单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定义2.8(,单叶函数,）,设函数,f,(,z,)在区域,D,内有定义,且对,D,内任意不同的两点,z,1,及,z,2,都有,f,(,z,1,),f,(,z,2,),则称函数,f,(,z,)在,D,内是单叶的.并且称区域,D,为,f,(,z,)的单叶性区域.,显然,区域D到区域G的单叶满变换,w,=,f,(z)就是D 到G的一一变换.,f,(,z,)=,z,2,不是,C,上的单叶函数,.,f,(,z,)=,z,3,是,C,上的单叶函数,第三节 初等多值函数,定义2.9,若,z=w,n,则称,w,为,z,的,n,次根式函数，记为：,根式函数,为幂函数,z=w,n,的反函数.,(1)根式函数的多值性.,1.根式函数,(2)分出根式函数的单值解析分支.,从原点,O,起到点任意引一条射线将,z,平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面,(,构成以此割线为边界的区域，记为,G),上，,arg,z,2,，从而可将其转化为单值函数来研究w,k,在其定义域上解析,且,分成如下的,n,个单值函数：,(3)的支点及支割线,定义1,设 为多值函数，为一定点，作小圆周,，若变点 沿 转一周，回到出发点时，,函数值发生了变化，则称 为 的,支点,，如,就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点,转一周，故点 也是其一个支点.,常用方法,：,从原点起沿着负实轴将,z,平面割破,即可将根式函数:,定义2,设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的,支割线,.,如 可以以负实轴为支割线.,注,a,)支割线可以有两岸.,b,)单值解析分支可连续延拓到岸上.,c)支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.,d)对 ，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为,主值支,.,上岸,下岸,二、对数函数,1.定义,2.计算公式,：,说明,：,w,=Ln,z,是指数函数,e,w,=z,的反函数，,Ln,z,一般不能写成ln,z,其余各值为,例1,解,注意,:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,例2,解,3.对数函数的性质,4.分出,w,=Ln,z,的单值解析分支,从原点起沿着负实轴将,z,平面,割破,，就可将,对数函数,w,=Ln,z,分成如下,无穷多个,单值解析分支：,w,k,在定义域上解析,且,例1,设 定义在沿负实轴割破的平面上，且,以,为支点，连接 的任一,（广义）简单曲线可作为其支割线.,解：,求值：,（是下岸相应点的函数值）求 的值.,三、乘幂 与幂函数,1.乘幂:,3.幂函数的解析性,原点和负实轴的复平面内是解析的,例1,解,它是无穷多个独立的、在,z,平面上单值解析的函数。
1.反三角函数的定义,两端取对数得,同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:,四、反三角函数和反双曲函数,2.反双曲函数的定义,例1,解,五、具有有限个支点的情形,设有任意,N,次多项式：,分别为,P,(,z,),的一切相异零点，对应重数为,且有,则函数,的支点有以下结论：,(1)的可能支点为 和 ；,(2)当且仅当 不能整除 时，是 的支点；,(3)当且仅当 不能整除 时，是 的支点；,(4)若 能整除 中若干个之和，则,中对应的几个就可以联结成割线，即变点,z,沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.,例1,作出一个含,i,的区域,使得函数,在此区域内可分解成单值解析分支,求一个分支在,i,点,解,可能的支点为,易知函数,因,0,1,2,与,无穷,，,具体分析见下图,结论：0、1、2与无穷都是支点的值,使其满足,支点确定后，我们作,区域，将函数分解成单值解析分支首先，在复平面内作一条连接,0,1,2,及,无穷远点,的任意无界简单连续曲线作为割线,在所得区域内,可以把,w,分解成连续分支例如,可取 作为割线,得到区域,D,其次,也可以取线段0,1及从2出发且不与0,1相交的射线为割线,在所得区域内,可以把,w,分解成连续分支。
例如，可取0,1及 作为割线,得到区域,例2,验证函数,内可以分解成解析分支;求出这个分支函数在,(0,1),解,由于,故,0,1,是支点，,无穷远点,不是支点,在区域,D=,C,0,1,上沿取正实值的一个分支在,z,=,-,1,处的值,结论,:0,1,是支点,无穷远点不是支点,因此，在区域,D=,C-,0,1内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定,其四个解析分支为：,则对应的解析分支为,k,=0在,z,=-1,处，有,，,所以,。