…） - - -2内" 一" ）a2 2求证：由上述迭代公式产生的迭代序列卜叫收敛的充要条件为r =卬2 a 21a\ ia2 2< 1 0 ［ 证明］ 令 22, L0 — Q 120 0, U0一2100, b则由迭代公式可得，x{k} = D-'[b + (L + U)x(k-')] = D-\L + U)x(k-l ) + D-'b， 即为雅可比迭代公式，从而收敛的充要条件为0 £ )T(L + U ) ］ < 1 ,而叱« +。
) ] =-1«11-1a22.〃一 Z) T (L + U)=0 - a1?~a2\ 02%但Aa22_ 力2 仪 ]2 a 210 -%a\\&L 0a22o由0 可得夕[0 T (L + U ) ] =% 2 a 21aiia22故得证X] + 0 . 4X2 + 0 . 4X3 = 15、设方 程 组(a) « 0 . 4 xj + / + 0 . 8 * 3 = 2 ；0 . 4 . x, + 0 . 8 * 2 + / =3(b)X1 4 - 2X2 - 2X3 = 1X] + 冗2 + 工3 = 1 ；+ 2X2 + x3 = 1试考察解此方程组的雅克比迭代法及高斯- 赛德尔迭代法的收敛性［ 解］( a )由系数矩阵A' 10 . 40 . 40 . 4 0 . 4、1 0 . 8可知,0 . 8 11B 0 = Z5T(L + U ) =1IY 0- 0 . 4A-0-4- 0 . 40- 0 . 87— 0 . 4、 ( 0- 0 . 80 ,- 0 . 4- 0 . 4- 0 . 40- 0 . 8- 0 . 4、- 0 . 8o>，由/ I4/-闻 =0 . 40 . 40 . 420 . 80 . 40 . 82(2 - 0 . 8 ) (22+ 0 . 8 2 - 0 . 3 2 )可知,(2 - 0 . 8 ) (2 + 0 . 4 - V 0 4 8 ) (2 + 0 . 4 + 7 (X4 8 ) = 0p (Bo) = O . 4 + V O 4 8 >1 ,从而雅可比迭代法不收敛。
(1o o Y ’0-0.4— 0.4、G = (D -L Y 'U =0.41 000-0.8、0.40.8 1)\00 /1,由[ 10 0Yo-0.4 -0.4'fo-0.4-0.4"= -0.4 1 0 00 -0.8= 00.16-0.64、 —0.4 -0.8 10 00.160.8 ,2 0.40.4|2/-G |= 0 2-0.16 0.64 = 2(22 -0.962 + 0.1152)=0 -0.16 2-0.8 可知= 2(2 - 0.48 + 70.1152)(2 - 0.48 - Vo.1152) = 0p(G) = 0.48 + 70.1152 < 1，从而高斯- 塞德尔迭代法收敛112( b )由系数矩阵A2 -2 ]1 12 1 ，可知,8 0"(L + U) =Y0 -21 -1 04 - 2 -2-1’0 -2 2、-1 0 -1「2 -2 0 ,2由0 J2 2 - 2|2/-B()|= 1 2 12 2 2= A3 = 0可知, 夕(综) = 0 ,从而雅可比迭代法收敛qG = (D - L)7 U = 13o oY7o1 0 02 U I。
2 2、0 -10 0,o o Yo1 0 0- 2认 2 2]仅0 - 1 = 00 o j 10-2 2、2 -34 一2,由2|2/-G |= 002 -22 -2 3 = 丸(分+8) = /1(/1 — 2")(/1 + 2痣 ， ) =0可知,-4 2 + 2p(G) = 2直> 1 ,从而高斯- 塞德尔迭代法不收敛6、求证limA* = A的充要条件是对任何向量x都有lim = A rZ： — > 0 0jt- > oo［ 证明］ 若 对 任 何 向 量X ,都有limA^ = A x ,则 依 次 取x为单位向量组，即得 lim4 = A ,反之显然成立kT87、设Ar = A ,其 中A对称正定，问解此方程组的雅克比迭代法是否一定收敛？