第一章第一章 集合与简易逻辑集合与简易逻辑1.1-1.21.1-1.2 集合及其运算集合及其运算1.集合定义集合定义：把一些确定的元素看成一个整体，这个整体就是由这些元素构成的集合.2.元素的特性元素的特性：确定性、互异性、无序性.3.元素与集合关系元素与集合关系：有属于和不属于两种，表示符号为 ∈ 和 ∉ .4.常见集合字母表示常见集合字母表示： 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN+或 N*ZQR5．集合分类集合分类：①按元素个数可分:有限集、无限集；②按元素特征分：数集、点集、坐标集等.6. 集合表示法集合表示法：列表法、性质描述法、图像法（wenn 图像、数轴表示、区间表示）．7. 集合关系集合关系：描述关系文字语言符号语言集合相等集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同A=B间的子集A 中任意一元素均为 B 中的元素 A⊆B 或 B⊇ A 基本真子集A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个元素 A 中没 A⊊ B 或 B⊋A 关系有空集空集是任何集合的子集∅空集是任何非空集合的真子集8.集合运算集合运算：集合运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为 U，则集合 A 的补集为 CUA. 图形表示意义集合 A 与 B 的全部集合 A 与 B 的公共元全集 U 中所有元素，元素，A 或 B.素，A 且 B.除去集合 A 中元素的部分.性质 A ∪ B = B ∪ A；A ∩ B = B ∩ A； A ∪ CUA.=U；A ∪ CUA.=∅；CU（CUA）=A；A ∪ A = A；A ∩ A = A；A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A；A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = A；CUA∪CUB=CU（A ∩ B）；CUA∩CUB=CU（A ∪ B）；A ⊆ B ⇒ A ∪ B = BA ⊆ B ⇒ A ∩ B = A【注意注意】】○1任何一个集合是它本身的子集；○2如果 A⊆B，同时 B⊇A，那么 A = B；如果 A⊆B，B⊆C, 那么 A⊇C； ○3n 元素集合，有子集 2n个；n 元素集合，有真子集有 2n − 1 个；n 元素集合，有非空真子集有 2n − 2 个. 1.3-1.41.3-1.4 逻辑用语充要条件逻辑用语充要条件1．命题概念命题概念:可判断真假的文字或符号的，陈述性语句．不具备判断性 例：2x + 1 = 5 不是命题 {疑问、感叹、祈使等非陈述句 命题 真命题：不符合客观事实判断是命题 {{假命题：符合客观事实判断 2、四种命题关系四种命题关系○1命题联系：○2真假关系：互为逆否命题，有相同的真假性；互逆命题或互否命题，真假性不可判断．3、逻辑连接词：逻辑连接词：且、或、非，符号“∧、∨、≦”. ○1且 p ∧ q：一假则假 ○2或 p ∨ q：一真则真 ○3非≦p：与原命题真值相反○4原命题变非命题简单命题：直接否定判断词单一命题 { 命题 量词命题：互换∀和∃，否定判断词p ∧ q ⇒ ≦p ∨ ≦q {复合命题 2p ∨ q ⇒ ≦p ∧ ≦q 【注】A、 ≦p：非命题(命题的否定)，只否结论，与原命题真值相反。
B、 否命题：条件结论都否定，真值不具备判断性 C、 常用的量词有全称量词和存在量词，用符号表示为∀和∃. D、含有全称量词的命题，叫做全称命 题，含有存在量词的命题，叫做存在命题常用判断词否定判 断=> 0】2.2-2.32.2-2.3 不等式性质与绝对值不等式不等式性质与绝对值不等式1．不等式基本性质不等式基本性质：a > b ⟺ a − b > 0；a b ⟺ b > a○2 传递性：a > b、b > c ⟹ a > c○3 加法法则 a > b ⟹ a ± c > b ± d○移项法则：a + b > c ⟹ a > c − b 4○同向可加性：a > b、c > d ⟹ a + c > b + d○乘法法则：a > b、c > 0 ⟹ ac > bd；a > b、c b > 0，且 c > d > 0 ⟹ ac > bd ○乘方法则：若 a > b > 0 ⟺ a> b .n ∈ N 且 n > 1/ 78nn11910○开方法则：若 a > b > 0 ⟺ √a >√b.n ∈ N 且 n > 1/○取倒数法则：a > b，ab > 0 ⟺ ab1○当 a > 0时，ax > b 的解集为 2 >3，用区间表示为.， + ∞/ ○2当 a b 的解集为 2 0 开口向上a 0＝0＜0二次函数ax2＋bx＋c = 0 (a＞0)的图象[来一元二次方程有两个相异实根有两个相等实根 ax2＋bx＋c＝0没有实数根x ，x (x ＜x)x ＝x ＝− 121212(a＞0)的根2 ax2＋bx＋c＞0 2 | 23* | ≠ 0+R(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0 * | 1 0; ∆ 0：大于取两边，小于取中间 例：a.| | m 或 x 0：大于取两边，小于取中间 例：a. |+ | ⟺+ − 【答案写集合或区间】 ○4如果 c ⟺b. |+ | ⟺+≠ 0b. |+ | 0 且 a≠1），定义域 x>0○2分式函数 y = f（x） ，定义域 g（x）≠0.g（x） ○4函数 y = 2n+1√f（x）(n ∈ N+)，定义域 R. ○6指数函数 y=ax (a> 0 且 a≠1) ，定义域 R ○8正切函数 y = tanx . ≠ 2 + 2 ，∈ /2.42.4一元二次不等式一元二次不等式1.一元二次不等式一元二次不等式：ax2＋bx＋c＞0 或 ax2＋bx＋c f（x2），那么就说 I 称为 y = f（x）的增区间，当整个定义域都符合以上条件时，称为增函数。
