单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第10讲 开集的可测性,目的,：熟悉一些常见的可测集，了解Borel,集类与Lebesgue集类的差别重点与难点,：,第10讲 开集的可测性,基本内容,：,一Borel集,问题1,：,按Lebesgue可测集的定义，我们所,熟悉的哪些集合是可测的？,第10讲 开集的可测性,问题2,：由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？,证明 也可测，且,证明：对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如,证明：由命题1知任一左开右闭长方体J 可测且mJ=|J|，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、F 型集、G 型集均可测证明：若 ，则显然可找到这样的G，（比如Rn本身就是其中一个）第十讲 开集的可测性,第十讲 开集的可测性,第十讲 开集的可测性,21、设 是零测集，证明,（即d0）,9、设A1、A2、A3 是0，1中三个可测集,是G型集，而且 ，由,故 2）G型集、F型集、Borel集,第十讲 开集的可测性,定理2 设 ，则存在Rn中的G8型集G，使 且 。
第十讲 开集的可测性,第10讲 开集的可测性,（1）,开集与闭集的可测性,命题1,R,n,中任意开长方体都是可测的，且 证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有 ，所以只需证明I是可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体,J,，有,第10讲 开集的可测性,注意到 仍是个长方体，,故不难得知,（这与证明 类似）因此,从而,I,可测第10讲 开集的可测性,定义1,R,n,中的集合,称为左开右闭长方体与直线上开集的构造有所不同，,R,n,中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并，即,第10讲 开集的可测性,引理1,R,n,中的非空开集G都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并，即 是左开右闭长方体证明：对每一正整数,K,R,n,可以分解成可数个形如,m,i,是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为,第10讲 开集的可测性,（有限或可数个）对于,k,1，用 表示上述那些完全被G包含但与任何 不相交的长方体这样就得到可数多个左开右闭的长方体 且它们互不相交，并满足 。
如果 ，则存在 ，使 注意到 故当,k,充分大时，含,x,的形如,B,k,的长方体一定完全包含在 中，从而也包含在,G,，所以 一定在某个 中，即,第10讲 开集的可测性,于是，,（2）,G,型集、F,型集、Borel集,定理1,R,n,中的任意开集、闭集、F,型集、,G,型集均为可测集证明：由命题1知任一左开右闭长方体,J,可测且,mJ,=|,J,|，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、,F,型集、,G,型集均可测第十讲 开集的可测性,注：从定理1可知，可数个,F,6,型集或,G,8,型集的并或交仍是可测的事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集于是，由,R,n,中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类我们将这个集类记作,B,（,R,n,）或,B,，称为,R,n,中的Borel集类B,中元称为,R,n,中的Borel集因此我们又可以将刚才的结论叙述为：,R,n,中任一Borel集合是,Lebesgue可测集第十讲 开集的可测性,二Borel集类与Lebesgue集类的比较,问题3,：根据Lebesgue外测度及可测集的定义，你认为Lebesgue可测集与Borel集差别有多大？,第十讲 开集的可测性,问题4,：对任意集合E，能否找到包含E的Borel集G，使得它们有相同的外测度？,问题5,：对上述E，能否找到包含在E中的Borel集F，使得它们具有相同的外测度？如果E是可测集，情形又如何？,证明 也可测，且,第十讲 开集的可测性,证明：若 ，则显然可找到这样的G，（比如Rn本身就是其中一个）。
第十讲 开集的可测性,故 第十讲 开集的可测性,19、证明只要 ，就一定可以找到,使 且 ，于是,问题2：由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？,问题6：问题4中能否使G-E的外测度为零？为什么？举例说明Borel集F，使 且,集类与Lebesgue集类的差别事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集第十讲 开集的可测性,Lebesgue可测集的结构,Borel集类已包含了我们经常见到的,R,n,中的大多数集合，然而，的确仍有不少集合不是Borel集，如本章第一节中构造的不可测集显然不可能是Borel集那么，是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我们已经看到，如果一个集合的外测度为0，则它一定可测，但是外测度为0的集合却未,第十讲 开集的可测性,必是Borel集，要证明这件事并不困难，比如，可以证明直线上Borel集全体的势为2,c,事实上，Lebesgue可测集的全体显然有不大于2,c,的势，只需证明其势不小于2,c,就可以了，我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势,c,，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c。