试考察习题5 ( a )方程组［ 解］ 不一定， 显 然5 ( a )中的系数矩阵是对称正定矩阵，但雅可比迭代法不收敛1 1 1项 一 尸 一 尸 二51 i ix?----& — x4 =一8、设方程组，2 4 3 4 4 21 1 1~~X\ 一二/ + 与 =彳4 4 21 1 1- -X i- - X2+X4^ -( a )求解此方程组的雅克比迭代法的迭代矩阵儿的谱半径；( b )求解此方程组的高斯- 赛德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；( c )考察解此方程组的雅克比迭代法及高斯- 赛德尔迭代法的收敛性。
［ 解］ 由系数矩阵A011 0 一4411 ―一j_44j_ _j_1 04 ~4j_ _J_0 14 ~47可知,0q(a) = D-i(L + U) =I44011 _J0J_4] _44001 _400042J0014401144,由100440/2 00 2J _ _14 ~4J_ _14 ~41 _4I4A14] _4 = 万(丸_ ； ) (/1 + ； ) = 0 可知,0 2P(BJ = ； o ' 10 0 0、-I/01 1001 0 04 4G = (D-L)T1J =- 41-41 000]_4]_400 0 0-014、00 0 01OoO1-41-4XJn0、/0 0=0 0]_4r4000 04J44]_40000]_418170 0 0 0、00 00 700818 >/11044由/!\b=0M/-G| =000200~4 ~4__L _14 ] \ = 了 (4一; ) =0 可知夕(G ) = !A . ——8 8（ c）因为A是严格对角占优矩阵，两种迭代法都收敛9、用S O R方法解方程组（ 分别取松弛因子口= 1. 0 3 ,。
1, « y = 1. 1）4 xj - x2 = 1一 匹 + 4X2 -X3 = 4 ；- M + 4七= - 3精确解X* 要求当卜* - < 5 x10 - 6时迭代终止， 并且对每一个6 y值确定迭代次数 略） 5 xj + 2X2 + £ = - 1210、用S O R方法解方程组（ 取 啰 =0 . 9 ） < - 巧+ 4 £ + 2 £ = 2 0 ；要求当2工1一 3X2 + 10 x3 = 3卜伏钊- ％ 叫 s < 10、时迭代终止 ‘ 5 2 1、[解] 由系数矩阵 A = -1 4 2 及 0 = 0 . 9 , L(a = (D - coLY ' ((1 -(y) D + coU),、2 - 3 10?f = 0 ( O —或) 人可知,由 x(*+ 1) = Lwx(k} + / 可得[精确解为 x. = — 4 , 4 = 3 ,鼻=2 ]f‘ 5 0 0、= - 0 . 9 4 0J . 8 - 2 . 7 10y0 052 1 o2 0 0 4- 5 3 1 2 7 1-1'(c、 (30 >" 0 . 5 - 1. 8 - 0 . 9 ]0 0 . 4 - 1. 8、0 0 1 ,) . 5 - 1. 8 - 0 . 9、0 . 4 - 1. 8 =0 1 ,丁 _ _ 9 _ _2_、10 -2 5 -5 09 19 9 8 14 0 0 10 0 0 2 0 0 0- 5 3 1 7 4 7 9 5 8 7 912 0 0 0 0 4 0 0 loj‘ 5 0 0= 0 . 9 - 0 . 9 4J . 8 - 2 . 7 17 T 2 ]2 0 = 0 . 9、3 Ja (592 0 0- 5 3L 4 0 0 0 0 10 0 (0-041 2 7 1J O O 2 0 (J 12 )2 0 =、3 J) 0 0 0 J[竺一 耳40b100(17 7 ]8、)7 4, 从而( 20000 400 l O jU o o o o o J11、设有方程组A x = b,其 中A为对称正定阵。
