1 -一般周期函数的判定方法周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论本文在高中数学的基础上，对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，用初等的方法进行一些探讨1、周期函数的定义及性质定义：设 f(x)是定义在数集 M 上的函数，如果存在非零常数 T 具有性质；（1）对 有（X±T） ；（2）对 有 f（X+T）=f（X）则称 f（X）是数集 M 上的周期函数，常数 T 称为 f（X）的一个周期如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数 f（X）的最小正周期由定义可得：周期函数 f（X）的周期 T 是与 X 无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期例 1 常数值函数 f（X）=C（C 是常数）是实数集 R 上以任意非零实数为周期的周期函数狄利克莱函数 D（X）= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期2、性质：（1）若 T（≠0）是 f(X)的周期，则-T 也是 f(X)的周期因 f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)） 。
因而周期函数必定有正周期2）若 T（≠0）是 f(X)的周期，则 nT（n 为任意非零整数）也是 f(X)的周期证：当 n＞0 时，f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……=f（x+T）= f(X)当 n＜0 时，∵-n＞0，由前证和性质 1 可得：nT=-（-nT）是 f(X)的周期∴当 n 为任意非零整数时命题成立3）若 T1 与 T2 都是 f(X)的周期，则 T1±T2 也是 f(X)的周期 （因 f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)） 4） 、如果 f(X)有最小正周期 T*，那么 f(X)的任何正周期 T 一定是 T*的正整数倍否则必存在 n1r Z+（Z+为正整数）使 T=n1T*+r（0＜r＜T*） ，则对 （f(X)的定义域）有 f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r） ，∴r 也是 f(X)的正周期，与 T*是 f(X)的最小正周期矛盾∴T 必是 T*的正整数倍5）T*是 f(X)的最小正周期，且 T1、T2 分别是 f(X)的两个周期，则 （Q 是有理数集）证：据条件和性质 4 知，存在 K1、K2 Z，使 T1=K1T*，T2=K2T*，∴ 。
6）若 T1、T2 是 f(X)的两个周期，且 是无理数，则 f(X)不存在最小正周期 （用反证法据性质 5 即可证得） 7）周期函数 f(X)的定义域 M 必定是双方无界的集合证：若 T 是 f(X)的周期，则 nT（n ，n≠0）也是 f(X)的周期，∴ 有 X±nT M，∴M 双方无界，但并非 M 必定（-∞、+∞） ，如 tgX 和 ctgX 的定义域分别为 X≠Kπ+π/2 和X≠Kπ（K ） 例 2：f(X)=sinX（ ≤10π）不是周期函数3、周期函数的判定定理 1 若 f(X)是在集 M 上以 T*为最小正周期的周期函数则 K f(X)+C（K≠0）和 1/ f(X)分别是集 M 和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以 T*为最小正周期的周期函数证：∵T*是 f(X)的周期，∴对 有 X±T* 且 f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)- 2 -+C，∴K f(X)+C 也是 M 上以 T*为周期的周期函数假设 T* 不是 Kf(X)+C 的最小正周期，则必存在 T’（ 0＜T’＜T*）是 K f(X)+C 的周期，则对 ，有 K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，∴T’是 f(X)的周期，与 T*是 f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C 的最小正周期。
同理可证 1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以 T*为最小正周期的周期函数定理 2：若 f(X)是集 M 上以 T*为最小正周期的周期函数，则 f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以 T*/ 为最小正周期的周期函数， （其中 a、b 为常数） 证：（先证 是 f(ax+b)的周期） ，∵T*是 f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M，且 f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴是 f（ax+b）的周期再证 是 f（ax+b）的最小正周期假设存在 T’（0＜T’＜ ）是 f（ax+b）的周期，则 f（a（x+T’ ）+b）=f（ax+b） ，即f（ax+b+aT’ ）=f（ax+b） ，因当 X 取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b 就取遍 M 所有的各数，∴aT’是 f(X)的周期，但 ＜ =T*这与 T*是 f(X)的最小正周期矛盾定理 3：设 f(u)是定义在集 M 上的函数 u=g（x）是集 M1 上的周期函数，且当 X∈M1 时，g(x)∈M，则复合函数 f(g(x))是 M1 上的周期函数。
证：设 T 是 u=g(x)的周期，则 1 有（x±T）∈M1 且 g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))∴=f(g(x))是 M1 上的周期函数例 3 设=f(u)=u2 是非周期函数，u= g(X)=cosx 是实数集 R 上的周期函数，则 f(g(x))=cos2x 是 R 上的周期函数同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)， （2）f(X)=Sin(tgx)， （3）f(X)=Sin2x， （4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数例 4，f(n)=Sinn 是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证） 例 5，f(n)=cosn 是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而 f(g(x))=cos 是非周期函数证：假设 cos 是周期函数，则存在 T＞0 使 cos （k∈Z）与定义中 T 是与 X 无关的常数矛盾，∴cos 不是周期函数由例 4、例 5 说明，若 f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时 f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。
