考点1 4 锐角三角函数在命题趋势.锐角三角函数主要包括：正切、正弦、余弦，特殊角的三角函数，由三角函数求锐角，解直角三角形以及用锐角三角函数解决实际问题，在江苏省各地的中考中，除用锐角三角函数解决实际问题常考查解答题外，多以选择和填空考查为主，在选择和填空中除解直角三角形考查难度较大以外，其他知识的考查较为简单在 知 识导图正如锐角三角函数的概念 磴余敬特殊角的锐角三角函数锐角三角函数由三角函数值求税角解直角三角形锐角三角函数的实际应用诬重与考向一、锐角三角函数的概念与特殊角的锐角三角函数值;二、解直角三角形；三、锐角三角函数的实际应用考向一：锐角三角函数的概念与特殊角的锐角三角函数值1.锐角三角函数的定义 在 RtZ\ABC 中，NC=90°, AB=c, BC=a, AC=h,正弦: sinA=N A的对边斜边余弦：cosA=N A的邻边斜边正切: tanA=N A的对边a~ bhc根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2. 特殊角的三角函数值asinacosatana30°j_2是2B345°V旦2160°昱22G典新I引森1. (2022•上海市青浦区沈巷中学九年级期中) 在.,43C中，^C = 90°,ZB = a,BC = m, 那么边AC的长为()A. msina B. mcosa C. /ntancz D. mcota【 答案】C【 分析】由题意可知tana =会，将 3C = 机代入即可求得AC. 【 详解】如图所示：在124 3 c 中，ZC = 90°,ZB = a,BC = m,A'/ tan B = tan a =-----,BC/. AC = tan a • BC = m tana .故选：C2. （ 2022. 上海市曹杨第二中学附属学校九年级期中）已知在R t^A B C中，ZC = 90°, ZA = af AC = 3f那么A 8的长等于（ ）3 3A. 3tana B. 3cota C. ------- D. ------cos a sina【 答案】c【 分析】根据余弦函数的定义即可作答.【 详解】• . , 在 Rt/XABC 中，ZC = 90°, ZA = a ,• 〃 A C. . cos NA = cos a = ,AB：.=cos a,/ AC = 3,AB = -^— ,cos a故选：C.3. （ 2022•安徽•合肥市第二十三中学九年级月考） 如图， 在正方形网格中， 点A、 8 、 C 都在格点上， 则sinNABC的 值 是 （ ）B. f【 答案】C 【 分析】连接A C ,根据勾股定理得到AC =右 ，BC = y[5 , AB = W，即可判断NACB = 90。
，即可得到答案.【 详解】解：连接AC,则可得 AC = 6，BC = y/ 5 , AB = y/ w,A C2 + B C2 = AB2,/. ZACB = 90°,在 RtAAB 中，sinZABC = — =— ,AB 2故选：C.4. （ 2022•广东•佛山市南海外国语学校九年级月考）由tan60 的值等于（ ）A. 1 B .如 C. 3 D. 62【 答案】C【 分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.【 详解】解：x/3tan60° = >/3xx/3=3.故选：C.5. （ 2022•浙江・温州市第三中学模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示. 若AE = l m ,则〃尸的 长 为 （）【 分析】根据tana =空，BE = C F，ta n % ,求解即可.AE D FBE【 详解】：AE = lm ,AE /. BE = tan a ,,: BE = C F ,BE = CF = tan a ,CF.•・ tan^ = —,. . “ = 旦 = 出 £tan [J tan 0故选：A.考向二：解直角三角形1 . 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.2 . 解直角三角形的常用关系：在 RtZiABC中，Z C = 90°,贝 （I： 1）三边关系：a2+b2^ 2）两锐角关系：ZA+ZB=90°； 3）边与角关系：sinA=cosB= — , cosA=sinB=— , tanA= — ； 4） sin2A+cos2A=l.c c b3 . 科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切;已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.1. （ 2022・安徽•合肥市第二十三中学九年级月考）如图，在 A8C中，ZA = 15°, AB = 1 0 ,尸为AC边上的一个动点（ 不与A、C 重合） ，连接3尸，则"AP + PB的最小值是（ ）2A. 5x/2【 答案】B【 分析】 以AP为斜边在AC下方作等腰直角△4D尸， 过 8 作5ELA 。
于 E ,通过解宜角三角形可得8E 的长,再根据 £>P = AP-sin45o = 迎 A P，» \^ — AP+PB = D P + P B > B E ,据此即可解答.2 2 【 详解】解：如图，以AP为斜边在4 C 下方作等腰宜角△4 D P ,过 8 作 5 £ ，A£>于 E , 连接8ZPAD = 45°, N8AC = 15°,.-.ZBAD = 60°,:.BE=AB sin6O°=5y/3 >DP = AP sin45° = ^ A P ,2AP+PB = DP+PB>BE,44邂A P +P 8的最小值为5 6 .B.2. （ 2022. 陕西师大附中九年级月考）如图，A£>是 ABC的高，若 8 2c£> = 6,sinZDAC = 手 ，则边A8的 长 为 （ ）A- 2 &B. 4及C. 36D. 6夜【 答案】D【 分析】先解直角.ABC求出A O ,再在直角△回£ ） 中应用勾股定理即可求出A8.【 详解】解：；3£> = 2CD = 6,, CD = 3,; 直角 A4OC 中，sin ZDAC = ^ - ,5AC=— — = 3 6 ,sin Z.DAC在 Rt ADC中，AD =《AC2-D C ? =2— 32 = 6 » 二直角△A3。
中，由勾股定理可得，AB = yjAD2 + BD1 = >/62 + 62 = 6 ^ -故选D.3. (2022•浙江•杭州市丰潭中学九年级月考) 圆内接正六边形的边长为2 , 则该圆内接正三角形的边长为( )A. 4 B. C. 2后 D. 2 0【 答案】D【 分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及特殊角的三角函数值求解即可.【 详解】如 图 ( - ) ,( - )• . •圆内接正六边形边长为2,二 AB = 2, ZAOB = ^360-° = 60° ,6,: OA = OB,. . . 可得上 3 是等边三角形，圆的半径为2,如图( 二) ，( - )连接 8, 过 作O D L 8 C 于 则根据内接正三角形的性质，可得NO8C = 30 ,B |J BD = OB・cos300 = — x2 = V3 ,2故友; = 2BD= 2>/3 .故选：D. 4. （ 2022. 江苏. 沐阳县怀文中学九年级期中） 以下列三边长度作出的三角形中， 其外接圆半径最小的是（)A. 8, 8, 8 B. 4, 10, 10 C. 5, 12, 13 D. 6,【 答案】A【 分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可.【 详解】A、是等边三角形，设 。
是外心，8, 10A BF = CF = 4,AFrBC, 5E平分NASC,ZOBF = -ZABC = 30° ,2BF 4 8 g• • cos 30° 5/3 3 ，TABC的外接圆的半径为更，3B、•. 二 ABC是等腰三角形，过点A 作 AO_Z.BC于D ,延长A于E,V AB = AC = \0,：. AB = AC 9 BD = CD = ^BC = 2,•* - AE 是 : o 的直径，AD= y/AB2- BD- = V102- 22 = 46，：. ZABE = ZADB = 90° f,: ZBAD = Z£AB，：• AADBs^ABE, . AB AD・ ・----=-----，AE AB・ 10 476・ • 瓦 一 记 ‘._ 2576・ ・AE =---- ,6外接半径 为 至 西 ，12C、； 5?+12? =132,. . . 此三角形是直角三角形，13. ••此三角形外接圆的半径为 最 ，D、V 62 +82 =102 .. •. 此三角形是直角三角形，• ••此三角形外接圆的半径为5,. •. 其外接圆半径最小的是A 选项，故选：A.5. （ 2022•安徽・九年级期中）如图，在菱形43C。
中，ZS = 4 5 ° ,动点尸从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点8 停止，同时动点从点B 出发，以每秒2 个单位的速度沿折线8 - C -运动到点D停止. 图②是点P , 运动时V8PQ的面积S与运动时间f 的函数关系的图像，则机的值为（ ）A. 2 B. 2& C. 3 D. 4【 答案】B【 分析】由图②知，尸 、两点运动的时间为4 , 则菱形的边长为4 , 点 在 C 的左侧和在C 的右侧S 的表达式求法不同，当 5 = 初时，此时点在 C 点，而点P 在 4 8 的中点，进而求解.【 详解】解：山图②知，P、Q 两点运动的时间为4 , 则菱形的边长为4,♦••点在C 的左侧和在C 的右侧S的表达式求法不同，二当5 = 加时，此时在C 点，而点尸恰为AB的中点， ，PB = ^A B = 2, BC = 4 ,贝 l J m = S = ；8 Q - P 8 s i n 8 = 2 0 ,故选：B .考向三：锐角三角函数的实际应用1 .仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角.俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角.2 .坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度" 和水平宽度/的比叫做坡面的坡度（ 或坡比） ，记作i = 1 .坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a , i = t a n a . 坡度越大，a角越大，坡面越陡.3 .方 向 角 （ 或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于9 0 。
