格林(Green)公式第十章第十章一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题三、同步练习三、同步练习四、同步练习解答四、同步练习解答第三节一、主要内容一、主要内容 (一一) 格林公式格林公式1. 区域连通性分类区域连通性分类设设D为平面区域为平面区域, 则称则称D为平面为平面单连通区域；单连通区域；平面单连通区域 就是没有平面单连通区域 就是没有“洞洞”的 区域的 区域如果如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 否则否则, 平面复连通 区域就是有平面复连通 区域就是有“ 洞洞”的区域的区域如果如果D内存在闭曲线内存在闭曲线l，，它所围成的部分不完全属于它所围成的部分不完全属于D,则称则称D为为复连通区域复连通区域.边界曲线边界曲线L的正向：的正向：当观察者沿当观察者沿L的这个方向行走时的这个方向行走时, D内在他内在他近处近处的部分总在他的 左边的部分总在他的 左边. 单连通区域单连通区域的的 边界曲线边界曲线L的正向的正向:逆时针方向逆时针方向.2. 边界曲线边界曲线L的正向的正向DL设设复连通区域复连通区域 D 的边界曲线为的边界曲线为Γ Γ = L + l1 + l2 + ··· + ln(如图如图)Γ 的正向：Γ 的正向：外外边界边界L 为为逆逆时针方向；时针方向；),, 2, 1(niliL= =内内边界为边界为顺顺时针方向时针方向.复合 闭路复合 闭路DLl1l2光滑闭曲线围成光滑闭曲线围成, 函数函数定理定理10.3（（Green公式）公式）设平面区域设平面区域 D 是由分段是由分段),(, ),(yxQyxP——格林公式格林公式3. 格林公式格林公式有连续一阶偏导数有连续一阶偏导数, 则则在在 D上具上具∫∫∫∫∫∫ + +∂ ∂+=∂+=∂∂ ∂−∂∂−∂∂DDyQxPyxyP xQdddd)(.的边界曲线正向是其中的边界曲线正向是其中DD+ +∂ ∂便于记忆形式便于记忆形式: ∫∫∫∫∫∫+ +∂ ∂+=∂+=∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂DDyQxPyx QPyxdddd.+–沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联系沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联系.2º 格林公式的条件：格林公式的条件：①① L封闭，取封闭，取正正向向; (负负)L1º 格林公式的实质格林公式的实质②② P，，Q在在L所围区域所围区域D上有一阶连续偏导数上有一阶连续偏导数.DLD∫ ∫+ +LyQxPdd注注3º 对对复连通区域复连通区域 D 应用应用格林公式格林公式，，∫∫∫∫∫∫+ +∂ ∂+=⎟+=⎟ ⎠ ⎠⎞ ⎞⎜⎝⎛ ∂⎜⎝⎛ ∂∂ ∂−∂−∂∂ ∂DDyQxPyxyP xQdddd的全部边界的全部边界，，应包括沿区域公式右端的应包括沿区域公式右端的DD+ +∂ ∂且边界的方向对且边界的方向对 D 来说都是正向来说都是正向.4º 利用曲线积分求面积的一种新方法利用曲线积分求面积的一种新方法.推论推论 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积∫ ∫+ +∂ ∂−=−=DxyyxAdd21证证则则，令，令xQyP= =− −= =,211=+=∂=+=∂∂ ∂−∂−∂∂ ∂ yP xQ由格林公式由格林公式AyxxyyxDD==−==−∫∫∫∫∫∫+ +∂ ∂dd221dd21∫∫∫∫∫∫+ +∂ ∂+=⎟+=⎟ ⎠ ⎠⎞ ⎞⎜⎝⎛ ∂⎜⎝⎛ ∂∂ ∂−∂−∂∂ ∂DDyQxPyxyP xQdddd格林公式格林公式.dd21∫ ∫+ +∂ ∂−=−=DxyyxA需证需证：：定理定理10.4 设设G是单连通域是单连通域,)),(),,((),(yxQyxPyxF= =→→则以下则以下四个命题四个命题等价等价:(二二) 平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件),()1(GC∈ ∈.,)4(xQ yPG∂ ∂∂ ∂≡∂≡∂∂ ∂内在 内在; 0dd,)1(∫ ∫=+⊂∀=+⊂∀CyQxPGC分段光滑闭曲线分段光滑闭曲线;dd)2(∫ ∫+ +LGyQxP内与路径无关在 内与路径无关在；；使使)),((ddd),,()3(GyxyQxPuyxuu∈ ∈∀ ∀+ += == =∃ ∃注注 1º 定理中关于区域的定理中关于区域的单连通性单连通性和函数和函数P、、Q的的一阶偏导数的连续性一阶偏导数的连续性两个两个条件条件缺一不可缺一不可.