迭代公式0x ( z ) = x * ) + ° s — Ax "))也= 0,1,2,…) ，试证明当0 <&<彳 时上述迭代法收敛( 其中 0 < a 44( 4) 4 月) o［ 解］ 因为迭代矩阵为5 = / -力4 ,而“5 ) = 1- 祖( 4 ) ,由0 < a « / L ( A ) 4 £可知,7当0 <0( 一 时 ，一 1 < 〃 8 ) < 1 ,即| 4( 3 ) | < 1,从而迭代法收敛12、用高斯-赛德尔方程解A x = 人 用 娉 讨 记x( z )的第i个分量，且产旬-象M )j=l j=l(k+l)( a )证 明 铲 )⑹+土.% （ b ） 如果£ （ " ） =” ） - X* ,其中X* 是方程组的精确解， 求证：£ 尸 ） = £ 尸 一 力 _其 中 竹 ）=£ /片 ） + £ 囱 蜻 ） °六1 J=i（ c ）设 A是对称的，二次型 （ 即 ） ） = （ Ae?£（ Q ） , 证明Q （ £ “ T）〃 （ 川十八2-） ） =可./=' A（ d ）由此推出，如 果 A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯-塞德尔方法对任意初始向量3 °） 是收敛的，则 A是正定阵。
[ 解] ( a ) 由” 钊 = ( O -L) T ( Z x⑸ + ( 一工) -% 可得{D-L)x(k+X) = U x{k} + b ,从而D x( t + 1) = Dxw +[b + Lxi k+l ) - D x(k) + U xi k)] = Dx(k) + r( t + 1), 其中r ^ ' ^ b + L x^- D x^+ U x^,即得求证 b ) 由 X(*M)= ( Z ) — L) T U x⑻+ ( £ ) —L) “ 可得(D - L)x(k+l ) = Uxw +b = Ux(k} + ( D - L - U ) xf,从而( O —L) ，z)— x* ] = U [ ” ) —x* ] ,即( 一L ) £ ( z ) = U e % 从而D£(k+l ) = D sw -[-Ls^l )+ D sw- U £(k)] = D£w- r^ , 即得求证,其中' 日） = 一］ £ （ 2 ） +£ " ） — U e ㈤ C） ? o（ d ）若高斯-塞德尔方法对任意初始向量x（ ° > 都是收敛的，那 么 由 （ c ）知 A 是对称的，又由A是具有正对角元素的非奇异矩阵，所 以 A是正定阵。
13 、 设 A与 B为 n 阶矩阵,A非奇异， 考虑解方程组A Z 1+ & 2 =仇，Bzx + A z2 = b2,其中 z},z2,d},d2 e Rn a ）找 出 下 述 迭 代 方 法 收 敛 的 充 要 条 件 旬 =4 - ， A 4m + 1） = b2- Bz\m }（ A H > 0 ） ；（ b ） 找出下述迭代方法收敛的充要条件4 z"） = 々 - 此 % A z 用 ） =% — 区,旬 ( m > 0 )；并比较两个方法的收敛速度[ 解 ]( a )设* + 1)(A or'ro0 A'0 A 'B^A~'B 07、BB0、7( 用)4-,b =则有1'A0、’0(m+i)- b -、0A)、B'A0、f''A-10、b = -z(m)、0 A,、0A-11 8o;4-B0、J" ) ,从而0、-17bz(m) +7 \A-1 0、0h因此收敛的充要条件为「’0 A "、,A 'B 0 ,[ p ( A-lB ) ]2 < 1, B P p ( A-1B ) < l o， 十八 ( b 、( b )设 z " ) = ' ，b=,、 ， 贝的( z刃⑷A00、 … fo 0 V fo 5 V ,k( ra + 1) = & - z( m + ,) - k( m )A) [B oj (0 0 J从而( A>二 T ： : 卜7、BZ"=o Y 'pA)10+orA -IA-'B A'b, 因此收敛的充要条件为fo -A -'B } („n ( A-1 0 1z " ' +(0 A-'BA-'B J A-x)P’0,0- A - ' B 、A-'BA-'B^p [ ( A -' B )2] < l o迭 代 法( b )的收敛速度是迭代法( a )的收敛速度的2倍 。