的水平角叫做方向角.北生偏东30度北偏西7Q度70犷争T东西 南 方 向।南偏东50度吉 一 一 L - 今典例引砥* * A .二 ■ -LJ1 . （ 20 22・陕西师大附中九年级月考）如图，河堤横断面迎水坡A8的坡比是1:6，坡高B C = 2 m,则迎水坡宽度AC的 长 为 （ ）A . 25 /2m B . 4m C . 2也m D. 6 m【 答案】C【 分析】由堤高B C = 2 米，迎水坡AB的坡比1 ： 石 ，根据坡度的定义，即可求得AC的长. 【 详解】解：• • •河堤横断面迎水坡4 8的坡比是1 :6 ,. “ / 2 _ B C _ 1 _ V 3AC 73 3BC = 2,• 2"A C - VA C = 2 0故选：C.2 . （ 2 02 2•浙江. 宁波市镇海蛟川书院模拟）如图，为了测量山坡上一棵树P Q的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45 ，然后他沿着正对树R2的方向前进12 m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60 和30 ，设P Q垂直于A B ,且垂足为C .则树P Q的高度为（ ）（ 结果精确到0.1m ,> /3«1.73 ）【 答案】A【 分析】设长三rm，在R tAAP C1和RtABPC中，求出AC和3 C ,根据43 = A C -3 C即可列出方程求得x的值，再在R tZ ^ BQC中利用三角函数求得QC的长，则P Q的长度即可求解.【 详解】解：设P C= _ xm.在 R tAAP C 中，Z P A C = 45° ,二 A C = P C = x ；" ：NP 3C = 60°,，N B P C = 30°.在 R tZ \ BP C 中，BC = — PC = — x,33AB = A C - BC = l2m ,• • x------x = 12 »3 解得：x = 18 + 6V3 .!O C = 6 e+ 6 ，在 Rt/XBQC 中，QC = ^ B C = 6 + 2 G ,PQ = PC-QC = 18 + 6 G - （ 6 + 2 6 ） = 12 + 4G al8.9（ m） .答：树 PQ的高度约为18.9m.故选：A.3. （ 2022•山西太原•九年级月考）如图，小明为了测量门口一棵大树的高度，他自制一个RtADEF纸板测量大树AB的高度，已知tan /£ » F = 0 .5 ,他调整自己的位置，设法使斜边。
尸保持水平，并 且 边 与 点 8 在同一直线上，测得边 尸离地面的高度AC = 1.5m, C£> = 1 3 m ,则树A 8的高度是（ ）BA. 7m B. 7.5m C. 8m D. 8.5m【 答案】C【 分析】 在R tA D C B ,利用tan NED尸= 0.5和CD的长， 求出BC的长， 利用AB = A C + B C ,进行求解即可.【 详解】解：由题意，得：^DCB = 90°,tanZEDF = 0.5,CD = 13m ,/. BC = CD-tan NEDF = 13 x 0.5 = 6.5m ,M = AC+BC = L5 + 6.5 = 8m ：故选：C.4. （ 2022・山西长治•九年级月考）如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，A D //B C ,坝高0 c = 8 m ,将原坡度i = 1:0.25的迎水坡面AB改为坡角为60°的 斜 坡 此 时 ， 河坝面宽减少的长度AE等于 （ ）（ 结果精确到0 .1 m ,参考数据打 “ 73） A. 2.2mB. 2.6mC. 3.2mD. 3.6m【 答案】B【 分析】过点A 作A E 1 8 C 于点尸，过 E 作 E” 工BC于 点 根 据 平 行 线 间 的 距 离 处 处 相 等 ，得出A F = E H = D C = S m ,再根据坡比的定义，得出班' = 2 , 再根据锐角三角函数，得出=巡 m , 再根据3线段之间的数量关系，即可得出结果.【 详解】解：过点A 作 A尸1 8 c 于点F,过 E 作 E H J.BC于点H ,V A F 1 B C , E H 1 B C , AD//BC,： .A F = E H = D C = 8m,• . •坡度 i = l ： 0.25,，A F:BF = 8: BF = 1:0.25 ,解得：BF = 2,•； tan 60° = = — ^― = \!?> ,B H B H/. B // =— ( m ),3A AE = F H = B H - B F = - - 2 ^ 2 . 6( m ).3故选：B5. （ 2022•吉林・长春博硕学校九年级月考）某火箭从地面尸处发射，当火箭达到4 点时，从位于地面。
处雷达站测得A、的距离是500米，仰角尸为则发射点P 与雷达站之间的距离是（)A. 500sin a 米【 答案】BB. 5(X)cosa米【 分析】在中，山cosa = ；合 =筮，可求得「 即可得出答案. 【 详解】解：由题意得，4 500米，在必一 APQ中，PQ PQcos a = = ,AQ 500解得：PQ = 500cos a ,・•・发射点尸与雷达站之间的距离是5（ X ） cosa米.故选：B在跟踪i j l l练1. （ 2022・四川遂宁•模拟）如图，工人师傅准备从一块斜边AB长为40cm的等腰直角A 03材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥（ 接缝处忽略） ，则圆锥的底面半径为（ ）0A. 5cm B. 30cm C. 4cm【 答案】A【 分析】作于点C, 首先求出扇形的半径OC的长,周长公式，即可求出底面半径.【 详解】解：如图，作于点C,是斜边A 8 长为40cm的等腰直角三角形，/. OA = OB, OAr+OB- =402.0A = OB = 2 0 0 cm ，ZA = 45°,. • 》45。
=变 =也 ，OA 2也•* - OC =—— OA = 20cm，2二扇形的弧长 =笔 3 = 101，18（ ）rD. 26cm再根据弧长公式，求出弧长，然后再根据圆的设底面半径为， cm ,则2仃 = 10万， 解得：r = 5,. ••圆锥的底面半价为5cm.故选：A2. （ 2022•浙江・杭州北苑实验中学模拟）如图，在 Rt_A3C中，ZC = 90\ AB = 5, BC = 3 , 则lan A 的值为 （ ）【 答案】B【 分析】首先利用勾股定理得出AC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案即可.【 详解】解：：在 Rt ABC中，NC = 90°, AB = 5, BC = 3,AC = yjAB2-B C2 = 5/52-32 = 4-.」BC 3. . tan A = ---- = —.AC 4故选：B.3. （ 2022. 山东•阳信县实验中学模拟）如图所示，已 知 O 是一A B C 的外接圆，是 的直径，连接CD ,若 AD=3, AC=2, J UhosO 的 值 为 （ ）【 答案】B 【 分析】由直径所对圆周角为直角, 得出：4但 ,再由勾股定理求得8 的 长 ' 由 cosD = 而 即 可求得结果.【 详解】解：AD是。
的直径,:.ZACD = 90° ,A£) = 3, A C = 2,CD = V5 .. • . 3 空 = 正 ,A D 3故选：B.4. （ 2022•宁夏•固原市原州区三营中学一模）如图，在 Rt4A B C中，NC = 90 ，AC = B C ,点 在 A 8上,经过点A 的与 8C 相切于点 交 A 8于点£ 若 则 图 中 阴 影 部 分 面 积 为 （ ）A. 3 gB. 1-Kc 3-T、/ 3万D. 4------4【 答案】C（ 分析］ 过点作OF _L AC, 可得Z A F O = Z C F O = 90°, 可得四边形ODCF是矩形， 进而可得OF = C£> = 如，在R J A O F和■△08中，利用锐角三角函数的定义求出4 和 3 0 的长，最后根据面积公式，进行计算即可解答.【 详解】解：连接 尸，A C ,垂足为F,・•・ ZAFO = ZCFO = 90°, * / BC 4 相切于点・ ・ ・ /O D C = /ODB = 9Q ,• / ZC = 90°,. ••四边形ODCT是矩形，・ •・ OF = CD = 6 ,•/ AC = BCf： .ZB = ZBAC = 45°,cd _ O F _ G _ 万在 Rt.AOF 中，°A -sin45。
- 老一 "，V...OD = AO =瓜,在 RtZXOBD 中，4 = 45°,/. BD = OD = R , 4 £ > = 90 - " = 45 ，,阴影部分面积=Z\BOD的面积一扇形EOD的面积। 45万、 （ 后= -B D O D ----------~2 360= —x ^6 x>/6- —2 4= 3-，，4故选：C.5. （ 2022•山东省实验初级中学模拟） 在正方形网格中,E1: B\ ：__ L__ 1__A. — B . 型 C. 15 5 2△ A8C在网格中的位置如图， 则 cosB的值为（ ）4…__ 1 __ L___D. 2【 答案】A【 分析】在 直 角 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 得 EB的长，然后根据余弦函数的定义即可求解.【 详解】如图， 在直角△£ »£ ) 中，BD=2, ED = 4,•* - EB = >JBD2 + ED2 = A/22 + 42 = 25/5 >则 cosB = ^ = j = 或EB 2 后 5故选：A .6. （ 2022・辽宁・丹东市第十七中学一模）如图，等 腰 ABC中，CA = CB = 4, ZACB = 120。
，点 段A8上 运 动 （ 不与A、8 重合） ，将 . 6 与△C8O分别沿直线C4、C3翻折得到二C 4P与△C3给出下列结论:@CD = CP = CQ.② △PC面 积 的 最 小 值 为 拽 ；5③当点在 A 3的中点时，一 PR 2是等边三角形;④当尸 的长为勺叵；3其中所有正确结论的序号是（ ）A . ①②③B . ①③④【 答案】B【 分析】①由折叠直接得到结论:②由折叠的性质求出NACP+ZBCQ = 120 ，再用周角的意义求出NPCQ = 120 ；先作出△PC的边PC 上的高，用三角函数求出QE = ^ C Q ，得到SN C° =3CZ） 2 ,判断出△PC面积最小时，点 的位置，据此求解即可；③先判断出AAPD是等边三角形，△B是等边三角形，再求事NPDQ = 60 ，即可; ④ 当 Q , C, Q 共线时，可以证明NPQ6 = 90 ，求 出 此 时 的 值 即 可 .【 详解】解：① : 将 .C W 与△CBQ分别沿直线C4、C 8翻折得到, C 4P与△C % ,：.CP = CD = C Q ,故①正确；②・； 将 二 C4D与△C3O分别沿直线C4、CB翻折得到， . CAP与△O Q ,A ZACP = ZACP, NBCQ = NBCD,：. ZACP + NBCQ = ZACD + /BCD = ZACB = 120° ,：. ZPCQ = 360°-(ZACP+ BCQ+ZACB) = 360°-(120° +120°) = 120°,如 图 1 中，图 1过点。
