2.2.4 均值不等式及其应用第1课时 均值不等式 1.1.均值不等式均值不等式( (基本不等式基本不等式) )(1)(1)算术平均值与几何平均值算术平均值与几何平均值前提前提给给定两个正数定两个正数a a，，b b结论结论数数 称称为为a a，，b b的的算算术术平均平均值值数数 称称为为a a，，b b的几何平均的几何平均值值 (2)(2)均值不等式均值不等式前提前提a a，，b b都是正数，都是正数，结论结论 ，，等号成立等号成立的条件的条件当且当且仅仅当当a=ba=b时时，等号成立，等号成立几何意几何意义义所有周所有周长长一定的矩形中，正方形的面一定的矩形中，正方形的面积积最大最大. . 【【思考思考】】(1)(1)算术平均值的实质是什么？算术平均值的实质是什么？提示：提示：数数a a，，b b在数轴上对应的点的中点坐标在数轴上对应的点的中点坐标. .(2)(2)均值不等式中的均值不等式中的a a，，b b只能是具体的某个数吗？只能是具体的某个数吗？提示：提示：a a，，b b既可以是具体的某个数，也可以是代数式既可以是具体的某个数，也可以是代数式. . (3)(3)均值不等式的叙述中，均值不等式的叙述中，““正数正数””两个字能省略吗？两个字能省略吗？请举例说明请举例说明. .提示：提示：不能，如不能，如 是不成立的是不成立的. . 2.2.均值不等式与最值均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. . 【【思考思考】】通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？意哪几方面？提示：提示：求最值时，要注意三个条件，即求最值时，要注意三个条件，即““一正一正””，，““二定二定””，，““三相等三相等””. . 【【素养小测素养小测】】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“√”“√”，错的打，错的打““×”)×”)(1)(1)两个不等式两个不等式a a2 2+b+b2 2≥2ab≥2ab与与 成立的条件是相成立的条件是相同的同的. .( ( ) )(2)(2)当当a>0a>0，，b>0b>0时时a+b≥2 .a+b≥2 .( ( ) )(3)(3)当当a>0a>0，，b>0b>0时时ab≤ .ab≤ .( ( ) ) (4)(4)函数函数y=x+ y=x+ 的最小值是的最小值是2.2. ( ( ) ) 提示：提示：(1)(1)××. .不等式不等式a a2 2+b+b2 2≥2ab≥2ab成立的条件是成立的条件是a a，，b∈Rb∈R；；不等式不等式 成立的条件是成立的条件是a>0a>0，，b>0.b>0.(2)√.(2)√.均值不等式的变形公式均值不等式的变形公式. .(3)√.(3)√.均值不等式的变形公式均值不等式的变形公式. .(4)(4)××. .当当x<0x<0时，时，x+ x+ 是负数是负数. . 2.2.下列不等式正确的是下列不等式正确的是 ( ( ) )【【解析解析】】选选C.C.因为因为a a2 2>0>0，所以，所以 成立成立. . 3.3.不等式不等式a a2 2+1≥2a+1≥2a中等号成立的条件是中等号成立的条件是________. ________. 【【解析解析】】当当a a2 2+1=2a+1=2a，即，即(a-1)(a-1)2 2=0=0时时““=”=”成立，此时成立，此时a=1.a=1.答案：答案：a=1a=1 类型一 对均值不等式的理解类型一 对均值不等式的理解【【典例典例】】1.1.若若a a，，b∈Rb∈R，且，且ab>0ab>0，则下列不等式中，恒，则下列不等式中，恒成立的是成立的是( ( ) )A.aA.a2 2+b+b2 2>2ab>2abB.a+b≥2B.a+b≥2 C.C. D. D. 2.2.不等式不等式a+1≥2 (a>0)a+1≥2 (a>0)中等号成立的条件是中等号成立的条件是( ( ) )世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.a=0A.a=0B.a= B.a= C.a=1C.a=1D.a=2D.a=2 【【思维思维··引引】】利用均值不等式时需注意使用条件利用均值不等式时需注意使用条件. . 