金融幂律：实证，模型以及原理Thomas Lux1Department of EconomicsUniversity of Kiellux@bwl.uni-kiel.de为社会科学中的幂律而准备：发现社会科学的复杂性和非均衡动态，Claudio Cioffi,编者.概述：金融市场（股票市场，外汇市场以及其他市场）均以一系列普遍使用的幂律为特征，最突出的例子是以强健的，近似三次幂律（cubic power law）来描述大量回报（large returns）的分布这一独特发现一个几乎同样强健特征是对波动性的长期依赖（例如：其自相关函数的双曲线递减）最近的文献加入了交易量的时间标度（temporal scaling）和higher moments of returns的multi-scaling. 最近，对于这些特征的关注引起了人们对市场过程中这些关键特征之所以出现的原因进行理论解释的尝试理论上来讲，不用种类的动态过程可能造成了这些幂律在经济学文献中找到的例子包括乘法随机过程（multiplicative stochastic processes）和多均衡的动态过程尽管这两种过程dynamics均以间歇产生大规模活动爆发的间断行为为特征，而事实上它们则可能是基于对交易过程上根本性地不同的理解。
前面的章节既回顾了在经济学文献中提出的相关模型，又复习了出现在以上数据到产生机制中的幂律的分析背景一 简介尽管关于收入和资产中的幂律研究可以追溯到19世纪（Pareto）, 但对于在金融数据中幂律的关注还是最近的事情幂律在金融中第一次体现可能是在Mandelbrot 的Journal of Business中1963卷的具有开启意义的Variation of Certain Speculative Prices"一文中，随后紧接着Eugene Fama在随后的一篇名为“Mandelbrot and the Stable Paretian Hy-pothesis"的一文中，进一步阐述了同一个问题这一突破很大程度上主宰了之后近三十年的争论，这些讨论则涉及了大量的旨在提供Paretian or Levy stable hypothesis支持和反对论据的论文尽管在上一个十年中，当尘埃落定之时，大幅价格变动（large price changes）的幂律行为现在成为了在金融经济学中最为普遍的发现，但它在曾经很长的一段时间内，一直是在这一领域内持续讨论的唯一幂律直到最近才加入了对于Pareto-like行为的其他备选，现在在科学界普遍接受的，是用来刻画波动性时间依赖结构（temporal dependence structure）的一个二次幂律(second power law)。
然而当我们试图趋近这个无法观测的数量“波动性“时（最直接的就是用资产回报的绝对值或二次方来表示），这些实体（量）的自相关(autocorrelation)则会呈双曲线式（hyperbolically）地衰减，例如，Pareto-like尽管这一特征与我们早已知道的金融市场中的波动丛(clustering of volatility)相联系，而事实上，震动中的这种依赖关系是我们直到九十年代才意识到的一种长期类型对于这一观察的认可应该归于Ding，Engle和Granger在1993年的期刊Empirical Finance发表的论文“股票市场回报的一个长期记忆性质和新模型（A Long Memory Property of Stock Market Returns and a New Model）”随后，物理学家的一些论文强调了这一发现的幂律实质和它在复杂的市场互动中的潜在根源（cf. Lux and Ausloos, 2002）.在回报和波动性中的幂律似乎是紧密相关的：他们中的任何一个都不曾在对方不存在的情况下被观测到，因此，这似乎说明把他们作为金融数据必不可少的联合特征是合理的直到最近更多的幂律进入了视野：交易量（和波动性紧密相关）似乎也是以长期依赖为特征的（尽管波动性和交易量是否具有同样程度的长期记忆还不清楚）。
高频Tick-by-tick数据（high frequency tick-by-tick data）的可得性进一步被揭示出了其他类型的幂律行为，例如在纽约证券交易所（New York Stock Exchange Trades）和Quotes Database(Gopikrishnan et al., 2001)的交易次数(number of trades)的幂律相似的结论在日本股票市场也有报道接下来的章节按如下计划：第二部分，给出一个刻画回报和波动性的主要金融幂律的更为正式的描述，以及对相关文献的概述在设定了背景后，我们转到解释模型第三部分处理了所谓的理性泡沫模型，它在经济学中理性期望模型的标准群体中出现，作为对金融幂律的一个潜在解释有趣的是，这种方法指出乘法随机过程（multiplicative stochastic processes）是作为一种具有通用幂律的数据产生过程然而，潜在过程的这一有趣特性，即理性泡沫模型却产生了关于幂的范围的非常不正确的数值预测在第四部分中，我们转向在行为金融学文献中最近提出的模型从现有方法和模型的多样性中，我们试图找出在模拟数据中导出真正的或至少明显幂律的基本要素和机制。