2. 单调性证明单调性证明○1函数的单调区间,必须先求函数的定义域；○2判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： a 任取 x1，x2 ∈ M，且 x1 0，a ≠ 1，m ≠ 0/ax−a−x○3f(x) = |x|○3f(x)=.a > 0，a ≠ 1，m ≠ 0/m○4f(x) = cosnxax+1○4f(x) =.a > 0，a ≠ 1/ax−11+x ○5f(x) = loga.a > 0，a ≠ 1， − 1 0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)开口a>0a0y = ax2 + bx + ca0（ − ∞，x1） ∪ （x2， + ∞）（ − ∞，x1） ∪ （x1， + ∞）Rax2 + bx + c > 0a0∅∅（x1，x2）ax2 + bx + c 1，且 n ∈∗），这个数称 a 的 n 次方根（若= ，则 x 称 a 的 n 次方根）.②当 n 为奇数时，a 的 n 次方根记作；= .√√③当 n 为偶数时，a0，n 次方根两个且互为相反数，记作± ( > 0)；√( ≥ 0)√ = | | = {− ( ≤ 0) 2. 实数幂运算实数幂运算∗0○= ∙ ∙ ⋯ ⋯ ( ∈)，n 个；○= 1( ≠ 0). 121− 1−11∗○=( ∈ );=○= √ . > 0, ∈且 > 1/ 34−1∗ + ○=. > 0, 、 ∈且 > 1/○∙=. > 0， ， ∈ / 56√∙ ○( )=. > 0， ， ∈ /○( ∙ )=∙. > 0， ， ∈ / 77 【注】上述性质对 r、s ∈ R 均适用4 4．．2 2 指数函数指数函数1.定义定义：形如 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1)的函数叫指数函数，ax前的系数为 1.2. 图像与性质图像与性质两种情况0 1图像定义域：R值域：y > 0 性质图像都过定点（0，1）即 x = 0，y = 1在 R 上单调递减在 R 上单调递增x 1；x > 0 时，0 0 时，y > 1 对称性x1y = ax与 y = ./ 的图像关于 y 轴对称3.不同底不同底：底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是 a > 1 还是 0 b > 1 > c > d > 04山东春考数学于文军4.34.3 对数及其运算对数及其运算1.定义定义：如果 a 的 b 次幂等于 N，就是=，那么数 b 称以 a 为底 N 的对数，记作 log= ，其中 a 称对数的 底，N 称真数. > 0，且≠ 1/。
①以 10 为底的对数称常用对数，log10 记作 lgN；②以欧拉常数 e( = 2.71828 ⋯ )为底的对数称自然对数，log ，记作 lnN；2.运算运算：○负数和零无对数（真数 N 为正数）；○log 1 = 0；○log= 1； 123○log= , log= N；○ log ( ) = log+ log ；○log= log − log ；456○log= log○log=log. > 0， ≠ 0， > 0. /○log∙ log = 1；7810 log○11log=log4.44.4对数函数对数函数1.定义定义：形如 y = logax(a > 0 且 a ≠ 1)的函数称为对数函数2. 图像和性质图像和性质底数0 a 1a 1图像定义域：.0， + ∞/值域：R性质图像都过定点（1,0），即，x=1 时，y=0在.0， + ∞/上单调递减在.0， + ∞/上单调递增0 0；x > 1 时，y 1 时，y > 0函数 y = log 与 y = log1 的图像关于 x 轴对称 对称性y = loga|x|的图像关于 y 轴对称【注意】底数大小决定了图像相对位置的高低：不论是> 1 还是 0 an其中(n ∈ N∗)递减数列a n+1 < an常数列a n+1 = an 【注意】非 0 常数列即是等差数列又是等比数列，为 0 的常数列是等差数 列。
3. 数列表示方法数列表示方法：列表法、公式法、图像法4．通项公式通项公式:如果数列* +的第 n 项 an与项数 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an = f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．○1同一数列可能有不同的通项公式；○2有些数列无通项公式；○3通项公式可以判断数是否在数列内，如果在数列内，可以求出是第几项 5. 递推公式递推公式：一些项与一些项之间的递进关系例：等差中项公式、等比中项公式 6. 求和公式及求和公式及 与与 关系关系○1Sn = a1 + a2 + ⋯ ⋯ + an；○2an = {S1(n = 1)； Sn − Sn−1(n ≥ 2) 5.25.2 等差数列等差数列1．等差数列概念等差数列概念:○1 定 义：数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，我们称这样的数列为等差数列（符号表示 an），称这个常数为公差，通常用字母 d 表示 (n ∈ N∗，d 为常数)．○2 等差中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a，A，b 成等差数列．那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项．若 A 是 a 与 b 的等差中项，则 A＝ a+b2.2、相关公式相关公式○1 通项公式：an = a1 + nd = am + (n − m)d(a1+an)nn(n−1)○2前 n 项和公式：Sn == a1n +d223、性质性质○1若 m，n，p，q ∈ N∗，且 m＋n＝p＋q，*an+为等差数列，则 am + an = ap + aq.○2 在等差数列*an+中，ak，a2k，a3k，a4k， ⋯，仍为等差数列，公差为 kd. ○3 若*an+为等差数列，则 Sn，S2n − Sn，S3n − S2n， ⋯仍为等差数列，公差为 n2d. ○42Snn3 也成等差数列，其首项与*an+首项相同.公差是*an+的公差的12.5山东春考数学于文军。