CHAP 7 弹性波的传播7-1 弹性波的微分方程弹性波的微分方程7-2 无旋波与等容波无旋波与等容波7-3 平面波的传播平面波的传播7-4 表层波的传播表层波的传播7-5 球面波的传播球面波的传播2概述概述 当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在弹当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播动的形式用有限大的速度向别处传播这种波动就称为这种波动就称为弹性波弹性波本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程 然后介绍弹性波的几个概念然后介绍弹性波的几个概念 针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化 最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式37-1 7-1 弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程 上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程，以及把应力因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程，以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时瞬时 所不同的仅仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微所不同的仅仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替分方程来代替本章仍然采用如下假设：本章仍然采用如下假设：（1）弹性体为理想弹性体弹性体为理想弹性体2）假定位移和形变都是微小的假定位移和形变都是微小的4 对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加速度虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力而产生的惯性力每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的x,y,z方方向的分量分别为向的分量分别为:其中其中为弹性体的密度为弹性体的密度7-1 7-1 弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程5 由平衡关系，并简化后得：由平衡关系，并简化后得：上式称为上式称为弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程。
它同它同几何方程几何方程和和物理方程物理方程一起构成一起构成弹性力学动力问题弹性力学动力问题的基本方程的基本方程7-1 7-1 弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程6 注注1 1：几何方程：几何方程7-1 7-1 弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程7 注注2 2：物理方程：物理方程7-1 7-1 弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程8 由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹性由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹性力学动力问题通常要按位移求解将应力分量用位移分量力学动力问题通常要按位移求解将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：得：得：7-1 7-1 弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程9 这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称为这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称为拉密拉密（Lame)方程方程要求解拉密方程，显然需要边界条件除此之外，由于位移分要求解拉密方程，显然需要边界条件除此之外，由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件量还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件。
为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程简化为：简化为：7-1 7-1 弹性体的运动微分方程弹性体的运动微分方程107-2 7-2 无旋波与等容波无旋波与等容波 一、无旋波一、无旋波 所谓所谓无旋波无旋波是指是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转，在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零假定弹性体的位移假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为：可以表示成为：其中其中 是位移的势函数是位移的势函数这种位移称为无旋位移而相应于这种位移状态的弹性波就这种位移称为无旋位移而相应于这种位移状态的弹性波就称称无旋波无旋波无旋波无旋波11证证：在弹性体的任一点处，该点对在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量轴的旋转量 即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零 将将 代入，可得：代入，可得：同理同理 7-2 7-2 无旋波与等容波无旋波与等容波12 在无旋位移状态下在无旋位移状态下 从从而而 同理同理 将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后得无旋波的波动方程得无旋波的波动方程7-2 7-2 无旋波与等容波无旋波与等容波13其中其中 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度7-2 7-2 无旋波与等容波无旋波与等容波14 所谓所谓等容波等容波是指是指在弹性体内，波动所产生的变形中体在弹性体内，波动所产生的变形中体积应变为零积应变为零。