【【解析解析】】1.1.选选D.D.对于对于A A项，当项，当a=ba=b时，应有时，应有a a2 2+b+b2 2=2ab=2ab，，所以所以A A项错；对于项错；对于B B，，C C，条件，条件ab>0ab>0，只能说明，只能说明a a，，b b同同号，当号，当a a，，b b都小于都小于0 0时，时，B B，，C C错误；对于错误；对于D D项，因为项，因为ab>0ab>0，所以，所以 ，所以，所以 . . 2.2.选选C.C.因为因为a>0a>0，根据均值不等式，根据均值不等式 ，当且仅，当且仅当当a=ba=b时等号成立，故时等号成立，故a+1≥2 a+1≥2 中等号成立当且仅当中等号成立当且仅当a=1.a=1. 【【内化内化··悟悟】】1.1.使用均值不等式的前提条件是什么？使用均值不等式的前提条件是什么？提示：提示：a>0a>0，，b>0.b>0.2.2.均值不等式中，等号成立的条件是什么？均值不等式中，等号成立的条件是什么？提示：提示：a=ba=b 【【类题类题··通通】】在均值不等式应用过程中要注意在均值不等式应用过程中要注意““一正、二定、三相一正、二定、三相等等””. .一正，一正，a a，，b b均为正数；均为正数；二定，不等式一边为定值；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即三相等，不等式中的等号能取到，即a=ba=b有解有解. . 【【习练习练··破破】】设设00x>0，，y>0y>0，且，且x+y=18x+y=18，则，则xyxy的最大值为的最大值为( ( ) )A.80A.80B.77B.77C.81C.81D.82D.82 2.2.当当x>1x>1时，时， 的最小值为的最小值为________.________.世纪金榜导世纪金榜导学号学号 【【思维思维··引引】】根据已知条件，直接利用均值不等式求根据已知条件，直接利用均值不等式求最值最值. . 【【解析解析】】1.1.选选C.C.因为因为x>0x>0，，y>0y>0，所以，所以 ，即，即xyxy≤ =81≤ =81，当且仅当，当且仅当x=y=9x=y=9时，时，(xy)(xy)maxmax=81.=81. 2.2.令令t= t= ，，因为因为x-1>0x-1>0，所以，所以t≥ +2=8t≥ +2=8，当且仅当，当且仅当x-1x-1= = ，即，即x=4x=4时，时，t t的最小值为的最小值为8.8.答案：答案：8 8 【【内化内化··悟悟】】能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的？能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的？提示：提示：一般条件中有一般条件中有““和为定值和为定值””或或““积为定值积为定值””，，要求的结论是要求的结论是““积的最大值积的最大值””或或““和的最小值和的最小值””. . 【【类题类题··通通】】利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点1.1.两种类型两种类型(1)(1)若若a+b=p(a+b=p(两个正数两个正数a a，，b b的和为定值的和为定值) )，则当，则当a=ba=b时，时，积积abab有最大值有最大值 ，可以用均值不等式，可以用均值不等式 求得求得. . (2)(2)若若ab=S(ab=S(两个正数的积为定值两个正数的积为定值) )，则当，则当a=ba=b时，和时，和a+ba+b有最小值有最小值2 2 ，可以用均值不等式，可以用均值不等式a+b≥ a+b≥ 求得求得. . 2.2.一个关注点一个关注点不论哪种情况都要注意等号取得的条件不论哪种情况都要注意等号取得的条件. . 【【习练习练··破破】】已知已知a>0a>0，，b>0b>0，，ab=4ab=4，，m=b+ m=b+ ，，n=a+ n=a+ ，求，求m+nm+n的最小的最小值值. . 【【解析解析】】因为因为m=b+ m=b+ ，，n=a+ n=a+ ，，所以所以m+n=b+ +a+ .m+n=b+ +a+ .由由ab=4ab=4，那么，那么b= b= ，所以，所以b+ +a+ b+ +a+ = =5= =5，当且仅当，当且仅当 即即a=2a=2时取等号时取等号. .