作 Q E S C交PC延长线于£ ,•； ZPCQ = 120° f：. ZQCE = 60° f在 RlZXQCE 中，sin Z.QCE =—— ,CE = CQxsin ZQCE = CQxsin60 = * C CP = CD = CQSAPCQ=；CPXQE = ；CP义与CQ = W c > ,8 最短时，S P C Q 最小，即：时，CO最短，过点作C尸1 4 3 , 此时C尸就是最短的CD,V AC = BC = 4, ZACB = 120°,: . ZABC = 30°,Z. CF = -B C = 2,2即：CD最短为2,“、 嫂小=¥ C 2邛X 22 = 6, 故②错误， ③ : 将 二 C 4D 可△C8Q分别沿宜线C4、CB翻折得到， .C 4P呵△C8Q,/. AD = AP, ZDAC = ZPAC，• / z m c = 30°,/. ZE4D = 60°,・ ・ ・尸 是等边三角形，: ・ PD = AD, Z/W尸= 60 ，同理：△BOQ是等边三角形，: .DQ = BD, NBDQ = 60 ,・ ・. ZPD(2 = 60°,♦ . , 当点。
在 4 5 的中点，，AD=BD,J PD = DQ,• ♦.VOPQ是等边三角形. 故③正确,④如图2 中，Q图2当 D, C , 共线时，,: BQ = BD, NQBD = 60 ,・ ・ ・ △8DQ是等边三角形，.・. ZQDB = ZPAD = 60° f：. PA// DQ.：. ZACD = ZPAC = ZCAD = 30°,：. PA = AD = CD = PC,・ ・ ・四边形AO”是菱形，.・. PA = CD = CQ,・ ♦ ・四边形APQC是平行四边形，.・ ・ ZPQC = ZPAC = 30°, N Z 3 = 90° ,过点 C 作 C F1 AB于 F ,则 AF = FB = BC-cos30° = 2 6 ,,/ N D C B = Z A C B - Z A C D = 90°,B D = 2CD = 2AD,A A D = - A B = ^ - ,故④正确，3 3综上，①③④正确，故选：B.7. （ 2022. 山东. 济南市东方双语实验学校模拟）如图，从 M 地到N 地的飞机航线经过某市的地标建筑物A的上空，一架飞机在从M 地飞往N 地途中8 处测得建筑物A 顶部的俯角为。
继续沿航线飞行20千米，飞机恰好处于建筑物4 的正C 处，则此时飞机距建筑物A 的顶部的距离是（ ）A. 20sina千米 B. 20cosa千米 C. 20tana 千米 D. -------千米tana【 答案】C【 分析】设飞机距建筑物A 的顶部的距离是x 千米，利用tan a= 点 求 解 即可.【 详解】解：设飞机距建筑物A 的顶部的距离是x 千米，X则由题意可知：tan a = — ,二x = 20tan a , 即飞机距建筑物A 的顶部的距离是20tana千米.故选：C8. （ 2022. 浙江. 宁波外国语学校一模）如图，在 矩 形 纸 片 中 ，点E 、F 分别在矩形的边AB、AD±,将矩形纸片沿CE、C F折叠，点8 落在”处，点 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若 AB = 9,A D = 6, BE = 3 ,则 O F的 长 是 （） rDr9V24【 答案】D【 分析】由折叠的性质可得 BC = CH = 6, NDCF = NGCF, BE = EH = 3, NB = NCHE = 90 ,由“AAS”可证△C/W&Z k a w ,可得NP=PH , CH = CN = 6 ,通过证明四边形BCMW是正方形，可得MN = 3M = 6,在中，利用勾股定理可求NP的长，山锐角三角函数可求解.【 详解】解：如图，延 长 交CF于点P ,过点P作MNLCD于N,• • •将矩形纸片沿CE、C尸折叠，点B落在”处，点。
落在G处，/. BC = CH = 6, NDCF = NGCF , BE = EH =3, NB = NCHE = 90 ,在4CPH和ACPN中,2CHP = NCNP = 90'< ZGCF = ZDCF ,CP = CP：. ^CPH^/\CPN （ AAS） ,:• NP=PH, CH = CN = 4,；NB = NBCD = 90° , MN LCD,二四边形BCNM是矩形，XV CN = CB = 6,，四边形8cMW是正方形，:. MN = BM = 6,：. EM = 3,EP2 = EM2 + PM2，/ . （ 3 + /V P ）2= 32+ （ 6-7V /J）2,二 NP = 2, */ tan Z.DCFNP~CNDF~CD. 2 _D F> >—= -----6 9，DF = 3,故选：D.9. (2022. 浙江•杭州绿城育华学校模拟) 已知a 为锐角， 若 百 tan, a -4 ta n a + 石 =0 , 则a 的度数为【 答案】60 或30°【 分析】因数分解G tan 2 a-4 tan a + 白 = 0 , 即可求解.【 详解】解：原式化为G tan 2 a-4 tan a + G = (ta n a -G )(J 5 ta n a -1) = 0 ,tana = 6或 tana = / • , a 为锐角，3由特殊角的三角函数值得，a = 60。
或a = 30°,故答案为: 60°或30°.10. (2022•山东滨州•模拟) 如图，在等腰三角形4 3 c 中，AB = A C ^ 5 ,底边BC = 6 , 则底角的余弦值为【 答案】|3【 分析】 过力作AO工于点， 根据等腰三角形的性质得到8O = OC = gBC = 3 , 而 A8 = 5 , 在Rt^ABO中，根据余弦的定义即可得到底角的余弦值.【 详解】解：过 A 作 A1 3 c 于 点，如图, Afi = AC = 5, BC = 6,BD = DC ==BC = 3,2在 RtAABD 中，8 s” 型3AB 53故答案为:AH .（2022・浙江•宁波市镇海蛟川书院模拟）如图，A 8为 ： 的直径，C 为上一点，连接4C O E为O的切线，过切点 E，A C ,交直线AC于点E , 连接C 交 A 8于点〃 ，若 AE = 1, AC = 8 , 则tan ZAMD=13【 答案】y【 分析】 连接8 、3 C ,延长交 BC于连接3D、A D ,过作O G LA C 于G ,过 作由切线的性质及矩形的判定与性质可得4 = 5 , 再根据圆周角定理、勾股定理及矩形的性质可得DC=D3,最后根据全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质可得答案.【 详解】 解：连接8 、B C ,延长。
交于”， 连接BZX A D ,过作O G LAC于G , 过 作£ ＞ 尸，于 F ,,: DE为的切线, ・ ・ ・NODE = 90 ，V OE1.AC, OG±ACf・ ••四边形ODEG是矩形，： ・OD = EG, OE = OG,VOG1AC,・ ・ ・AG = CG,*/ AC = 8,: . AG = CG = 4,J EG = AE+AG = \ + 4 = 5,：. OD=EG = 5,,: OA = OD,: . 0A = 5,在4G中，OG = yJoA2-AG2 =752-42 =3,TAB为的直径，・ •・ NACB = 90 ，・ ・ ・四边形OECH是矩形，: .CH = DE = 3,V O. G分别是AB、AC中点，・ ・. OG = -B Cf2：. BC = 2OG = 2x3 = 6,：.BH = BC-CH = 6— 3 = 3,・ •・ BH = CH ,■ : DH IB C ,: .DC=DB,：.ZDCB = NDBC,V ZEAD = ZDBC, /BAD = NDCB,: .ZEAD=ZBAD,■ : DF1OA,：. ZAED = ZAFD = 9Q0, 在 △血＞ 和△AED中/AED = /AFD< EAD = /BAD ,AD = AD： ._4E£)g«4QO(AAS),/. AE = AF = U DE = DF = 3,OD//AC,： , JJDM s乙 ACM ,. OM _0D _5" AM ~ AC~ S'. 5-AM 8 = 5AM ~~8~"： .AM=—f13・40 । 27. . FM = AM -AF = - - - i = - - ,13 133/. DF 97 13tan ^AMD =——= -22- = — ,FM 13 913故答案为：— .12. (2022•河南・郑州外国语中学模拟) 如图，已知在长方形纸条ABCD中，点G在边BC上，BG = 2CG,将该纸条沿着过点G的直线翻折后，点C、。
分别落在边3C下方的点瓜 尸 处 ，且点E、F、8在同一条直线上，折痕与边AO交于点“，HF与BG交于点M .设=代数式表示）二4 一q"..................E【 答案】2 ®【 分析】过点M作 "N L G E ,连接8尸，利用矩形和折叠的性质即可得解.【 详解】如图，过点M作“N_LGE,连接所 ：那么△GHN的周长为_ _ _ _ _ _ （ 用含/ 的..D■c,推出△乂! 〃? 为等边三角形，求出MG, 丁点E、F、3在同一条直线上，:•点、F在B E匕, / 将长方形纸条ABCD沿/ 伤翻折，A ZE = ZD = 90°, GE = GC, ZMHG = ZDHG；• / BG = 2CG,・ ・ ・BG = 2GE,.・ . c/oRs Z厂B口G EG =E 1=—,BG 2，ZBGE = 60°：・ ・•四边形ABCO是矩形，・ ・. MH 〃 GE、AH 〃 MG、CD = AB = t .：. /HMG = NBGE = 60°, ZAHM = NHMG = 60° ；：. ZMHG = --8Q-^6 0° = 60° ,2・ ♦・ZV/MG为等边三角形;ZMFE = ZFEN = ZENM =90° ,・ ・ ・四边形MNM为矩形,：. MN = FE = CD = t；NMGV = 60。
，・ •. MG = MN+sin 4MGN = ^ - t ,3* * • ZS.GHM 的周长=3 x 冬叵 f — 2\/3t ；3故答案为：2 4 .13. (2022・吉林长春・模拟) 如图， 点42,0), 3(0,4),点C是 B一点， 若N1 = N 2,则丛BC的面积为 【 答案】3【 分析】根据点A和点B 的坐标，得到4 和0 B 的长度，根据角相等，得到正切值相等，再得到BC长度，最 后 求 出 的 面 积 .【 详解】解：由题意可知,OB = 4 , OA = 2、tan Zl = tan Z2 ,. OA PC, , = ，OB OA.-.OC = 1,:.BC=OB-OC=4-1 = 3f- S ^B C=^BCOA = ^X3X2 = 3.故答案为: 3.14. （ 2022•山东临沂, 三模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“ 步云阁' ’ 的高度，他调整自己的位置，设法使斜边 尸 保持水平，边 DE与点8 在同一直线上，己知直角三角纸板中£>E = 16cm,EF = 12cm,测得眼睛D 离地面的高度为1.8m米，他与“ 步云阁” 的水平距离CO为104m，则“ 步云阁” 的高度AB是【 答案】79.8【 分析】在此△ £ > £ 万中，根据正切定义求出ta n /，再在根据tanN£>求出8 C , 即可得到答案.【 详解】解：：在 RrADEF 中，£>£ = 16cm, £F = 12cm,DE 16 4 在用ADC8中，tanZD = - ^ | = | ,且 CO = 104 ,解得：BC = 18 ,：. AB = AC+BC = 78+].8 = 79.8(m ) ,故答案为79.8.15. (2022•浙江衢州•模拟) 计算：2sin300-1-3|+(^-2022)0- ^【 答案】TO .【 分析】根据特殊角的三角函数值、绝对值性质、零次辕性质以及负指数累性质进一步计算即可.【 详解】解：2sin30°-|-3|+(乃-2022) ° -(g )= 2 x l- 3 + l-92= 1-3+ 1-9= -10.16 . 计算：(-4) ° - V12 + 4sin 60° -(-2 ) .【 答案】3【 分析】先根据零指数基，二次根式的性质，特殊角锐角函数值化简，再计算，即可求解.【 详解】解：(-4) ° -^ + 4 s in 6 0 ° -(-2 )=1— 2 6 + 4x 坐 + 2=317 . (2022•江苏镇江•一模) 本学期小明经过一段时间的学习，想利用所学的数学知识对某小区居民楼A 8的高度进行测量. 如图，先测得居民楼A 3与CD之间的距离3D 为 31m ,后站在厂点处测得居民楼CO的顶端C 的仰角为45。