缺少一个，定理结论缺少一个，定理结论不一定不一定成立.成立.π π2dd 22=+=+− −= =∫ ∫ LyxxyyxI0.)0 ,0(:的任一条正向闭曲线包围的任一条正向闭曲线包围L≠ ≠反例反例12222),(,),(yxxyxQyxyyxP+=+−=+=+−=)0 , 0(),(2222 ≠∂∂=+−=∂∂≠∂∂=+−=∂∂yxxQ yxxy yP,2RG =若取=若取是单连通域是单连通域，，则则G.)0 , 0(具有一阶连续偏导数内不是处处处无定义，故在在，但具有一阶连续偏导数内不是处处处无定义，故在在，但GQP则则若取若取},0),( {22≠+=≠+=yxyxG不是单连通不是单连通G但内有一阶连续偏导数在但内有一阶连续偏导数在,,GQP.区域区域)0 , 0(),(2222 ≠∂∂=+−=∂∂≠∂∂=+−=∂∂yxxQ yxxy yP∫ ∫+ ++ += =LyxyyxxI22dd.)0 , 0(:的任一条正向闭曲线包围的任一条正向闭曲线包围L则则若取若取},0),( {22≠+=≠+=yxyxG不不虽然虽然G但是单连通域但是单连通域 ,且内有一阶连续偏导数在且内有一阶连续偏导数在,,GQPGyxxQ yxxy yP∈∂∈∂∂ ∂=+−=∂∂=+−=∂∂),(2 22∫ ∫+ ++ += =CyxyyxxI22dd0= =反例反例2事实上事实上，，⎩⎨⎧ =⎩⎨⎧ == = θ θθ θ sincos:ryrxl作作π20:aθ θL)dd)((22 )(∫∫∫∫ −−+−−++ ++ +−=−=llLyxyyxxI则则0d00π202=+==+=∫ ∫θ θr∫∫∫∫∫∫+ ++ ++∂+∂∂ ∂−∂∂=−∂∂=lDyxyyxxyxyP xQ 22dddd)((lDyxOGyxxQ yP∈∂∈∂∂ ∂=∂∂=∂∂),(，，计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径(但要完全位于但要完全位于G内内),通常选择平行于坐标轴的折线为积分路径通常选择平行于坐标轴的折线为积分路径.2º当当时，时，由定理知由定理知:xyOGL(x, y)(x0, y0)(三三) 平面曲线积分基本定理平面曲线积分基本定理内有在平面单连通域设内有在平面单连通域设GyxQyxP),(),,(一阶连续的偏导数一阶连续的偏导数,使如果存在可微函数使如果存在可微函数),,(yxuGyxyyxQxyxPyxu ∈∀∈∀+ += = ),(d),(d),(),(d，，则称则称 u(x, y)是是 P(x, y)dx+ Q(x, y)dy 在在G内的一个内的一个 原函数原函数.如：如：yyxxdd+ +)](21d[22yx +=+=)(2122yxu+=+=∴∴.dd的一个原函数是的一个原函数是yyxx+ +定理定理10.5在单连通是若在单连通是若yyxQxyxPyxud),(d),(),(+ +上的一个原函数上的一个原函数，，域域G则第二类曲线积分则第二类曲线积分∫ ∫+ +),(),(2211d),(d),(yxByxAyyxQxyxP),(),(2211),(yxyxyxu= =),(),(1122yxuyxu− −= =—— 推广的牛顿推广的牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式.GABGBA⊂ ⊂∈ ∈，且，其中⌒，且，其中⌒注注的常见方法：求原函数的常见方法：求原函数),(yxu分项组合法分项组合法；；)1(法法；；特殊路径法，如：折线特殊路径法，如：折线)2(.)3(偏积分法偏积分法yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00+=+=∫ ∫∫ ∫= =xxxyxP 0d),(0∫ ∫+ +yyyyxQ 0d),(xyxPyyxQxxyyd),(d),( 000∫∫∫∫+=+=或或xyOG),(00yx),(yxx0yy0x二、典型例题二、典型例题 例例1L L为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：将曲线积分转化为二重积分将曲线积分转化为二重积分0dd22=+=+∫ ∫yxxxyL 证证2,2xQxyP====Q0dd0dd22=±=+=±=+∴∴∫ ∫∫∫∫∫ DLyxyxxxy022=−=∂=−=∂∂ ∂−∂∂−∂∂∴∴xxyP xQ例例2L∫ ∫−+=−+=LyxxxyI,d)3(d33计算计算.222的正向为圆周其中的正向为圆周其中RyxL=+=+D解解yxyP xQIDdd)(∂ ∂∂ ∂−∂∂=−∂∂=∫∫ ∫∫333,xxQyP− −= == =yxyxDdd]3)33( [22−−=−−=∫ ∫∫ ∫yxyxDdd)](1 [322+−=+−=∫∫ ∫∫xyO∫ ∫∫ ∫−=−=R02π20d)1(d3ρρρθρρρθ)2(2π342RR −=−=注注yxyxIDdd)](1 [322+−=+−=∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫−=−=DyxRdd)1(32？？× ×xyOLD例例3计算计算,dd 22∫ ∫+ +− −Lyxxyyx其中其中L为一无重为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解记记L 所围成的闭区域为所围成的闭区域为D,22yxyP+ +− −=令=令22yxxQ+=+=,022时则当≠+时则当≠+ yxxP yxxy xQ ∂∂=+−=∂∂ ∂∂=+−=∂∂ 22222)(,)0 , 0()1(时当时当D∉ ∉由格林公式知由格林公式知=+=+− −∫ ∫Lyxxyyx 22ddyxyP xQDdd)(∂ ∂∂ ∂−∂−∂∂ ∂∫∫ ∫∫0dd0====∫ ∫∫ ∫yxD ,)0 , 0()2(时当时当D∈ ∈作位于作位于D内圆周内圆周 222:ryxl=+=+, .顺时针顺时针LlxyO记记1D由由L和和 l所围成的区域所围成的区域, 应用格林公式应用格林公式,得得 的参数方程为的参数方程为：：l ⎩⎨⎩⎨⎧ ⎧ = == =θ θθ θsincosryrx02:aπ πθ θ.封闭，正向封闭，正向lL + +∫ ∫ + ++− +−lLyxxyyx 22ddyxyP xQDdd)(1∂ ∂∂ ∂−∂−∂∂ ∂= =∫∫ ∫∫0dd01====∫ ∫∫ ∫yxDLlxyOD1∫ ∫− −+ +− −+=+=lyxxyyx 22dd0∫ ∫+− +−Lyxxyyx 22dd(其中其中− −l的方向取逆时针方向的方向取逆时针方向) .π2= =(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)∫∫∫∫ + ++ +− −−+−+− −= =lLlyxxyyx yxxyyx 2222ddddθθθθθθdsincosπ2022222 ∫ ∫+=+=rrrLlxyOD1例例4引入辅助线引入辅助线 AO: y = 0 封闭，负向封闭，负向AOL + +:求一质点在力求一质点在力),0 , 2()0 , 0(2:2AOxxyL运动到从点运动到从点的作用下的作用下，沿−=，沿−=解解∫ ∫−++−=−++−=LxxyxyxyyWd)cose (d)12sine (需求需求：：不封闭不封闭，，L 02:ax, 2cose−=−=yPx y, 1cose−=−=yQx xL)0 , 2(AyxO力所作的功力所作的功.)cose, 12sine (xyyyFxx−+−=−+−=→→∫∫ ∫∫∂ ∂∂ ∂−∂∂−=−∂∂−=DyxyP xQdd)(应用格林公式应用格林公式, 有有 1= =− −yxPQ∫ ∫−++−=−++−=LxxyxyxyyWd)cose (d)12sine (∫ ∫∫ ∫ + +−+。