即弹性体中任一部分的即体积保持不变即弹性体中任一部分的即体积保持不变二、等容波二、等容波 假定弹性体的位移假定弹性体的位移 u,v,w 满足体积应变为零的条件，满足体积应变为零的条件，即：即：这种位移称为这种位移称为等容位移等容位移而相应于这种位移状态的弹而相应于这种位移状态的弹性波就是性波就是等容波等容波7-2 7-2 无旋波与等容波无旋波与等容波15 由于由于 ，故不计体力的运动微分方程简化后，故不计体力的运动微分方程简化后，得得等容波的波动方程等容波的波动方程：其中其中 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度就是等容波在无限大弹性体中的传播速度7-2 7-2 无旋波与等容波无旋波与等容波16 对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论结论：在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相同的方式与速度进行传播以相同的方式与速度进行传播7-2 7-2 无旋波与等容波无旋波与等容波17一、纵波一、纵波定义定义 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向纵纵波的波的波的波的传传播形式播形式播形式播形式7-3 平面波的传播平面波的传播18 将将 x 轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有：移分量都有：从而从而而而7-3 平面波的传播平面波的传播19 代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为恒等代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为恒等式，而第一式简化为：式，而第一式简化为：其中其中 为纵波在弹性体中的传播速度。
为纵波在弹性体中的传播速度显然纵波的传播速度与无旋波相同事实上，纵波就是一种无显然纵波的传播速度与无旋波相同事实上，纵波就是一种无旋波7-3 平面波的传播平面波的传播20 纵波波动方程的通解是：纵波波动方程的通解是：该通解的该通解的物理意义物理意义：以其第一项为例，函数：以其第一项为例，函数 在某在某一个固定时刻将是一个固定时刻将是 x 的函数，可以用图的函数，可以用图(a)中的曲线中的曲线abc表示（假表示（假设是这种形状），在设是这种形状），在 时间之后，函数变为：时间之后，函数变为：如果令如果令 ，则函数可写为，则函数可写为 ，其形，其形式同原函数式同原函数 完全类同，只是横坐标发生平移完全类同，只是横坐标发生平移 见图因此因此 表示以速度表示以速度 向向 x 轴正向传播的波轴正向传播的波7-3 平面波的传播平面波的传播21 同理同理 ，表示以同样速度，表示以同样速度 向向x轴负向传播的轴负向传播的波整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图波整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其），其传播速度为波动方程的系数传播速度为波动方程的系数 cabx(a)(b)7-3 平面波的传播平面波的传播22二、横波二、横波定义定义 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。
弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向横波的横波的传播形式播形式7-3 平面波的传播平面波的传播23 仍然将仍然将x轴放在波的传播方向，轴放在波的传播方向，y轴为质点位移方向，则弹性体轴为质点位移方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有内任取一点的位移分量都有 从而从而 而而 代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒等代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒等式，第二式简化为：式，第二式简化为：为横波在弹性体中的传播速度由于横波的体积应变为横波在弹性体中的传播速度由于横波的体积应变7-3 平面波的传播平面波的传播24 横波的波动方程的通解为：横波的波动方程的通解为：，故横波为等容波故横波为等容波显然，整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波显然，整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波 它的位移沿着它的位移沿着y方向，而传播方向是沿着方向，而传播方向是沿着x方向，传方向，传播速度等于常量播速度等于常量 7-3 平面波的传播平面波的传播25 7-47-4 表层波的传播表层波的传播26 7-57-5 球面波球面波 如果弹性体具有圆球形的孔洞或具有圆球形的外表面，则在如果弹性体具有圆球形的孔洞或具有圆球形的外表面，则在圆球形孔洞或圆球形外表面上受到球对称的动力作用时，由孔洞圆球形孔洞或圆球形外表面上受到球对称的动力作用时，由孔洞向外传播或由外表面向内传播的弹性波，称为向外传播或由外表面向内传播的弹性波，称为球面波球面波。
球面波是球对称的利用球对称的基本微分方程：球面波是球对称的利用球对称的基本微分方程：此时，此时，而不计体力时，用径向惯性力，而不计体力时，用径向惯性力 代替代替 ，27 则上式简写成则上式简写成即得：即得：令：令：假定假定 则则 是位移的势函数代入（是位移的势函数代入（a）式得）式得 （a）7-57-5 球面波球面波28 所以（所以（b）式可写成）式可写成由于由于（b）7-57-5 球面波球面波29 它的通解是：它的通解是：对对r积分一次，得：积分一次，得：由于令由于令F(t)=0，并不会影响位移，并不会影响位移 ，因此上式可简写成为：，因此上式可简写成为：显然，球面波的传播速度等于显然，球面波的传播速度等于 (球面波是无旋波）球面波是无旋波）表示由内向外传播的球面波；表示由内向外传播的球面波；表示由外向内传播的球面波表示由外向内传播的球面波7-57-5 球面波球面波30练习练习11.111.1 什么是弹性波？研究弹性波有何意义？什么是弹性波？研究弹性波有何意义？答：（略）答：（略）练习练习11.211.2 已知钢的弹性模量已知钢的弹性模量E=210GPaE=210GPa，密度，密度=7950kg/m=7950kg/m3 3,混凝土的弹性模量混凝土的弹性模量E=3E=30GPa0GPa，密度密度=2400kg/m=2400kg/m3 3,问在此两种材料杆中纵波的传播速度。
问在此两种材料杆中纵波的传播速度解：解：由纵波在一维直杆中的传播速度公式由纵波在一维直杆中的传播速度公式得得 7-57-5 球面波球面波31 。