.居民楼AB的顶端A 的仰角为55 .已知居民楼CD的高度为16.7m ,小莹的观测点E 距地面1 .7 m .求居民楼AB的高度( 精确到1m).( 参考数据：sin 55° « 0.82,cos55° « 0.57, tan 55° ® 1.43 ) 【 答案】25m【 分析】过点E 分别作EG_LC£>,E” ，A 8 , 分别解Rt EGC和Rt E H A ,求出AG的高度，再利用AB = AH + BH ,即可得解.【 详解】解：如图，点E 分别作E G L C R M L A B ,垂足分别为点G,” , 则：NCEG = 45°,NAEH = 55° , BH = DG = EF = 1.1, GH = BD = 31 ,：. CG = CD-DG = 16.7-1.7 = 15,在 Rt EGC 中，ZCEG = 45°,CG = 15,：. EG = CG = \5,: . EH = H G -EG = 31-15 = 16,在Rt_E/£4中，A //= E” *tan55°~ 16x1.43 = 22.88,AB = 22.88+1.7 = 24.58 = 25m ：. ••居民楼AB的高度约为25m.18. （ 2022. 河南驻马店. 模拟）如图所示，当一热气球在点A 处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点8的仰角为45。
， 看高楼底部点C 的俯角为60 ， 热气球与高楼的水平距离为60米， 那么这栋楼高是多少米？（ 结果保留根号） . 【 答案】（ 60 + 6 0 g ） m【 分析】过 A 作AO上8 c 与 在Rt^A C D 中求出C在中求出3 0 , 从而可求出8 c .【 详解】过点4 作3 c 的垂线，垂足为Z） 点，在 RtZXACD 中，ZC4D = 60° , AD1BC,则 C£>=AD 在砸 03 口 m) ,在 RtAABD 中，tan NBAD = ,AD:.BD = ADtan45° = 60m,BC = CD + BD =（ 6 0 + 6 0 ^ ） m .答：这栋楼高是（ 60 + 60w ）0 1.19. （ 2022•四川•泸州国家高新区初级中学校模拟） 如图， 在平面直角坐标系中，4（ 0,4） ,8 （ 3,4） , P 为线段上一动点，过 P, 8 三点的圆交x 轴正半轴于点C , 连接A 8 ,P C ,8 C ,设OP = 〃 ?. (1)求证：当 P 与 A 重合时，四边形POC5是矩形.⑵连接尸 3 , 求 tanZBPC的值.(3)设圆心为M , 连接当四边形POA仍中有一组对边平行时，求所有满足条件的， 〃的值.【 答案】(1)见解析7 - 5(3)加=;或 " ? = 不4 2【 分析】(1)首先由直径所对的圆周角为直角，然后结合AB_Ly轴，即可证明出四边形POCB是矩形：( 2 ) 连接。
8 , 根据同弧所对的圆周角相等和平行线的性质得到NBPC=NABO,然后根据正切值的定义求解即可；( 3 ) 分OP〃 咽 和 OM P8两种情况讨论，分别根据勾股定理和全等三角形和相似三角形求解即可.【 详解】(D V Z C O A = 90° ,： . PC是直径，Z.PBC = 90° ,••• 40,4), 8(3,4),A8_Ly 轴，当尸与4 重合时，Z O P B = 90° ,二四边形尸 C8是矩形；( 2 ) 连接OB,Z B P C = ZBOC,' ：AB//OC,： .N A B O = N B O C ,： .Z B P C = Z A B O , (3) ；3C为直径,为PC的中点，如图，①当OP 〃BM时，延 长 交 0C 于 M/. BN 1 0 C ,，四边形OA8N是矩形，，NC = ON = AB = 3,BN = OA = 4,在 R tzX MN C 中，设 期 / = r , 则 M /V = 4 — r,由勾股定理得：（ 4 -» + 3 2 = 产 ，解得〃 = §2 5，82 5 7:・MN = 4 ——= - ,8 8•・ ・ M 、N分别是PC、OC的中点，7Z. m = OP = 2MN = 94如图，②当O M P8时, ・ ・ ・ 4PBO = /BO M ,,/ 4PBO = 4PCO,：. NBOM = ZPCO = ZCOM ,・ ・ ・ VBMO^ VGVf O（ AAS ） ,: .OC = OB = 5f* / AP = 4 -m ,J 8尸=（ 4 一 根y +32 ,,: ZAOB = /BCP,：. VAOBWBPC,. OB AB^~PC~~BP'：. PC = -BP ,3/. y [ （ 4 -w ）2+32] = /n2+52,解得：机或加= 1（ ）（舍 ） ，7 5综上所述：〃?=二或5=二.4 22 0. （ 2 02 2•宁夏・固原市原州区三营中学一模）如图，在ABC中，AC = B C ,以4 3为直径的圆交AC, BC与 点E和 点 。
且E为A C的中点，过E点作M SB C与 点F ,BD F C (1)求证：EF是的切线；⑵ 求 M的值.DC【 答案】⑴见解析⑵ 旦 ”BC 4【 分析】( 1 ) 连接0 E，根据二角形中位线定理即可解决问题；( 2) 连接B E,判定a A5 C为等边三角形，即可得到N ABC = N C = 60 ，进而得出EF 的长，即可解决问题.【 详解】( 1 ) 证明：如图，连接0E,为，的直径，是 A 8的中点，•.•E 为AC的中点，OE//BC,'：EF1BC,：. OEVEF,是，的半径，.•.E F 是， 的切线；( 2) 解：如图，连接8E ,：A 8为一的直径,二 BEL AC,TE为 AC的中点，, AB = BC, ,: AC = BCf：. AB = BC = AC,・ ・. .ABC为等边三角形，，ZABC = ZC = 60°,设 等 边 的 边 长 为〃，二 £F = CExsin60° = — a ,4. EF 瓜 I y/3• • --------= -----------X -= --------.BC 4 a 4在真题过关1. （ 2022•江苏镇江・中考真题）如图，在 等 腰 ABC中，ABAC = 120°, BC= 6石 ， 。
同时与边fi4 的延长线、射线AC相切，的半径为3 . 将一ABC绕点A按顺时针方向旋转a （ O°
时，8"C〃 所在的宜线与相切.当8'C」 A时，即a =90 时，8C ’所在的直线与相切.. •. 当a 为 90 、180 、360 时，8 c 所在的直线与相切故答案选C.2. （ 2022. 江苏南通•中考真题） 如图，B 为地面上一点，测得B 到树底部C 的距离为1 0 m ,在 8 处放置1m高的 测 角 仪 测 得 树 顶 A 的仰角为60 ，则树高AC为 m （ 结果保留根号） .【 答案】10>/3 + 1Ap Ap l【 分析】在 R/A4DE中，利用1 皿 / 4 ） £ = ， 二 = —=6, 求出AE = 1QG ，再加上1m即为4 c 的长.D E 10【 详解】解：过点作 D E上AC交于点E , 如图：则四边形BCE是矩形，： .BC=DE, BD=CE,由题意可知：Z A D E = 60° , D E = B C = \Qm.Ap Ap L在即AAOE 中，tanZAZ)£ = ——= ——= V3 ,D E 10/. AE = l0y/3,： .AE + EC = (10G + l)m , 故答案为：i o G + i3 . （ 2 0 2 2 •江苏扬州•中考真题）在A A B C 中，Z C = 9 0 ° , a 、b 、c 分别为N A 、则s i n A的值为.［ 答案］一 " 亚2【 详解】解：如图所示：NC的对边，若 ^ = 农 ,在R t . A B C 中，由勾股定理可知：a2+ b2=c2,a c = b2，22/ . + a c = c，. a > 0 , b >0 , c > 0 »a2 + a c c2 目门（ a \ a ］—— Z — = 一 7 ，即： 一 + — = 1 ,c c J c求出q=二 比 叵 或 色 = 土 叵 （ 舍去） ，c 2 c 2• ••在RLABC中：s i " ，c一 " "，2故答案为：上 叵 .24 . （ 2 0 2 2 •江苏连云港•中考真题）如图，在6 x 6 正方形网格中， A 8 C 的顶点A、都是小正方形边的中点，则s i n A=.5、C都在网格线上，且 【 答案】|4【 分析】如图所示，过点C 作 CELAB于 E , 先求出CE, AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可.【 详解】解：如图所示，过点C 作 CE_LA8于 E,由题意得CE = 4, AE = 3,AC = yjAE2+CE2 =5>5. (2022. 江苏淮安・中考真题) 如图，湖动A 、8 两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连. 为了计算A 、B两点之间的距离，经测量得：44C =37。