1 a14、证 明 矩 阵A = a 1a aaa对 于 - ，<<1是 正 定 的 ，而 雅 克 比 迭 代 只 对21一3<“ <3是收敛的1 a[ 证明] 由A = 1, A2 = 「I -/, | 川= 〃 1a ( 2 + 1) ( 1-可 知 ，当a a 1 1 -a2 > 0< 2a +1 > 0 , 即- 4
［ 证明］ 因为4 (0 = 0 , 所以最多迭代ZW〃次后C* =0 , 从而迭代停止1 7、画出S OR 迭代法的框图 略)18 、设 A为不可约弱对角优势阵且0＜4 1 , 求证，解 A x = b 的 S O R 方法收敛［ 证明］ 设 A = ( «,) „x„，L“ =( ①噜则由( =( 匈 t ( ( 1 - ⑼ D + 0 U ) 可知 19、设A x = A, 其 中 A为非奇异阵 a ) 求证"A为对称正定阵；( b ) 求证 C 加/( A ， A % = ( con d ( A )2)2［ 证明］( a ) 由(4") 7 =47 可 知 AZ为对称阵，对于任意的非零向量x , 由/ 4 人工= 缶幻气人! )>0 可知A ， A为正定阵，从而A ， A为对称正定阵 1 + 2X2 - 2X3 = 1 ( 0- x, + x2 + = 3 ， 初始向量为 x" " = 1o2 x] + 2X2 + X 3 = 5 ( 0( b ) 见上一章第31题20、设 A为严格对角占优阵，证明第 二 章 ( 8 2 3 ) 式［ 证明］ 见定理6 。
补 充 题 1、 用 Ja cobi 迭代法求解方程组xf + D = 1 - 2 只& )+ 2琮)［ 解］ Ja cobi 迭代格式为 < 球 出 = 3 - 》 ， -4 )， ％= 0,1,2,3,… ，迭代求解得到:球 )= 5 -2xf )- 2x*0 0.52 、设 有 迭 代 格 式 ” 钊 = 6 x*)+ g ,女= 0,1,2,… ，其 中 60.5 0 0.51J20.5 07J0.5 ］ ( 0］g = 1 , 试证明该迭代格式收敛，并取3°)= 0 计算求解0旬l oj- 0.51V 2［ 证 明 ］ 设 力 为 B 的特征值,2 —0 . 5 = 4 3 = 0 可得2则由 | A /- B | = - 0.51- 0.5 A( 0) ( - 0.5 、夕 ( 3) = 0 , 从 而 该 迭 代 格 式 收 敛 取 x( ° )= 0计 算 得 ”)= 1〔 0) 〔 . 0.5 , 3、 给 定 方 程 组+ 2/ =T ,用雅可比迭代法和高斯一塞德尔迭代法是否收敛?3七+/=2[解] 由系数矩阵4 =1 2、3 1>可知,( 1)雅可比迭代矩阵为稣=D'L + U ) =0 - 2、- 3 0,0 - 2- 3 011，由2 23 2= 不 _6 = 0可知，P ® ) = R > 1 ,因而雅可比迭代法发散。
2)高斯- 塞德尔迭代矩阵为G = (D-L)-'U =1 oY 7o —2、- 2、0 >< 0- 2、2，由3 I ( 0 0 J1230170002 20 2 + -3\AI-G\ =922 + — 2 = 0 可知,37p ( G) = ±,因而高斯- 塞德尔迭代法收敛r24、 给定线性方程组1,1- 1 1Y /1 11 - 2X ]>lX3>T1 , 用雅可比迭代法和高斯- 塞德尔迭代法1是否收敛？[f t? ] ( 1)雅可比迭代矩阵为B0=D-'(L + U) =2112>( 0- 1I12110、- 2J/- 1- 1- 1 oj0- 1( T0- 1120221 - ro - 1- 1 0,£~2- 1, 由0/ 2/ — B( ) = 1 2 1 = 4 (尤 + ： ) = 0 可知，p ( B0) = >因而雅可比迭代法发散 2）高斯- 塞德尔迭代矩阵为100' 2 0 0、-1’0G= (D-Ly 'U =1 1 00J I — 2,、00仅0 02 )0=00£2~2240 - 10 0 ,, 由2| A /- G| 00-2A + -2-422224=Z ( Z2 + —> 1 + ,)= 0 可知,4 2P ( G)三 且＜ 1,因而高8斯- 塞德尔迭代法收敛。