第五部分试图从现有的文献总体中为金融标度率的潜在解释下一个总体的结论第二部分 金融中的实证幂律这一领域的现代文献是从Mandelbrot（1963）和Fama（1963）这两位提出了所谓的Paretian or Levy stable distributions作为金融回报（羊毛期货在Mandelbrot的论文中得到分析）的统计模型开始这些分布的理论魅力在于其在集群（aggregation）下的稳定性当这些论文得到发表的时候，人们已经知道概括的中心极限定理（Generalized Central Limit Law）对于具有非收敛（无限）二阶矩（second moments）的分布成立：当二阶矩（second moment）的存在使得随机变量的和收敛于Gaussian（至少在IID情况和弱相关的情况下）合理时，方差的非收敛性意味着和的分布收敛于Levy stable distribution族（family）的的成员在这种观点下，资产回报的直方图对于正太分布的显著偏移和它们明显的可加性（additivity）(日回报可以表示为全部intra-daily price变化之和)可以被理解为是有利于Levy hypothesis的突出证据。
Levy分布（levy distribution）以其尾部的一个渐近幂律行为（asymptotic power-law behavior）为特征，指数指了回报的互补积累密度函数（记作ret），回报在尾部则收敛于（1）Pr(|ret|> x)≈Levy假设将回报的幂律约束在容许的范围即∈(0, 2]内，这意味着上文提到的二阶矩 < 1时，均值都不会收敛）的非收敛性基于Levy模型的实际估计通常会发现在1.7左右尽管当Levy分布律（Levy law）的参数被用来估计其自身时，上面的结论被一次次的确定，其他研究对Levy假设的有效性提出了怀疑，它们质疑这些估计的群体下的稳定性（stability-under-aggregation）性质（Hall et al. 1989）或者指出二阶矩样本的明显收敛性（Lau et al., 1990）然而，从九十年代早期开始，集中在分布自身的尾部行为和通过在不假定某一特定模型时（cf. Hill, 1975）的条件最大化可能性（conditional maximum likelihood）来估计其衰减参数的行为变得很普遍相关的文献逐渐趋向于一种参数显著大于2并且几乎接近于3的观点(cf. Jansen and de Vries, 1991; Lux, 1996)。
这些结论和物理学家通过其典型的log-log regression方法(Cont et al., 1997; Gopikrishnan et al., 1998)所获得的估计十分吻合这一关于回报幂律的近似三次型现在也就被认为是事实上所有类型的金融市场的普遍特征注意，这一发现意味着，长期认可的当α≈ 3时的Levy假设的摒弃代这一分布的外部的衰减比这一类分布所允许的要快第二种幂律和价格振动的波动性的乳白色概念（opalescent concept）相关注意绝对值，|ret|，作为其最常用的分析形式，其相关幂律适用于他们的自协方差函数（autocovariance function）：(2) 尽管γ的准确值受到的关注比少（可能是因为 不是直接估计而是通过其与所谓的Hurst指数或相关的测度的关系而估计的，cf Lux and Ausloos,2002），被报告的统计数据在时间序列上也出奇的一致，即一般均为 = 0.2 - 0.3（Ding, Engle and Granger, 1993; Lobato and Savin, 1998; Vandewalle and Ausloos, 1997, 1998）图1提供了金融数据典型行为的案例，这是一系列来自于纽交所企业指数（New York Stock Exchange Corporate Index）的日常观察。
这个对于波动性比较低的衰减参数γ = 0.14是由于只用一个幂律来匹配整个高达lag 200的自相关关系集合（ensemble of autocorrelations）如果集中于更长的滞后（lags）,我们将得到同其他估计相一致的更大的衰减参数值得一提的是，最近大量证据表现出了对金融波动的时间依赖结构（temporal dependence structure）中的（多标度）multi-scaling有利的一面：而非简单的标度关系（幂律）（2），我们可能面临着对于不同绝对回报乘方的一个标度率连续体：(3) 注意绝对回报的任何次幂q都可以被看做是波动性的另一测度有了方程（3）中的多重标度（multi-scaling），我们得到了一个金融波动时间发展（temporal development）的更为细致的图画（cf. Mandelbrot, 1999; Calvet and Fisher, 2002; Lux, 2004）最令人激动的是，标度参数（scaling parameter） 对于q次幂的非线性依赖也是涡流(turbulent fluids)的关键特征之一，并且这激发了统计物理学中所谓多重分型模型（multi-fractal models）的发展。
最近的研究表明，这些模型有可能用来对金融价格进行建模值得重视的是，大量回报（large returns）和其波动性的幂律行为似乎真的是普遍的，并且可以在所有的金融数据中无一例外地找到这和许多其他的经济学中的“程式化的事实”（stylized facts）形成鲜明对比，例如关于宏观经济中的数据（例如GDP，通胀率等）也应该指出上面的幂律并非全都是深奥莫测的概念，正相反，他在金融工程中具有举足轻重的重要性：控制大量回报的概率规律（方程1）可以被直接用来测度隐含在极端事件的内在风险（例如，股灾）类似地，方程（2）和（3）中涉及波动性的时间依赖（temporal dependence of volatility）的模型也可以立刻被用于预测价格波动的未来走势图1.1 图示为金融数据的主要幂律特征我们的数据是纽约证交所复合指数（New York Stock Exchange Composite Index）在1988到1998期间（总计2782次观察数据）的每日记录。