，Z/U5c = 58 ，AC = 80米，求A 、B两点之间的距离. ( 参考数据：sin 37° « 0.60 , cos37° « 0.80, tan 37° « 0.75 , sin 58° « 0.85, cos58° « 0.53 , tan 58° «1.60 ) 【 答案】A、8两点之间的距离约为94米【 分析】 过点C作C£>_LA3,垂足为点 分别解RtZXACQ, Rt BCD，求得力D,8的长， 进而根据A5 = AO+6O即可求解.【 详解】如图，过点C作C 0_L A 3,垂足为点V ZZMC = 37°, AC = 80 米 ,sin ZDAC = — . cos ADAC =—ACACA CD= AC sin37°«80x0.60 = 48 （ 米） ,= AC - cos 37° « 80 x 0.80 = 64 （ 米） ,在 Rt BCD'K•： /C B D = 58 CD = 48 米,CD：. tan ZCBD =—BDBD = - C D « —= 30 （ 米） ,tan 58° 1.60/. AB = AD+BD = 64+30 = 94 （ 米）.答：A、4两点之间的距离约为94米 . 6. （ 2022. 江苏徐州•中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱A 8 ,其旁边有一个坡面C Q ,坡角ZQCN = 30 . 在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm ,在坡面上的影长为180cm.同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm （ 其影子完全落在地面上） . 求 立 柱 A B 的高度.【 答案】（ 170+60百 ） cm【 分析】延长AD 交 B N于点、E , 过点D 作 D F LB N 丁点凡 根据直角三角形的性质求出D F ,根据余弦的定义求出C F ,根据题意求出E F ,再根据题意列出比例式，计算即可.（ 详解］解：延长A D 交 BN于点E , 过点D 作 D FLBN于点F,在 RtZiCQF 中，ZCFD=90°, NOCF=30°,则 QF=5CD=90 (cm), CF=CD>cosZ DCF= 18 0 x =9073 (cm),2 2由题意得: ——DF = —60 ,即Rn ——90 = —60EF 90 EF 90解得：EF=135,BE=BC+CF+EF= 120+90 6 +135=(255+90 & )cm,, AB 6()“ 255 + 90后 一 方解得：170+6073. 答：立柱A 8的高度为(l70+60g)cm.7. (2022•江苏镇江・中考真题) 如图1 是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm,高为42.9cm .它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆. 小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径A 3、CD以及AC、8力组成的轴对称图形，直线/ 为对称轴，点 用 、N 分别是AC、8 0 的中点，如图2 , 他又画出了 AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角NAEC = 66。
，发现并证明了点E 在 MN上. 请你继续完成MN长的计算.9 2 9 11 ] 1 13参考数据：sin 66° « — , cos 66° « — , tan 66° « — , sin 33° « — , cos33°«--, tan 33° a .10 5 4 20 13 20【 答案】42cm【 分析】连接A C ,交MN于点”.设直线/ 交MN于点Q , 根据圆周角定理可得NAEM=33 ，解Rt. AEH ,429得 出 乜 = 迈，进 而 求 得 的 长 ，即可求解.20 - EH【 详解】解：连接4 C ，交MN于点”.设直线/ 交MN于点Q.是AC的中点，点E 在MN I 二 ，・ ・ ・ /AEM = NCEM = - ZAEC = 33 .2在△AEC 中，V EA = EC. ZAEH = /CEH ,：. EH LAC, AH = CH.: 直线/ 是对称轴，A AB I L CD1Z, MN 1A,：. A B //C D // MN .： .A C ±A B .429A AC = 42.9, AH = CH =—. 在 RjAEH 中，sin ZAEH =—AE429即u = ①，20 - AE贝 |J 4E = 39.Af-{：tanZAE” = —.HE429即 13 =而，20-EH则 E” = 33.二 MH = 6.• • •该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm,:.HQ = ；AB = 15,MQ = MH + HQ = 6 + 15 = 2].MN = 42 (cm ).图28. （ 2022・江苏盐城•中考真题） 2022年 6 月 5 日， “ 神舟十四号' ’ 载人航天飞船搭载“ 明星” 机械臂成功发射. 如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA = lm, A8 = 5m, BC = 2m, ZABC = 143°.机械臂端点C 到工作台的距离Q = 6 m . (1)求 A 、C 两点之间的距离；(2)求 。
长.(结果精确到 0.1， 〃 ，参考数据：sin37°® 0.6(), cos37 《 ().80, tan370 ® 0.75, 45 = 2,24 )【 答案】(l)6.7m(2)4.5m【 分析】(1)连接A C ,过点A 作 A /7 L 8 C ,交CB的延长线于“，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题.( 2 ) 过点A 作A G L D C ,垂足为G, 根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题.【 详解】(1 ) 解：如图2 , 连接4 C , 过点A 作 A H _LB C ,交CB的延长线于图2在 Rt A3H 中，ZABH = 180°- ZABC = 37° ,AHsin37° = -----, filf W . AH = AB-sin37° « 3m ,ABcos37° = ,所以 3 4 = 43-cos37°v4m,AB在Rt A C 4中，AH =3m, CH = BC+BH = 6m, 根 据 勾 股 定 理 得 = 1 而7 = 3& = 6.7m,答:A、C 两点之间的距离约6.7m.（ 2）如图2 , 过点A 作 A G L O C ,垂足为G ,图2则四边形AGO。
为矩形，G D = A O = \m, A G = OD,所以 CG = 8 -G £ > = 5m,在R jA C G 中，AG = 3V5m, C G = 5m,根据勾股定理得A G = ^ A C2- C G2 = 275 ® 4.5 m-;.OD = AG = 4.5m.答：的长为4.5m.9. （ 2022•江苏泰州•中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验. 如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜例M MN与墙面A 8所成的角NMNB=118 ，厂房高A8= 8 m ,房顶A M与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离 C是多少？（ 结果精确到 0.1 m , 参考数据：sin340~0.56, tan34°=0.68, tan560~1.48）【 答案】11.8m【 分析】过 M 点作交 8 于 E 点，证明四边形48cM 为矩形得到CM=AB=8,ZN M C = 180°-ZB N M =62°,利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到/E M 庆 /E M C ,且 ZCME=900-ZCMN=2S°,进而求出NCMO=56。
，最后在阳△ CM中由tanNCMO即可求解.【 详解】解：过 M 点作交于 £ 点 ，如下图所示：点在M 点正下方，： .CM± CDf 即NMCD=90 ，• ・, 房顶AM与水平地面平行，为墙面，・ ・ ・四边形AMC8为矩形，・ ・ ・MC=A8=8m, A B H CM,： .ZN M C = 1800- ZB N M = 180°-118°=62°,・ . •地面上的点经过平面镜MN反射后落在点C , 结合物理学知识可知：j NNME=9U ,： .Z£MZ>Z^A/C=90o-Z7VMC=90o-62o=28°,，ZCMD=56°,C D CD在知△CM中，tan? C M D —,代入数据：1.48 = — ,C M 8/. CD = 11.84«11.8（m） ,即水平地面上最远处D到小强的距离C£>是11.8m .10. （ 2022•江苏南通・中考真题）如图，矩形A3C中，A3 = 4,AO = 3 , 点 E 在折线BCO上运动，将 AE绕点 A 顺时针旋转得到A F ,旋转角等于/B A C ,连接CF.（ 1） 当点E 在 8 c 上时，作月W L A C ,垂足为M ,求证4W = /W；⑵ 当 AE = 3应 时 ，求 C F的长； （ 3）连接O F ,点E从点B运动到点。
的过程中，试探究方尸的最小值.【 答案】（ 1）见详解⑵ g 或 旧（ 3 ）1【 分析】（ 1）证明即可得证.（ 2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助》45£：匕4M产，在应V 妒中求解；当点石在（7上时，过点£作EGLA8于点G, FHLAC于点”，借助二AGE=_47尸并利用勾股定理求解即可.（ 3）分别讨论当点E在BC和C上时，点尸所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可.【 详解】（ 1）如图所示，山题意可知，ZAMF = ZB = 9 0 ，ZBAC = ZEAF,:.ZBAE=ZMAF.由旋转性质知：AE^AF,在dABE和，AM/ 中 ，2B = NAMF■4 BAE = ZMAF ,AE = AF:._ABE 二 一 AMF ,：.AM=AB.( 2 )当点E在BC上时，在 Rt ABE 中，AB = 4, AE = 3 0 ，则 BE = \lAE2 - AB2 = y/2 -在Rt_A3C 中，AB = 4, BC = 3,则 AC = yjAB2 +BC2 = 5， 由（ 1 ）可得，MF = BE = y[l，在 A t V O F中，MF = y[i，CM = A C-A M = 5 - 4 = 1 ,则 CF = ^MF'+CM- = 7 3 ,当点E在CD上时，如图，过点E 作EG±AB 丁点G ,尸 ，J _ AC于点H,同（ 1 ）可得 dAGE^AHF,:.FH = EG=BC = 3,AH = AG = 3,HC = 2,由勾股定理得C F = = 万 ；故CF的长为总或， 万.（ 3 ）如图1所示，当点E在BC边上时，过点。
作J _ F M于点H ,由（ 1 ）知，ZAMF = 90u，故点F在射线MF上运动，且点尸与点，重合时， 〃的值最小.在-C M Z与. C D 4中，J / C M / = N A O C[ZMCJ = NA CO'：.Rt CMJ - Rt CDA,. CM MJ CJ"CD - A D-A C 'nn1 MJ CJ4 3 53 5：,MJ=—，C J= -94 4DJ=CD-CJ = 4 - - = — 14 4在- C M /与 DHJ + ， /CMJ = ZDHJZCJM=ZDJHRjCMJ 〜Rt_DHJ ,CM _ CJ~DH~'DJ '5即 焉 喋40 T故OF的最小值日;图1如图2 所示，当点E 段C O 匕时，将线段A绕点A顺时针旋转NB4C的度数，得到线段4 R ,连接F R ,过点作DKLFR,山题意可知，ADAE = ARAF，在/ 4?尸与VADE中，AD = AR< ZDAE = ZRAF 9AE = AF.._ADE 三 A/iF,/. ZARF = ZADE = 9 0，故点尸在Rb上运动，当点尸与点K重合时， 尸的值最小;由于。