用雅可比迭代法和高斯- 塞德\711-2n-2111-211-211-21-25、给定线性方程组A r = 匕，其中A =尔迭代法是否收敛？［ 解］（ 1）雅可比迭代矩阵为qBO= £)T( L + U )= 1_ L _12 ~222070 -~220 -1 12 ~2220由 Al - = 2 2 ； = ( 4 + 1)(丸 _ ； )2 = 0可知「 (B o)1 1 22 2( 2)高斯- 塞德尔迭代矩阵为( 、 -7 1 1 A (1 0 0 U 2 2 1G ^(D -L y'U =1,因而雅可比迭代法发散1-21-2--=1--2ooooo7o111-211-211-22 1 1)0 ——0 02 21 00 0 - -21 ,0 0 0— 12 7k J, 由0= 002 21 _14 -4_ [ £2G| = 002 22 21 1 o O C2 - - - = 2( /12 ―巳丸+ 上^二 可知，p ( G)= — < 14 4 4 16 4因而高斯-塞德尔迭代法收敛［ 另解：显 然A为对称矩阵，并 且a的各阶顺序主子式大于零，从 而A为对称正定矩阵，可知高斯- 塞德尔迭代法收敛。
］'a 1 3、6、设线性方程组A x = b的系数矩阵为A = 1 a 2 , 试求能使雅可比迭代法［ - 3 2 a,收敛的a的取值范围［ 解］ 当0时; 系数矩阵A为奇异矩阵，不能使用雅可比迭代法当时，雅可比迭代矩阵为综= Z ）T（ L + U） =、 - 丫0 - 1a - 1 0a > © - 20 -]_- 31a- 2 =10a0732\a a_ 』、a_ 2a0 z i 3由I”-闻 =a-2a_ 3a2a- 2= 〃/12一千16 ） =0可 知 「 （ 舔） =”4 ， 因 而 当 言4 ＜］ ,即区 同 | « |a a时＞4时，雅可比迭代法收敛7、设矩阵A非奇异，试 证 明 使 用 高 斯 - 塞 德 尔 方 法 求 解= b时是收敛的［ 证 明 ］ 由（ AT A）T= A「A可 知 为 对 称 阵 ，对 于 任 意 的 非 零 向 量x ,由『川4犬= （4 0气4幻＞0可知AZ为正定阵，从而AZ为对称正定阵使用高斯- 塞德尔方法求解“A x = b时是收敛的 第九章矩阵的特征值与矩阵向量计算1、用幕法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量:7 3 - 23- 4 3( a ) Al =3 4 - 1；( b) A2 =- 46 3 ，当特征值有3位小数稳定- 2 - 1 3331时迭代终止。
v0 = w0 0［ 解］ 计算公式为， 乙=4%, 女= 1,2,…,ma x3k)( a )精确特征值为4 = 6 + 后 ，4 = 6 - T H ,4 = 2b)特征多项式为万―1 0 ^ 2 — 7 % + 1 5 1 = 0T\ \ 7 1 2 T\ n2、方阵T分块形式为T = G ； T2 n , 其中7 ； ( i = 1 ,2 ,…,〃) 为方阵，T.Tn n_称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2 ,则称T为准三角形形式 (7 )记矩阵T的特征值集合，证明：(T(T) = o1=1［ 证明］ 显然'6 2 f3、利用反基法求矩阵2 3 1的最接近于6的特征值及对应的特征向量1 1 1［ 解］ 特征多项式为23-1 0 22+ 2 U - 9 = 0 o'4 0 0 -4、求 矩 阵0 3 1与特征值4对应的特征向量0 1 3［ 解］ 特征向量为(0 ,1 ,1尸。