所以所以m+nm+n的最小值是的最小值是5.5. 【【加练加练··固固】】 已知已知a>0a>0，，b>0b>0，则，则 的最小值是的最小值是( ( ) )A.2A.2B.2 B.2 C.4C.4D.5D.5 【【解析解析】】选选C.C.因为因为a>0a>0，，b>0b>0，，所以所以 ≥≥4 =44 =4，当且仅当，当且仅当 即即a=b=1a=b=1时，等号成立时，等号成立. . 类型三 间接利用均值不等式求最值类型三 间接利用均值不等式求最值角度角度1 1 ““不正不正””问题问题【【典例典例】】已知已知x<0x<0，则，则3x+ 3x+ 的最大值为的最大值为________.________.世纪金榜导学号世纪金榜导学号 【【思维思维··引引】】变形为各项均大于变形为各项均大于0 0后利用均值不等式求后利用均值不等式求最值最值. . 【【解析解析】】因为因为x<0x<0，所以，所以-x>0.-x>0.则则 ≤ ≤ =-12=-12，当且仅当，当且仅当 =-3x=-3x，即，即x=-2x=-2时，时，3x+ 3x+ 取得最大值为取得最大值为-12.-12.答案：答案：-12-12 【【内化内化··悟悟】】使用均值不等式的前提条件必须是所给的式子均大于使用均值不等式的前提条件必须是所给的式子均大于0 0吗？吗？提示：提示：当所给式子均小于当所给式子均小于0 0，也可以利用均值不等式求，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化最值，但是要注意不等号方向的变化. . 角度角度2 2 ““不定不定””问题问题【【典例典例】】(1)(1)已知已知x>2x>2，求，求x+ x+ 的最小值的最小值. .(2)(2)已知已知02x>2，所以，所以x-2>0x-2>0，所以，所以x+ =x-2+x+ =x-2+ +2≥ +2=4 +2≥ +2=4，，所以当且仅当所以当且仅当x-2= (x>2)x-2= (x>2)，，即即x=3x=3时，时，x+ x+ 的最小值为的最小值为4.4. (2)(2)因为因为001-2x>0，所以，所以 x(1-2x)= x(1-2x)= ××2x(1-2x)≤ 2x(1-2x)≤ ，，所以当且仅当所以当且仅当2x=1-2x 2x=1-2x ，，即即x= x= 时，时， x(1-2x)x(1-2x)的最大值为的最大值为 . . 【【素养素养··探探】】本例考查利用均值不等式求最值，突出考查了逻辑推本例考查利用均值不等式求最值，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养理与数学运算的核心素养. .若把本例若把本例(1)(1)改为：已知改为：已知x< x< ，，试求试求4x-2+ 4x-2+ 的最大值的最大值. . 【【解析解析】】因为因为x< x< ，所以，所以4x-5<04x-5<0，，5-4x>0.5-4x>0.所以所以4x-5+3+ 4x-5+3+ =1.=1.当且仅当当且仅当5-4x= 5-4x= 时等号成立，又时等号成立，又5-4x>05-4x>0，，所以所以5-4x=15-4x=1，，x=1x=1时，时，4x-2+ 4x-2+ 的最大值是的最大值是1.1. 【【类题类题··通通】】通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：的问题： (1)(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形以及等式中常数的调整，做到等价变形. .(2)(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. .(3)(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提. . 【【习练习练··破破】】已知已知x>0x>0，求，求2-x- 2-x- 的最大值的最大值. . 【【解析解析】】因为因为x>0x>0，所以，所以x+ ≥4x+ ≥4，，所以所以2-x- ≤2-4=-22-x- ≤2-4=-2，，所以当且仅当所以当且仅当x= (x>0)x= (x>0)即即x=2x=2时，时，2-x- 2-x- 的最大值是的最大值是-2.-2. 。