QJ .4R, DK1FR, ZARF = 9 0，故四边形DQRK是矩形；DK = QR,4 12/. AQ = AD cosZBAC = 3x- = —f A. 5AR = A D = 3,1 2 3D K = QR = A R - A Q = 3 - - = -9故此时o 尸的最小值为g ;由于1〈 装 ，故 产的最小值为1 .A y _______________ , B' 5 --------ECK、 、图2在模单检测1 . （ 2 0 2 2 •江苏宿迁•二模）在 R tZ X AB C 中，N C = 9 0 °、4 5 = 5 、A. - B . - C.-4 3 5【 答案】A【 分析】先山勾股定理求出A C,再山正切的定义完成求解.【 详解】解：由勾股定理知：AC=\l AB° - B C2 = 7 2 5 - 9 - 4 ，ta nA = ^ = 3 ,A C 4故答案选：A.2 . （ 2 0 2 2 •江苏・苏州高新区实验初级中学三模） 如图， 在△ A B C 中= 乙 4, 若 B O = 1, A C = 7,贝 I] t a n / 。
的 值 为 （ ）ABBC=3 , 则t a M 的 值 是 （ ）D . i5,0 c 平分/ A C S , 8 1_ 0） 于点0, Z A B D*cB . 2瓜C . 3D . > / 26 【 答案】B【 分析】延长B O交A C于点E ,先证明的△DC B ,从而求出B E的长，再利用等腰三角形的判定求出A E ,利用线段的和差关系求出C E,得用勾股定理求出 ，最后求出NC 8O的正切.【 详解】解：延长8交A C于点E ,如图，AB C平分/A C T?, B D上C D于点D,/. ? CDE ?CDB 90°, /C D E = /D C B ,在 △£ )€£ 和△OC B 中，Z.CDE = ZCDB< CD = CD ,ZDCE = ZDCB： .△ OCE会△ OCB(S AS ),：・ BD=ED=1,ZABD = Z A ,•\AE=BE=2f\'AC =1: . CE=AC-AE=5,CD = \ICE2 - ED2 = V 52- l2 = V 2 4 = 2 ^，， ta nZ Cf i D = —= —= 2 x/6 .BD 1故 选 :B.3. (2 02 2 ・江苏・无锡市天一实验学校三模)如图，平行四边形0 A 8 C的周长为7, Z 4OC = 6 0 ° ,以 。
为原点，0 C所在直线为x轴建立直角坐标系，函数.y = ：(x >0 )的图象经过OA8C顶点A和8 c的中点M ,则后的 值 为 ( ) A. GB. 2石【 答案】A7【 分析】作 AO_Lx轴于MALLx轴于N , 设 04= ，根据题意得到 ,一 解口△A表不出A、M的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立关于〃的方程求解，则可求得A 的坐标，从而求得k的值.【 详解】解：作 AC_Lx轴于轴于N,• • •四边形O 48C是平行四边形,/. OA=BC, AB=OC, OA//BC,：. ZBCN=ZAOC=60°,设 OA=a,的周长为7,7: .0C = 一 一 a2■ : NAOC=60°,1同• • OD = -, AD = —― a2 2， 小 〃 ，旦］2 2 是 8 c 的中点，BC=OA=a,：. CM = -a ,2又 NMCN=60 ，CN = -a , MN = a ，44A ON = OC+CN = - - a + - = - ~ —,2 4 2 4• . •点A, M 都在反比例函数y = A 的图象上,解得4=2,・'・ k = lx \/3 = y/3 .故选：A.4. （ 2022,江苏徐州・模拟）如图， 。
是正方形4 3 c o 的内切圆，切点分别为E , F , G, H , ED与相交于点" ，则tanZMFG的 值 是 （ ）A. — B. ! C.32【 答案】B【 分析】连接E G ,根据同弧所对的圆周角相等,问题.【 详解】解：连接EG,是切点，...EG过圆心0,H3；F c叵 D 2小5, 5可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的 是正方形ABCD的内切圆，：.AE=-AB, EG=BC,2根据同弧所对的圆周角相等可得：/MFG=NMEG.t a n Z MFG= t a n Z MEG=.EG 2故 选 :B .H5. (2022•江苏无锡•模拟)如图，AABCS^DB E ,延长A交C E于点P,若NDEB=45°, AC=2丘,D E= 4i，B E = \.5,贝iJ t a n N Z )P C = ( )【 答案】B【 分析】如图作8 c于从 首先证明推出N O P C = / A 8 C ,求出A ，、8 H即可解决问题；【 详解】解：如图作A ”_ L 8C于 ”.8 c交A P于O .: AABCSADBE, /. ZABC= NDBE,AB BC AC 八---= - — 2，BD BE DEV B E = 1. 5,:・BC=3, NABD=NCBE, —,BC BE：. A A B D s /\CBE,:・NBAD =/BCP,•? /AOB=NCO P,：. ZDPC= ZABC,在放△A C 〃中，•:AC=2近 ,NACB=NBED=45。
,：.AH=HC=2,：. BH= 1,AH/ . t a n Z D P C = t a n /A B H = --- = 2.BH故选：B .36. （ 2022♦江苏南通・二模）如 图 1, A B C 中，N A C B = 90 ，t a n A = j 点 P从点A出发，沿边AB向点84运 动 . 过 点 P作 PQ1 A3, 垂足为P , PQ交 °A 6C 的边于点Q, 设 A P = x , △ A P Q 的面积为y . y与 x之间的函数关系大致如图2 所示，则当x = 4 时，y的 值 为 （【 答案】C【 分析】根据图像可知A 8 = 5 , 在R t _ A B C 中，由三角函数及勾股定理可计算8 c = 3 , AC = 4 , 当 与点C重合时，借 助 % 8c =gBCAC = ：A B •尸 以及t a n A = ；可计算出此时P Q =葭 ，= 当点在 A C段时， 借助三角函数可知P Q = [% ,由三角形面积公式可知5 " 也= ：A P •尸 1 f,即 y = （ o < * < 乎 ） ；4 2X85 4 1 ?当点。
在BC段时，借助三角函数计算PQ = §(5 — x ) ,故％ 收 =5 4尸 •尸 §X(5 — x ) ,即y = 1 .r(5 -x )(y < x < 5 ).由两段函数解析式的自变量取值范围可知，当x=4时，点在8 c段，借助函数解析式可解得y g【 详解】解：由图像可知，AB = 5 , 在Rt_ABC中，ZACB = 90°,Be 3；.tan A = =—, 可设 BC = 3x, AC = 4x,根据勾股定理可知AC2 + BC2= AB2，即(4x)2 +(3x)2 = 52 ,解得x = l 或％ =-1 (不合题意，舍去) ,:. BC = 3, AC = 4.当点与点C重合时，可有S& ABC =^BC AC = ^AB PQ,1 1 I?即］X3X4 = 5X5XP Q ,解得PQ =不 ，此时由tanA = V g = g,可解得AP = g ,AP 4 5当点 Q 在 AC 段时，由 tanA = V g = ］, ^ ^ P Q = ^AP = ^-x,AP 4 4 4・ ・ ・ %P Q=\AP. 尸2 = \"3 % = ［二 ,BPWy = 1-x2 (0 < X < y),当点。
在8 c 段时，如下图所示,PB = AB-AP = 5 - x1•/ NB + Z.PQB = NB + Z.BAC = 90°,.・. NPQB = NBAC ,PH 3 、 _ x 3A tanZPQB = — = tan ZBAC = -,即一 ^ - 二 一PQ 4 PQ 44・ ・ ・ PQ = -(5 -x), ；・ SA A P Q= ^A P PQ = ^X X^ ( 5 -X) = ^X(5 -X)1即 y = 3 x(5 — x)(— ]AD2-AC2 =732 -22 =y/5^ /7 8••• 0c. CDAE 4后 ,BE =--------- =-------- =------AC 2 3Q 2,: EC = AE-AC = - - 2 = -f3 32...tanNCBE嚏=a =甯3tan ZBCD = — ,10故选：D.B8. （ 2022•江苏苏州•一模）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点 A, B, C, D都在格点处，A 8与 C£＞ 相交于点O,A. 3B. 72V3【 答案】A【 分析】连接格点EA F G ,得到尸和心△ E尸 G . 先利用直角三角形的边角间关系求出/ 尸EG 的正切，再得到NBOO的正切值.【 详解】解：如图，连接格点EF、FG, EF= 742+22 = 2 4 5 ，FG= 732 +32 = 3 0 ，EG= yJi2 + 12 =近，,.,( & y + ( 3 & y = ( 2指••• EG2 + FG2 = EF-,则^ EFG是直角三角形.'：AB//EF,：. ZFEG=ZDOB.在 Rm EFG 中，,: E G = g , FG = 372，AtanZ DOB=tan Z FEG=—= *= 3.EG J 2故选：A.9. （ 2022•江苏镇江♦ 一模） 如图， 在平行四边形ABC£＞ 中， 将 ,ACZ） 沿着AC所在的直线折叠得到△ACE, AE交 8 c 于点尸，连接8 E , 若 ZABC = 6O。
, ZACB = 45°, AC = 2 6 , 则 8E的长是.【 答案】2【 分析】利用折叠的性质，以及平行四边形的性质，得到NEFC = 9O ，分别解Rt^AFC, RtAEFC,RtAEFB . 即可得解.【 详解】解：：四边形A 6 8 为平行四边形，ZABC = 60°,ZD = ZABC = 60°,ZBCD = 180°-60° = 120° , AD=BC,,：ZACB = 45°, ・ ・ ・ ZACD = 120°-45o = 75°,;将一 AC沿着AC所在的直线折叠得到/VICE,ZACE = ZACD = 75 ,C£ = CD,ZAEC = ZD = 60°, AE=AD ,：. ZECF = 75°-45° = 30°,・ ・ ・ ZEFC = 180° - 60° - 30° = 90° ,・ ・ ・ ZAFC = 180°- Z.EFC = 90° ,V ZACB = 45°, AC = 2 6, AF = CF = — AC = y/6,2；・ EF = CFxtan3W = &B =曰3・ ., BC = AD = AE,AF = C Ff:・ BC -C F = A E -A F , 即：BF = EF = B:，BE = O E F = 2;故答案为：2.10. （ 2022・江苏・射阳县第六中学二模） 如图， 反比例函数） =乙 4 >o）在第一象限的图象上一点八。