由此立知，Lebesgue可测集全体,第十讲 开集的可测性,远比Borel集全体的势力，上面的证明同时告诉我们，Cantor的一切子集中，确有很多不是Borel集，但它们都是Lebesgue可测集现在我们来看看，Lebesgue可测集与Borel集差别有多少，假设E是一个可测集，且不妨设 ，则对任意，存在可数个开长方体 ，使,第十讲 开集的可测性,且 由此易知,事实上,由于,故由 及,第十讲 开集的可测性,易得,记 则G,n,是开集，从而,是G,型集，而且 ，由,立知 是Borel集与一个Lebesgue,零测集之差类似的办法可以证明，能找,到Borel集 ，使 ，即E也,第十讲 开集的可测性,是Borel集与一个Lebesgue零测集之并换言之，对任一Lebesgue可测集E，都可以找到包含于其中的Borel集，使它们有相同的测度，也可以找到包含E的Borel集，使它们也有相同的测度因此，Borel集与Lebesgue可测集的差别在于零测集上第十讲 开集的可测性,问题,6：问题4中能否使G-E的外测度为零？为什么？举例说明第十讲 开集的可测性,即使 不是可测集，我们也可以找到Borel集，使它们有相同的外测度。
这就是下面的,定理2 设 ，则存在,R,n,中的,G,8,型集,G,，使 且 证明：若 ，则显然可找到这样的G，（比如,R,n,本身就是其中一个）故不妨设 ，此时 类假刚才的讨论，可,称为左开右闭长方体第十讲 开集的可测性,证明 也可测，且,在点x0的密度，显然 ，如果,第十讲 开集的可测性,定理2 设 ，则存在Rn中的G8型集G，使 且 事实上，Lebesgue可测集的全体显然有不大于2c的势，只需证明其势不小于2c就可以了，我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势c，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c证明，这些集合之并的测度等于12）G型集、F型集、Borel集,定理3 若 是可测集，则有Rn中的,B中元称为Rn中的Borel集6、设E1、E2、是0，1中具有下述性,第10讲 开集的可测性,（2）可测集的结构,第10讲 开集的可测性,第十讲 开集的可测性,以找到开集,G,n,，使,且,令 ，令,G即为所求应该指出的是，如果E是不可测集，虽,然可以找到Borel集 ，使 ，,但 的,外测度不可能等于0，否则,E=G-（G-E）将是可测集第十讲 开集的可测性,定理3 若 是可测集，则有R,n,中的,Borel集,F,，使 且,证明：若E无界，则可作一列长方体 ，,使 且 ，于是,是一列有界可测集列，且 ，从而,第十讲 开集的可测性,若,对每一,E,n,，可找到Borel集 ，使,且 则,令 ，则 ，,于是,第十讲 开集的可测性,进而 ；另一方面，由于,故 。
因此，我们,只需就E是有界可测集情形证明就可以了若E是有界的，则存在长方体 ，记,，则S也是可测集，且,由定理2知存在Borel集G，使 ，且,第十讲 开集的可测性,，令 ，则,F仍,是Borel集，且 ，显然,注意,故 第十讲 开集的可测性,习题二,1、证明有理数全体是R,1,中可测集，且测,度为02、证明若E是R,n,中有界集，则,3、至少含有一个内点的集合之外测度能否,为零？,4、在,a,b,上能否作一个测度为,ba,但又,异开,a,b,的闭集？,第十讲 开集的可测性,5、若将1定理6中条件 去掉,，,等式 是否仍成立？,6、设,E,1,、,E,2,、是0，1中具有下述性,质的可测集列：对任意 ，从这个,序列中可找到这样的集,E,k,，使,证明，这些集合之并的测度等于17、证明对任意可测集,A,，,B,，下式恒成立第十讲 开集的可测性,8、设,A,1,、,A,2,是0，1中两个可测集且满足，,证明：,9、设,A,1,、A,2,、,A,3,是0，1中三个可测集,且满足 ,证明：,第十讲 开集的可测性,10、证明存在开集G，使,11、设E是,R,1,中的不可测集，A是R,1,中的,零测集，证明：不可测。
12、若E是0，1中的零测集，其闭包,是否也为零测集？,13、证明：若E是可测集，则对任意,存在 型集,，使,第十讲 开集的可测性,14、证明：位于,0 x,轴上的任何集E（甚至,它在直线上为不可测集）在,0 xy,平面,上可测且其测度为零15、证明有界集E可测当且仅当对任意 ，,存在开集 ，闭集 ，使,第十讲 开集的可测性,16、证明；若 是单调递增集列（不,一定可测），则,17、证明,R,n,中的Borel集类B有连续势18、证明对任意闭集F，都可找到完备集,，使,19、证明只要 ，就一定可以找到,使对任意 都有,第十讲 开集的可测性,（提示：利于闭集套定理）,20、如果 可测，记,证明 也可测，且,21、设 是零测集，证明,是零测集第十讲 开集的可测性,22、设 可测，是含,x,0,的任,一开区间，若下列极限存在,，则称d是E,在点,x,0,的密度，显然 ，如果,称,x,0,是E的全密点i）点,a,是否是 的有密度的点？,（即d0）,第十讲 开集的可测性,(ii)作一集合E，使它在给定点,x,0,具有,密度，且密度等于事先给定值,23、设 是可测集，证明,也是可测集，且,24、设 是可测集，,是旋转变换：,第十讲 开集的可测性,证明：UE也是可测集,且,25、设 是可测集，如果E,的可测子集列 满足，证明：,第十讲 开集的可测性,三复习,（1）,可测集的定义,（2）,可测集的结构,（3）,练习题评讲,作业,：P53 11，12，15,。