定理 4：设 f1(X)、f2(X)都是集合 M 上的周期函数，T1、T2 分别是它们的周期，若T1/T2∈Q 则它们的和差与积也是 M 上的周期函数，T1 与 T2 的公倍 数为它们的周期证：设 （(p·q)=1）设 T=T1q=T2p 则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且 f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以 T1 和 T2 的公倍数 T 为周期的周期函数同理可证：f1(X) 、f2(X)是以 T 为周期的周期函数推论：设 f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集 M 上的有限个周期函数 T1、T2……Tn 分别是它们的周期，若， … （或 T1，T2……Tn 中任意两个之比）都是有理数，则此 n 个函数之和、差、积也是 M 上的周期函数 例 6 ，f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x 是以 2π、π、π/2 的最小公倍 数 2π 为周期的周期函数例 7，讨论 f(X)= 的周期性解：2tg3 是以 T1= 为最小正周期的周期函数 3 -5tg 是以 T2 为最小正周期的周期函数。
tg2 是以 T3= 为最小正周期的周期函数又 都是有理数∴f(X)是以 T1、T2、T3 最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数同理可证：（1）f(X)=cos ;(2) f(x)= ；(3)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x是周期函数定理 5，设 f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则 f1(x)与 f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是 a1/a2∈Q证：先证充分性：若 a1/a2∈Q，设 T1、T2 分别为 f1(x)与 f2(x)的最小正周期，则 T1= 、T2= ，又 ∈Q由定理 4 可得 f1(x)与 f2(x)之和、差、积是周期函数再证必要性（仅就 f1(x)与 f2(x)的差和积加以证明） 1）设 sina1x-cosa2x 为周期函数，则必存在常数 T＞0，使 sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin =-2sin s(a2x+ ) sin (1)令 x= 得 2cos（a1x+ ） ，则 （K∈Z） 2)或 C∈Z（3）又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0由(4)由 sin （5）由上述（2）与（3） ， （4）与（5）都分别至少有一个成立。
由（3） 、 （5 得 ） （6）∴无论（2） 、 （4） 、 （6）中那一式成立都有 a1/a2 2）设 sinaxcosa2x 为周期函数，则是周期函数∴ ∴ 例 8 求证 f(X)=sin x+cos x 是非周期函数证：假设 f(X)是周期函数，则 是无理数矛盾∴f(X)是非周期函数4、非周期函数的判定（1）若 f(X)的定义域有界例 9，f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数 T 在关系式 f(X+T)= f(X)中是与 X 无关的，故讨论时可通过解关于 T 的方程 f(X+T)- f(X)=0，若能解出与 X 无关的非零常数 T 便可断定函数 f(X)是周期函数，若这样的 T 不存在则 f(X)为非周期函数，如例，f(X)=cos 是非周期函数（例 5） 3）一般用反证法证明 （若 f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出 f(X)是非周期函数） 例 10 证 f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数证：假设 f(X)=ax+b 是周期函数，则存在 T（≠0） ，使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又 a≠0，∴T=0 与 T≠0 矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例 11 证 f(X)= 是非周期函数证：假设 f(X)是周期函数，则必存在 T（≠0）对 ，有(x+T)= f(X)，当 x=0 时，f(X)=0，但 x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与 f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数例 12 证 f(X)=sinx2 是非周期函数证：若 f(X)= sinx2 是周期函数，则存在 T（＞0） ，使对 ，有 sin(x+T)2=sinx2，取 x=0有 sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z） ，又取 X= T 有 sin( T+T)2=sin（ T）- 4 -2=sin2kπ=0，∴( +1)2T2=Lπ(L∈Z+)，∴ 与 3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2 是非周期函数例 13 证 f(X)=cos(lgx)为非周期函数证：若 f(X)=cos(lgx)是周期函数，则必存在 T（＞0）使对 ＞0 有 cos[lg(x+T)]=cos(lgx),当 x=T 时，cos(lg2T)=cos(lgT)，当 x=2T 时，有 cos(lg3T)=cos(lg2T)=cos(lgT)……，当 x=9T 时有 cos(lg10T)=cos(lg9T)=cos(lg8T)=……cos(lgT) ∴cos(lgT)=cos(lg10T)=co。