在x 轴x上，点 E 的纵坐标为1 , 若 NO£）E = 120 ，_ £ > £ 的面积是且，则A的值是.【 答案】B2【 分析】作轴于点”，则EH = 1 , 由的面积是 也 可 得长，再由NQDE = 120 可得12ZEDW = 6 0 ° ,解直角三角形皮羽即可解得D L , 从而求出点E 的坐标，进而求解.【 详解】解：作轴于点”，则 £77 = 1, s 0oDnEF=-OD EH =-xODx = — ,2 2 12■: NODE = 120 ，・ ・ ・NED” = 60 ，tan 60 =需DHEH _ 1 _>/3tan 60° y/3 3：,OH = O D + D H ** 当，♦ . •点E在反比例函数y =幺( ％ > 0)的图象上,X• • k = yr = 1 x— ^- = .故答案为:II. （ 2022. 江苏•扬州中学教育集团树人学校二模）如图，四边形及6〃是矩形A 8 8的内接矩形，且砥 ： 例 = 3:1, AB:8c = 2 :1 ,,则tanZAHE的值为【 答案】|A P【 分析】 先求出△, 与A M E相似,再根据其相似比 即 卬 = 3 :1 ,设出 做 欧 名 即 的长， 求出 行 的值即可.【 详解】解：四边形EFG"是矩形A5co的内接矩形，E F ： F G = 3;1 , AB:BC = 2:1 ,:.4I E A+ / F E B = 9 S ,4F E B+匕 E F B = 9 N ,:./ H E A = / E F B,〃1 AE = A B , :.R".HAE 〜Rt_EBF ,''~EB~~FB~~EF~^:./AHE = 4BEF,ZAHE+4GHD = /BEF+/EFB = g 3 ,:.4GIID = 4EFB,HG = EF, ZD = ZB = 90°■GDH'EBF,:.DH = BF,DG = EB,设 AB — 2x、BC = x,AE = a, BI7 = 3a ,则力〃 =8— 3劣 力 夕=a,/. tanZAHE = tanZBEF ,解得：x = 8a ,tan Z.AHE =- --=— --=—,x-3a 8a - 3a 5故答案为：12. （ 2022♦ 江苏•常州市北郊初级中学二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点4 ,点8 ,点O均落在格点上，则NAOB的 正 切 值 为 .3【 答案】-【 分析】构造NAO5的直角三角形，再根据正切的定义求解即可.【 详解】解：过点8作于C ,如下图， •e1•11•*（ail•««•14A\ \ \ \BI11at1・11VII. - * -* i » . iS ^B O=^OA-BC = -A B -2 ,.• 皿= 巨= 搭= 坐，V22 +42 5/20 5在 RtzXBCO 中，o c = JOB? _ M = 卜 + 2?— （ 挈） = 竽，八八n BC 3..tan ^AO3 = ——.OC 43故答案为:13. （ 2022・江苏•扬州市江都区实验初级中学三模）如图,阴影部分的面积是_ _ _ _ _ _ _ _ .A€■ 依田■ 4兀【 答案】y等边三角形ABC内接于。
0, BC=26, 则图中【 分析】根据等边三角形的性质可得Szs COB=SAAOC, NAOC=120 ，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解.【 详解】解：过点O 作 ODA.AC于点D, A•.•△ABC为等边三角形，A ZAO C= 1 20° , A D = C D = 6 ，ZO AC=30°,：. 0A=4厉cos30°=2,;△ A 8 c为等边三角形，ASA COB=SA AO C, ZAO C= 1 20° ,. o c 1207r 々2 4乃一 S . '：=S *影AO C=—— —=— ,故答案为：-14. （ 2022•江苏南通•二模）狼由位于江苏南通南城南的狼山风景名胜区，高不过百余米，却与南岳衡山、中岳嵩山、江西庐山、北京香山等同列“ 中国佛教八小名山” ，是江北著名旅游佳地. 如图，亮亮同学去狼山风景区旅游时，利用无人机从A处测得狼山顶部点B的仰角为45 ，测得狼山底部点C的俯角为60 ，此时无人机与B C的水平距离A O长为40灯，那么亮亮同学测得狼山的高度B C约为 m （ 结果保留整数,6 *1 .7 3 ).【 答案】109【 分析】先 求 出 的 长 ，在解直角三角形，求出8 的长，B C = B O + 8即可得到答案.【 详解】解：I•无人机从A处测得狼山顶部点B的仰角为45。
，无人机与B C的水平距离A D长为40m： .BD=AD=40m• ； 利用无人机从A处测得狼山底部点C的俯角为60° , CD = AD- tan ADAC = 40x73= 4 0 gBC = BO+C£> = 40+ 40G al09m ,即亮亮同学测得狼山的高度BC约 为 109 m.故答案为：109.15. （ 2022♦江苏・无锡市天一实验学校模拟）计算：⑴ cos? 30° + tan 45 . sin 30°;⑵ （ 3） + （ ^--2014） ° +sin60° + |>/3-2| ；（ 3） 若a 是锐角，sin（ a + 15°） = ^, 求 J § -4 c o s a -（ 1 一 3.14） " + tana + （ ； ） 的值.【 答案】⑴ 4同（ 2） 12- —2（ 3） 3【 分析】（ 1）根据特殊的三角函数值进行求解即可；（ 2）根据负整指数‘鼎、零指数暴、绝对值的化简和特殊的三角函数值进行求解即可;（ 3）根据是锐角，sin（ a + 15Q ） =乎 ，求出a, 再将其带入到式子中进行求解.【 详解】⑴ 解 ：cos2 30° + tan 45°.sin 30°伸+ W3 1=— I —4 2_ 5=4；（ 2）解：（ ； ） + （ 乃- 2014） 。
+ 5亩60 + 2=9 + 1 + # + （ 2一 6）（ 3）解：是锐角，且sin（ a + W ） =冬 A a = 4 5 ° ,通 - 4 c o s a - (乃- 3 . 1 4 ) + t a n a + (g)= 2夜-4cos450 - 1 + tan 450 + 3= 2 x / 2 - 4 x — - 1 + 1 + 32= 2 7 2 - 2 7 2 + 3= 3 .1 6 . （ 2 0 2 2 •江苏泰州•模拟）如图，小明在大楼4 5 m 高 （ 即 P 〃 = 4 5 m , 且 物 ，"C）的窗口 P 处进行观测,测得山坡上A处的俯角为1 5 ，山脚B 处的俯角为6 0 °, 已知该山坡的坡度i （ 即t a n N A B C ）为1 ： 6（ 点P,H , B, C, A在同一个平面上，点 ”，B, C在同一条直线上） .（ 1 ） N P 8 A 的度数等于 度 （ 直接填空）（ 2 ） 求 A , 8 两点间的距离（ 结果精确到0 . 1 m, 参考数据：立 = 1 . 4 1 4 , 6 = 1 . 7 3 2 ）【 答案】⑴ 9 0（ 2 ） A、B两点间的距离约为5 2 . 0 米【 分析】（ 1 ）根据坡度求得N A B F = 3 0 。
，结合题意，得TN” 5 P = 6 0 ，进而得出N PB A = 9 （ ） o , N B A P = 4 5 2 ）根据N PB A = 9 O , / 8 4 P = 4 5 °, 得出 PB = A8,解汨即可求解.【 详解】（ 1 ）如解图所示；过点A作AblBC于点尸，山坡的坡度i （ 即t a nZ A B C ）为1 : 6 ，t a n ZABF = ---BF_L_且73=T ・ ・. ZABF = 30°,・ ・•在窗口 P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15 ，山脚8 处的俯角为60 ,・ ・ ・ /H PB = 30 , NAPB = 45° ,・ ・ ・NHBP = 60 ,・ ♦ . ZPBA = 90°, ZBAP = 45° ,故答案为：90；(2) •.* ZPBA = 90°,ZBAP = 45°/. PB = AB,• . * 尸 ” =45米，pi_isin 60° = ——PB45 6~PB~~2解得：PB = 30下），故 A8 = 30G = 52.0 (米) ,答：A、B 两点间的距离约为52.0米.17. （ 2022・江苏•连云港市新海初级中学三模）桔椽俗称“ 吊杆” “ 称杆”（ 如 图 1） , 是我国古代农用工具，始见于《 墨子•备城门》 ，是一种利用杠杆原理的取水机械. 如图2 所示的是桔椽示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，。
〃 =3米，A 8是杠杆，且 AB = 6米，OA:OB = 2 A . 当点A 位于最高点时，ZAOM = \21° .（ 1） 求点A 位于最高点时到地面的距离；（ 2） 当点A 从最高点逆时针旋转54.5 到达最低点4 时，求此时水桶8 上升的高度.（ 考数据：sin 37° x 0.6,sin 17.50 工 0.3, tan 37° »0.8） 【 答案】⑴ 点 A 位于最高点时到地面的距离为5.4米；（ 2） 水桶3 上升的高度为1.8米.【 分析】（ 1）作出如图的辅助线，在 Rt^AO G中，利用正弦函数求解即可;（ 2）作出如图的辅助线，在Rt△OBC中和在Rt△中，分别利用三角函数求出5 c 和片的长即叽【 详解】（ 1）解：过 作 E F L O M ,过 4 作AG，所 于 G,：45 = 6 米，0 4 :0 8 = 2:1,二（ M = 4 米，08 = 2 米，：ZAOA/ = 127 ，NE0M = 90° ,/. ZAOE = i2 T- 90° = 37°,在RtZ\AOG 中，AG = AOxsin37o = 4x0.6 = 2.4 （ 米） ，点 4 位于最高点时到地面的距离为2.4+3 = 54 （ 米 ） ，答：点 A 位于最高点时到地面的距离为5.4米；（ 2）解：过 。
