20XXcollection of questions and answerson试题和答案汇编试题练习·答案解析《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（ ）A.x=-1 B.x=3 C.x= D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）A.（-5k,4k） B.(-,-) C.(-10,2) D.(5k,4k)3.若点P分所成的比为，则A分所成的比是（ ）A. B. C.- D.-4.已知向量a、b，a·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a与b的夹角为（ ）A.60° B.-60° C.120° D.-120°5.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5，则向量a·b=（ ）A.10 B.-10 C.10 D.106．(浙江)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )A. B. C. D.7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x）·b与b垂直，则x的值为（ ）A. B. C.2 D.-8.设点P分有向线段的比是λ，且点P在有向线段的延长线上，则λ的取值范围是（ ）A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-)9.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是（ ）A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（ ）A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-1011.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（ ）A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（ ）A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为2，则b= 。
14.已知：|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°，要使λb-a垂直，则λ= 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 16.在菱形ABCD中，（+）·（-）= 三、解答题17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a,=b,试用a、b分别表示、、18．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.19.设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ20.以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标和21. 已知 ,的夹角为60o, , ,当当实数为何值时，⑴∥ ⑵22.已知△ABC顶点A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC面积的一半，求N点的坐标。
文科数学 [平面向量]单元练习题一、选择题1．(全国Ⅰ)设非零向量a、b、c、满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )A．150 B．120° C．60° D．30°2．(四川高考)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于( )A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3)3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于( )A．a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b4．(浙江)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )A. B. C. D.5．(启东)已知向量p＝(2，x－1)，q＝(x，－3)，且p⊥q，若由x的值构成的集合A满足A⊇{x|ax＝2}，则实数a构成的集合是( )A．{0} B．{} C．∅ D．{0，}6．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于( )A. B．1＋ C. D．2＋7．(银川模拟)已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )A．2a km B．a km C.a km D.a km8．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形9．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是( )A. B. C. D.10．已知D为△ABC的边BC的中点，在△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，设＝λ，则λ的值为( )A．1 B. C．2 D.二、填空题11．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λ a＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ________.12．(皖南八校联考)已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且c⊥a，则＝________.13．已知向量a＝(tanα，1)，b＝(，1)，α∈(0，π)，且a∥b，则α的值为________．14．(烟台模拟)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.15．(江苏高考)满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．三、解答题16．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.17．如图，已知A(2,3)，B(0,1)，C(3,0)，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，且DE平分△ABC的面积，求点D的坐标．18．(厦门模拟)已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα，sinα)，α∈.(1)若||＝||，求角α的值；(2)若·＝－1，求的值．19．(南充模拟)在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2，设内角B＝x，周长为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值及取得最大值时△ABC的形状．20．(福建高考)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．21．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC.(1)若a＝3，b＝4，求|＋|的值；(2)若C＝，△ABC的面积是，求·＋·＋·的值．《平面向量》测试题参考答案1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.017.[解] 连结AC==a,…… =+= b+a,…… =-= b+a-a= b-a,…… =+=++= b-a,……=-=a-b。
……18．【解析】 (1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a与b不共线．又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c在a方向上的投影为＝＝－.(3)∵c＝λ1a＋λ2b，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴，解得.19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴|a|=同理得|b|=又a·b==（2e1+e2）·(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1·e2+2e22=-，∴ cosθ===-,∴θ=120°.20.[解] 如图8，设B(x,y), 则=(x,y), =(x-4,y-2)∵∠B=90°，∴⊥，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y①设OA的中点为C，则C(2,1), =（2，1），=(x-2,y-1)∵△ABO为等腰直角三角形，∴⊥，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5②解得①、②得或∴B(1,3)或B(3,-1)，从而=(-3,1)或=（-1,-3）21. ⑴若∥ 得 ⑵若得22.[解] 如图10， ==。
∵M分的比为3，∴=，则由题设条件得=，∴ =，∴=2由定比分点公式得∴N(4,-)文科数学 [平面向量]单元练习题答案一、选择题1．B 【解析】 ∵(a＋b)2＝c2，∴a·b＝－，cos〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉＝120°.故选B.2．A 【解析】 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．3．B 【解析】 ＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.4．D 【解析】 设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，∴2(y＋2)＝－3(x＋1),3x－y＝0.∴x＝－，y＝－，故选D.5．D 【解析】 ∵p⊥q，∴2x－3(x－1)＝0，即x＝3，∴A＝{3}．又{x|ax＝2}⊆A，∴{x|ax＝2}＝∅或{x|ax＝2}＝{3}，∴a＝0或a＝，∴实数a构成的集合为{0，}．6．B 【解析】 由ac sin 30°＝得ac＝6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accos30°，即b2＝4＋2，∴b＝＋1.7．C 【解析】 如图，△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2×(－)＝3a2，∴AB＝。