14 思考与练习1. 什么叫张量张量有什么性质答：张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合， 称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢量，即 9 个分量才能完整 地表示它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系 来换算基本性质：1) 张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数 f (Pij ) ，这些函 数值与坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变 量二阶张量存在三个独立的不变量2) 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义 为另一个同阶张量两个相同的张量之差定义为零张量3) 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 若张量具有性质Pj =住，就叫对称张量；若张量具有性质Pj ，且当i二j时对P丰P 应的分量为0,则叫反对称张量；如果张量j ”，就叫非对称张量 任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量4) 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如果以主轴为坐标轴， 则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分 量，叫作主值图14-1 任意斜切微分面上的应力14-6)2. 如何表示任意斜微分面上的应力答：若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。
如图14-1所示，设过Q点任一斜切面的法线N与三个坐标轴的方向 余弦为l，m，n.丨二cos(N,x);m二cos(N,y);n二cos(N,z)若斜微分面ABC的面积为dF, 微分面 OBC(x 面)、OCA(y 面)、OAB(z 面)的微分面积分别为dFx、dFy、dFz， 则各微分面之间的关系为dFx=ldF； dFy= mdF； dFz二ndF又设斜微分面ABC 上的全应力为S,它在三坐标轴方向上的分量为Sx、Sy、Sz,由静力平衡条件'Px= 0，得:S dF-a dF -t dF -t dFz 二 0 x x x y x y zx整理得S =a l +t m+t nx x yx zxS =t l +a m +t n >y xy y zyS =t l +t m + a n用角标符号简记为S = a l j ij ij= x，y,z)z xz yz z显然，全应力S 2 = S 2 + S 2 + S 2 xyz斜微分面上的正应力b 为全应力 S 在法线 N 方向的投影，它等于Sx, Sy, Sz在N方向上的投影之和，即b = S l + S m + S nx y z二b l2 +b m2 +b n2 + 2(t lm +t mn+t nl)x y z xy yz zx斜切微分面上的切应力为 t 2 = S2_b 2 (14-8)所以，已知过一点的三个正交微分面上 9 个应力分量，可以求出过 该点任意方向微分面上的应力，也就是说，这 9 个应力分量可以全面表 示该点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。
3. 应力张量不变量如何表达答：应力张量的三个不变量为J = b +b +b '112 3J = —(b b +b b +b b )>2 1 2 2 3 3 1J =b b b3 1 2 3其中J1 \ J2、J3为应力张量第一、第二、第三不变量4. 应力偏张量和应力球张量的物理意义是什么答：应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力， 称为内力单位面积上的内力称为应力，可采用截面法进行分析 应力球张量：也称静水应力状态，其任何方向都是主方向，且主应力 相同，均为平均应力特点：在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产生形状变化， 而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形应力偏张量：是由原应力张量分解出应力球张量后得到的应力偏张 量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张 量相同特点：应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生体积变化材 料的塑性变形是由应力偏张量引起的5. 平面应力状态和纯切应力状态有何特点答：平面应力状态的特点为：变形体内各质点与某坐标轴垂直的平面上 没有应力纯切应力状态：6. 等效应力有何特点写出其数学表达式答：等效应力的特点：等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它 可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。
人们把它称为广义应力或应力强度等效应力也是一个不变量其数学表达式如下等效应力在主轴坐标系中定义为— 1o = (o —o )2 + (o —o )2 + (o —o )2 = 3J2 1 2 2 3 / 3 r 2在任意坐标系中定义为— 1 ■o= (o —o )2 + (o —o )2 + (o —o )2 + 6(T 2 +T 2 +T 2)七 2 x y y z z x xy yz zx7. 已知受力物体内一点的应力张量为'50 50 80、o..= 50 0 — 75iJ “、180 — 75 — 30丿 (MPa),试求外法线方向余弦为l=m=1/2,n= 1込的斜切面上的全应力、 正应力和切应力解：设全应力为S, Sx，Sy , S z分别为S在三轴中的分量，S =o l +t m +t nx x yx zxS =t l + o m +t n >y xy y zyS =t l +t m + o nz xz yz z则有:=50x — + 50x— +80x2 2s =50 x — +0 x — -75 二y 2 2S z=80>< 2 -75>< 2 -3°x V2 -S 2 = S 2 + S 2 + S 2 xyz则得到S = MPac = SI + S m + S nx y z则得到 c = MPa而T 2 = S2 —C 2则得到 T = MPa8. 已知受力体内一点的应力张量分别为‘100—100—100厂10010‘01720、17200< 00100丿‘—7—40、—4—10< 00-4丿5ij丿5CijCij(MPa)1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张量和应力球张量；3）画出该点的应力莫尔圆。
解：1）略2）在①状态下:J1=Cx+Cy+Cz=10. fG c C C C C T 2 T 2 T 2J 2 =-( x y + y z + z x )+ xy + yz + zx =200GG G T TJ 3 = x y z +2 xyTyzzx -(G T 2+G T 2+G T 2 )=0 x yz + y zx + z xy )=0式UT0和由2 =0G 3 =-101n2代入公式对于G 1 = 20时:l对于G 2 =0时：对于 3 =－10 时：G — Gm3 = 1 n3 = 0T = ± ―1 2 二 ±1012 2l 二 03： 主切应力T2G3G — G■3 1 丄 ±15±5G — GT = ± —3 1 = ±1531 2最大切应力等效应力：b )2 + (b -b )2 + (b2 2 3-b 1)= 7700fb =ij20T0-100-40丁0-10020丁应力偏张量：b = — (b +b +b )m 3 1 2 3=3(20+0 -10)=号2040T应力球张量：_ 10刁000100301020b = 3 _z9. 某受力物体内应力场为： b x 6Xy + C] X , y "" 2 2 Jt = —c y3 — c x2y o =T =T = 0xy 2 3 z yz zx试从满足平衡微分方程的条件中求系数 c1 、c2、c3。
解：才=—6 y 2 + 3c x 2; do iydoy = —3c xydy 2dtxy = —2c y dx 3dtyx = —3c y2 — c x2 dy 2 3由平衡微分条件：—6 y 2 + 3c x2 — 3c y 2 — c x2 二 0< 1 2 3—2c xy — 3c xy 二 0326t6t 6t 6czy dz6xxz6xz6zc 二 1i n {c 二—22c 二 33。