第3章 3.2 空间向量的应用3.2.2 空间线面关系的判定（一） 平行关系 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.2.能用向量方向证明有关线、面位置关系的一些定理.3.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行关系.学习目标 知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点 空间平行关系的向量表示答案(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥∥b⇔a＝λb⇔______________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥⊥u⇔a·u＝0⇔.a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 答案(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥∥v⇔u＝λv⇔_________________________________________.思考 1.用向量法如何证明线面平行？答案 证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可.2.直线l的方向向量是惟一的吗？答案 不惟一.返回a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R) 例1 已知直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3).证明：l1∥l2. 题型探究 重点突破题型一 证明线线平行问题证明 ∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，解析答案反思与感悟 跟踪训练1 已知在四面体ABCD中，G、H分别是△ABC和△ACD的重心，则GH与BD的位置关系是________.解析答案平行平行所以GH∥EF，所以GH∥BD. 例2 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.题型二 证明线面平行问题解析答案反思与感悟 跟踪训练2 如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.解析答案 例3 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系.题型三 证明平面和平面平行问题解析答案反思与感悟 解析答案跟踪训练3 设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________.解析 ∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k)，4返回 当堂检测123451.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是________.(填序号)①(2,2,6) ②(－1,1,3)③(3,1,1) ④(－3,0,1)解析答案解析 ∵A，B在直线l上，① 123452.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则下列结论正确的是________.(填序号)①l∥α ②l⊂α③l⊥α ④l⊂α或l∥α解析 ∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.④解析答案 123453.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是________.所以AB∥平面yOz.解析答案平面yOz 4.若平面α、β的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6，6)，则平面α，β的位置关系是________.12345解析答案平行解析 ∵n2＝－3n1，∴n1∥n2，∴α∥β. 123455.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上结论中正确的是__________.(填序号)解析答案 课堂小结用向量方法证明空间中的平行关系(1)线线平行设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥∥b，即a＝kb (k∈R).(2)线面平行①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. ②根据线面平行的判定定理：“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外的一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(3)面面平行①转化为线线平行、线面平行处理.②证明这两个平面的法向量是共线向量.返回 本课结束 。