作 E /_ L O M ,过 8 作 8C_LE/ 丁 C , 过 用作用LE尸手ZAOE = 37°,：. NBOC = ZAOE = 37° , NBQD = ZA,OE = 17.5° ,V OB, = 08 = 2 （ 米） ，在 RlZ\Q8C 中，fiC - sin ZOCfix OB = sin 37°0.6x2=1.2 （ 米） ，在 RtaOBQ 中，BQ = sin 17.5 xOB1 々 0.3x2 = 0.6 （ 米） ，A BC + BlD = 1.2 + 0.6 = 1.8 （ 米） ，.♦. 此时水桶B 上升的高度为1.6米.18. （ 2022•江苏・盐城市初级中学三模） 如图①， 将“ 欢迎光临” 门挂倾斜放置时， 测得挂绳的一段AC = 30cm.另一段BC = 2 0 c m .已知两个固定扣之间的距离AB = 3 0 c m .（ 参考数据：sin49°»0.75, cos41°«0.75, 欢迎光临⑴求点C到 AB的距离；（ 2 ） 如图②，将该门挂扶“ 正” 即4 c = 8C,求NC4B的度数.【 答案】（ 1 ） 三 后 c m⑵ 16 8 = 5 3 °【 分析】（ 1 ）根据题意，过点C作C H _ L A 8 ,交AB F点H ,设BH = x ,则A 〃 = 3 0 — x,根据勾股定理列式可计算得x的值，G P 可得到CH的值（ 2 ）根据等腰三角形的性质可得的值，再根据锐角三角函数可求得的度数【 详解】（ 1 ）过点C作C H J _ A3,交AB于点”，设 = 则 A / / = 3 0 - x ,CH LAB, A C = 3 0 , 8 c = 2 0/. CH? = AC2- AH2 = BC2- BH\B|J 302- （ 3 0 -X）2 = 2 02 -X2,整理得：3 x = 2 0解得：* = 与CH1 = y/BC2-BH2 •••C到 AB的距离为日 小 m( 2 ) 由已知可得：AC + 8C = 30+20 = 5 0 , 且 AC = 8C = 25,过点C 作 S L A B , 交 AB于点H,,/ AC= 3 c = 25 , CH V AB,：. A H = -A B = \52AH：. cosNC4B = ——= 0.6AC由参考数据可知：cos53°«0.6，/CAB = 53°19. (2022•江苏•建湖县汇杰初级中学三模) 小华同学利用折纸探究图形折叠过程中所蕴含的数学道理， 点E为矩形纸片边A 8上一点，小华将VA£>E沿着QE折叠至. A Q E ,已知AB = 12cm, AD = 8 c m ,请你帮助小华解决下列问题：操作与实践：如 图 1 , 当点£与点B重合时，8 与A 8 交于点O , 求一 03。
的面积.探究与发现：如图2 , 当点E 为 A 3中点时，4 E 与 AC交于点F, 求 AF的长；拓展与延伸：线段“ £、 射线DV分别与线段AC交于点M、N ,小华在折叠的过程中发现一的形状随着AE长度的变化而变化，当aOWN为直角三角形时，求 AE的长.图1图2备用图1备用图2 【 答案】操作与实践：竽 cn ?；探究与发现：卫 叵 cm；拓展与延伸：学 或 4 9 - 1 23 29 3【 分析】操作与实践：根据折叠的性质得出/ 4 瓦 > = 则 / 8£>C = NA'8则 8 = 0 6，设O D = O B = x, ^\OC = C D - O D = \ 2 - x ,勾股定理即可求解，求得OD = 与 ，根据三角形面积公式计算即可；探究与发现：由折叠可知A'E = A£> = 8, ZE4,D = Z E 4 D = 9 0 °,延 长 交 8 于点G, 则NDA'GA = 90 ，7设 AG = y , 则 G = £G = E 4 " 4 G = 6 + y, R j4 D G 中，D G2 = ArG2 + AfD21 得出 AG = §, 证明a A F E s -C F G ,根据相似三角形的性质得出比例式，计算即可得出人 产 = 必 叵 ；292 AP 2拓展与延伸：分两种情况讨论，①当NZWN=90。
，H 在 AC上时，由tanNADM=w，得 出 < = 彳 ，求得3 8 3A E ,②当N£WM=90 时，得出AE = A M ,勾股定理求得A C ,然后根据AM = AC-CM = 4万 -12 , 即可求解.【 详解】操作与实践解：：四边形A8CD是矩形，43 = 12 A D = 8,： .ZC = 90°, AB//CD,A C D = AB = 12, BC = A D = 8, Z A B D = N B D C ,由折叠可知Z A B D = Z A B D ,. . . A B D C = Z A B D:.O D = OB设 O£> = O3 = x ,则 O C = C D - O D = 12- xO B2 - O C2 = B C2A X2-(1 2 -X)2=82解得：X = y即 OO = g・.・ Sc 08 = 51 八£八> . 30c = 51 、 彳26 x8o = F10-4( c/ m 2 \)探究与发现：•・, 四边形ABC是矩形，，Z£AD = ZB = 90o,・•・ AC = > !AB1 + BC2 =A/122+82 =4713 : 点 E 是A 3的中点,AE = -A B = 62由折叠可知 A'E = A£> = 8, ZE4,D = ZE4T> = 90°如图，延长E尸交8 于点G, 则N£)A'G4 = 90。
• ； A B//C D .ZAED = NEDC,：. ZEDC = ZAED ,：. GD = GE,设A'G = y , 则G = EG = E4' + AG = 6+ y,在 Rt A7)G 中，DG2 =A'G2 + A'D2,gp(6+y)2= y2+82,7解得y = § ,7即 A G，，37 25・ ♦ . DG = - + 6 = — ,3 3・ ・ ・ CG = CD-DG = — ,3Y A B //C D ,: . NEAF = NGCF,又丁 ZAFE = NCFG,：. ^A F E ^C F G ,. AF AE. - ---- = ----- ,CF CGAF 6即 4J 13-A / 一 11，3 解得於嘤拓展与延伸：①当/ZM/N = 90 ，4 在AC上时，如图,• • •四边形/ W 8 是矩形，4 8,0 = 12,… 八 BC 8 2tan Z.BAC =----=— =—AB 12 3•・• ZADM =900-ZMAD = ZBAC,tan ZADM = ,3• • 嗡亭等号AE = —3②当N£>MW=90 时，如图,ZE4,D = ZE4£> = 90°,, NDNM = NEA'D = 90° ,：. A'E 〃 AC,：. ZAME=ZAEM ,；沿着DE折叠至_ A'DE,ZA'EM = ZAEM ,: .ZAME = ZAEM ,• AE = AM , , ? Z A M E = / D M C ,Z A E M = Z M D C ,： .Z D M C = Z M D C ,： .C M = C D = V2,T A C = >JAB2+ B C2 = 7 1 22+ 82 = 4 V 1 3 ，，A M = A C - C M = 4 7 1 3 - 1 2，，A £ = 4 V 1 3 - 1 2 ,综上所述AE 的长为 号 或 4 g - l 2 .2 0 . （ 2 0 2 2 •江苏•盐城市初级中学三模）【 概念认识】若以三角形某边上任意一点为圆心作半圆，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的“ 极限内半圆” .【 特例感知】 如 图 1 , R t a A B C 中， N C = 9 0 。
， 点 P是边AC上一点， 以P为圆心的半圆上的所有点都在ABC的内部或边上，当半径最大时，半圆P为边AC关联的“ 极限内半圆” .请尝试解决下面3个问题:⑴ 如 图 1 , 边 AC关联的“ 极限内半圆” 半圆P与边B C 、AB的位置关系是.⑵ 在 （ 1 ）的条件下，若A C = 3 , Z A = 3 O ，则边AC关联的“ 极限内半圆” 半圆P的半径是.（ 3 ） 如图2,在 钝 角 A B C 中，用直尺和圆规作出边8 c 关联的“ 极限内半圆”（ 保留作图痕迹，不写作法） ; (4 ) 【 迁移思考】小军发现，任意三角形的三条边上都可以作出与边关联的“ 极限内半圆” ，但大小未必一样,请你帮助小军解决下面的问题： 如图3 , 锐角一A B C 中， 边 8 C , A C , A 8 的长分别是a , A , c (a > A > c ) , [ MC 的面积为S , 求出； M C 中最小” 极限内半圆” 的半径；( 用久b 、c 、S中的一个或几个字母来表示) ；( 5) 【 灵活运用】如图4, NM ON是锐角，且s i n / MO N = ；，点 A 在射线Q N 上，。
4 = 8 , 点 B是 射 线 上一动点. 在一A O B 中，若边4关联的“ 极限内半圆” 的半径为r , 当1 W 2 时，求 8的长的取值范围.【 答案】( 1 ) 相切( 2 ) 1( 3) 见解析( 5 ) 3 6 - 3 0 4 O B 4 6 0【 分析】( 1 ) 根据定义即可求解：( 2 ) 作根据含30 度角的直角三角形的性质，即可求解.( 3 ) 过点C 作 8c的垂线交A 8 于点再作N 8 D C 的平分线交8c于点P.以点户为圆心，C P 为半径在. / R C 的内部作半圆即可；( 4) 设a ,"c 边上的"极限内半圆， ， 分别为« ，O2, Q ，半径分别为4，4, 4 , 根据等面积法结合题意，得出4 最小，进而根据等面积法即可求解；( 5 ) 根据题意，分别作出r = Lr = 2 时的极限内半圆，根据切线长定理，解直角三角形即可求解.【 详解】( 1 ) 解：根据定义可知：边A C 关联的“ 极限内半圆” 半圆尸与边5 C 、的位置关系是相切，故答案为：相切；( 2 ) 解：如图，作 P £ > _ LAB ，依题意，PD是 极 限 内 半 圆 P的半径,T Z A = 30 °,AC = 3,设 P £ ) =r , 贝 iJ PA = AC-PC = 3 -r,在Rt△ 皿 > 中，PD = -AP, ,2・•・r = g ( 3 - r )，解得：r = 1 >故答案为：1;(3 ) 过点C 作 BC的垂线交AB于点。
再作NBOC的平分线交3 c 于点P . 以点P 为圆心,4 3 c 的内部作半圆，如图：CP为半径在(4 ) 解：如图，设a, ,c 边上的“ 极限内半圆” 分别为O2, O 3 ,半径分别 为 中 4，4,依题意， 2, Q 分别在三个角的角平分线上,锐 角 ABC中，边 6 c A e A 8的长分别是a,b,c(a> b> c), 4 ? C 的面积为S, /. 2S = (Z?+c)x^ =(a + c)x5 = (a + b )x ?/. a+b>a + c> b+ c,•* - r3最小，• 一 2s• • G 一 , A，a + bo q即 ： ABC中最小“ 极限内半圆” 的半径为—：( 5 ) 如图，当 〃 =1时，0 3 取得最小值.如图①，半圆尸与 河、4 ? 分别相切于点Q、T , 连接P8.则伙2 = 3 7 ,设 BQ =8T = x,V sinZ M 0N = -, PQ = PT = l , 0A = 8,3：.OP = 3, AP = 5,OQ = y]OP2-P Q2 = >/32- l2 = 2V2 ,•*- BO = 2 五+ x，在 Rt PZ4中，AT = ^A P2-P T2 = V52- l2 = 2 n ，/• BA = A T +BT = AT +x =2^/6 + x ,%AOB=；（ AB + O8） xr = ；b & + 2 # + 2x） = x + 应 + # ,又 S/ = ；OBxOAxsinMON = g （ 2 & + x） ,X + >/2, + y/h = —（ 2>/^ + X） ,解得：x = 3限-5叵,，OB = 3 # - 5 0 + 2点 = 3 # - 3 五, 即。
8 的最小值为3 6 -3 五 ，当r = 2 时，如图，过点A 作QN的垂线交OM于点8.V s i n Z MO 7V = 1 , PQ^PA = 2, 0A = 8,：. OP = 6,,- 0 =收一2 = 4 0，t a n Z.MON =PQ = 2诙一懑一彳• AB _ 五AB = 2 0：.0B = ^^T = 6 短3/. OB的最大值为6夜 ，二0 B 的长的取值范围为3痴 -3 夜 W 08 4 6 0 . 。